Остановленный процесс - Stopped process

В математика, а остановленный процесс это случайный процесс который вынужден принять то же значение через заданное (возможно, случайное) время.

Определение

Позволять

${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ быть вероятностное пространство;
${displaystyle (mathbb {X}, {mathcal {A}})}$ быть измеримое пространство;
${displaystyle X: [0, + infty) imes Omega o mathbb {X}}$ быть случайным процессом;
${displaystyle au: Omega o [0, + infty]}$ быть время остановки в отношении некоторых фильтрация ${displaystyle {{mathcal {F}} _ {t} | tgeq 0}}$ из ${displaystyle {} {mathcal {F}}}$ .

Тогда остановленный процесс ${displaystyle X ^ {au}}$ определяется для ${displaystyle tgeq 0}$ и ${displaystyle omega в Omega}$ к

{displaystyle X_ {t} ^ {au} (omega): = X_ {min {t, au (omega)}} (омега).}

Примеры

Играть в азартные игры

Представьте, что игрок играет рулетка. Икс_т обозначает общие авуары игрока в казино на момент времени т ≥ 0, что может быть отрицательным или отрицательным, в зависимости от того, предлагает ли казино кредит или нет. Позволять Y_т обозначают, какими были бы авуары игрока, если бы он / она мог получить неограниченный кредит (так Y может принимать отрицательные значения).

Остановка в детерминированное время: предположим, что казино готово предоставить игроку неограниченный кредит и что игрок решает выйти из игры в заранее определенное время. Т, независимо от состояния игры. потом Икс это действительно остановленный процесс Y^Т, поскольку после выхода из игры счет игрока остается в том же состоянии, в котором он находился в момент выхода игрока из игры.
Остановка в случайное время: предположим, что у игрока нет других источников дохода, и что казино не будет предоставлять кредит своим клиентам. Игрок решает играть до тех пор, пока он / она не разорится. Тогда случайное время

{displaystyle au (omega): = inf {tgeq 0 | Y_ {t} (omega) = 0}}

время остановки для Y, и, поскольку игрок не может продолжать играть после того, как он / она исчерпали свои ресурсы, Икс это остановленный процесс Y^τ.

Броуновское движение

Позволять ${displaystyle B: [0, + infty) imes Omega o mathbb {R}}$ быть одномерным стандартом Броуновское движение начиная с нуля.

Остановка в детерминированное время ${displaystyle T> 0}$ : если ${displaystyle au (omega) Equiv T}$ , затем остановившееся броуновское движение ${displaystyle B ^ {au}}$ будет развиваться как обычно до времени ${displaystyle T}$ , и после этого останется неизменным: т.е. ${displaystyle B_ {t} ^ {au} (омега) эквивалент B_ {T} (омега)}$ для всех ${displaystyle tgeq T}$ .
Остановка в случайное время: определите случайное время остановки ${displaystyle au}$ первым время удара для региона ${displaystyle {xin mathbb {R} | xgeq a}}$ :

{displaystyle au (omega): = inf {t> 0 | B_ {t} (omega) geq a}.}

Затем остановилось броуновское движение ${displaystyle B ^ {au}}$ будет развиваться как обычно до случайного времени ${displaystyle au}$ , и после этого будет постоянным со значением ${displaystyle a}$ : т.е. ${displaystyle B_ {t} ^ {au} (омега) эквивалент a}$ для всех ${displaystyle tgeq au (омега)}$ .

Смотрите также

Убитый процесс