Масштабирование пространства - Википедия - Scale space

Масштабировать пространство
	Аксиомы масштабного пространства
	Реализация масштабного пространства
Обнаружение функции
	Обнаружение края
	Обнаружение капли
	Обнаружение углов
	Обнаружение гребня
	Обнаружение точки интереса
Выбор шкалы
Адаптация аффинной формы
Сегментация масштабного пространства

Масштаб-пространство теория - это основа для многомасштабный сигнал представление разработан компьютерное зрение, обработка изображений и обработка сигналов сообщества с дополнительными мотивами от физика и биологическое видение. Это формальная теория для работы со структурами изображений в разных напольные весы, представляя изображение как однопараметрическое семейство сглаженных изображений, представление в масштабном пространстве, параметризованные размером сглаживание ядро используется для подавления мелкомасштабных структур.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] Параметр ${ displaystyle t}$ в этом семействе именуется масштабный параметр, с интерпретацией, что структуры изображения пространственного размера меньше, чем примерно ${ displaystyle { sqrt {t}}}$ были в значительной степени сглажены на уровне масштабного пространства в масштабе ${ displaystyle t}$ .

Основным типом масштабного пространства является линейное (гауссово) масштабное пространство, который имеет широкую применимость, а также привлекательное свойство возможности извлекать из небольшого набора аксиомы масштабного пространства. Соответствующая структура масштабного пространства включает в себя теорию для операторов производных по Гауссу, которая может использоваться в качестве основы для выражения большого класса визуальных операций для компьютеризированных систем, обрабатывающих визуальную информацию. Эта структура также позволяет выполнять визуальные операции. масштабный инвариант, что необходимо для работы с изменениями размера, которые могут возникать в данных изображения, поскольку реальные объекты могут иметь разные размеры и, кроме того, расстояние между объектом и камерой может быть неизвестным и может варьироваться в зависимости от обстоятельств.^[9]^[10]

Определение

Понятие масштабного пространства применяется к сигналам с произвольным числом переменных. Самый распространенный случай в литературе относится к двумерным изображениям, которые и представлены здесь. Для данного изображения ${ displaystyle f (x, y)}$ , его линейный (гауссовский) представление в масштабном пространстве это семейство производных сигналов ${ Displaystyle L (х, у; т)}$ определяется свертка из ${ displaystyle f (x, y)}$ с двумерным Гауссово ядро

{ displaystyle g (x, y; t) = { frac {1} {2 pi t}} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2t} ,}

такой, что

{ Displaystyle L ( CDOT, CDOT; т) = г ( CDOT, CDOT; т) * е ( CDOT, CDOT),}

где точка с запятой в аргументе ${ displaystyle L}$ означает, что свертка выполняется только по переменным ${ displaystyle x, y}$ , а параметр масштаба ${ displaystyle t}$ после точки с запятой просто указывается, какой уровень шкалы определяется. Это определение ${ displaystyle L}$ работает для континуума шкал ${ Displaystyle т geq 0}$ , но обычно фактически рассматривается только конечный дискретный набор уровней в представлении масштабного пространства.

Параметр масштаба ${ Displaystyle т = сигма ^ {2}}$ это отклонение из Гауссов фильтр и как предел для ${ displaystyle t = 0}$ фильтр ${ displaystyle g}$ становится импульсной функцией, такой что ${ Displaystyle L (х, у; 0) = е (х, у),}$ то есть представление масштабного пространства на уровне масштаба ${ displaystyle t = 0}$ это изображение ${ displaystyle f}$ сам. В качестве ${ displaystyle t}$ увеличивается, ${ displaystyle L}$ это результат сглаживания ${ displaystyle f}$ с все более и более крупным фильтром, тем самым удаляя все больше и больше деталей, содержащихся в изображении. Поскольку стандартное отклонение фильтра равно ${ displaystyle sigma = { sqrt {t}}}$ , детали, которые значительно меньше этого значения, в значительной степени удаляются из изображения при параметре масштаба ${ displaystyle t}$ см. следующий рисунок и^[11] для графических иллюстраций.

Представление в масштабном пространстве ${ Displaystyle L (х, у; т)}$ в масштабе ${ displaystyle t = 0}$ , соответствующий исходному изображению ${ displaystyle f}$
Представление в масштабном пространстве ${ Displaystyle L (х, у; т)}$ в масштабе ${ displaystyle t = 1}$
Представление в масштабном пространстве ${ Displaystyle L (х, у; т)}$ в масштабе ${ displaystyle t = 4}$
Представление в масштабном пространстве ${ Displaystyle L (х, у; т)}$ в масштабе ${ displaystyle t = 16}$
Представление в масштабном пространстве ${ Displaystyle L (х, у; т)}$ в масштабе ${ displaystyle t = 64}$
Представление в масштабном пространстве ${ Displaystyle L (х, у; т)}$ в масштабе ${ displaystyle t = 256}$

Почему фильтр Гаусса?

Столкнувшись с задачей создания многомасштабного представления, можно спросить: может ли какой-нибудь фильтр грамм низкочастотного типа и с параметром т который определяет его ширину, которая будет использоваться для создания масштабного пространства? Ответ - нет, поскольку крайне важно, чтобы сглаживающий фильтр не вводил новые ложные структуры в грубых масштабах, которые не соответствуют упрощениям соответствующих структур в более мелких масштабах. В литературе по масштабному пространству было выражено несколько различных способов сформулировать этот критерий в точных математических терминах.

Вывод из нескольких различных аксиоматических выводов, которые были представлены, заключается в том, что гауссово масштабное пространство составляет канонический способ создания пространства линейного масштаба, основанный на важном требовании, что новые структуры не должны создаваться при переходе от мелкого масштаба к любому более грубому масштабу.^[1]^[3]^[4]^[6]^[9]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]Условия, именуемые аксиомы масштабного пространства, которые использовались для вывода уникальности гауссова ядра, включают линейность, инвариантность сдвига, полугруппа структура, без улучшения локальные экстремумы, масштабная инвариантность и вращательная инвариантность.В работах,^[15]^[20]^[21] уникальность, заявленная в аргументах, основанных на масштабной инвариантности, подверглась критике, и были предложены альтернативные самоподобные ядра масштабного пространства. Однако гауссово ядро является уникальным выбором в соответствии с аксиоматикой масштабного пространства, основанной на причинности^[3] или отсутствие усиления локальных экстремумов.^[16]^[18]

Альтернативное определение

Эквивалентносемейство масштабных пространств можно определить как решение уравнение диффузии (например, с точки зрения уравнение теплопроводности ),

{ displaystyle partial _ {t} L = { frac {1} {2}} nabla ^ {2} L,}

с начальным условием ${ Displaystyle L (х, у; 0) = е (х, у)}$ . Эта формулировка представления масштабного пространства L означает, что можно интерпретировать значения интенсивности изображения ж как «распределение температуры» в плоскости изображения и тот процесс, который генерирует представление масштабного пространства как функцию т соответствует диффузии тепла в плоскости изображения с течением времени т (при условии, что теплопроводность материала равна произвольно выбранной постоянной ½). Хотя эта связь может показаться поверхностной читателю, не знакомому с дифференциальные уравнения, действительно так, что основная формулировка масштабного пространства в терминах неусиления локальных экстремумов выражается в терминах условия знака на частные производные в объеме 2 + 1-D, порожденном масштабным пространством, таким образом, в рамках уравнения в частных производных. Более того, подробный анализ дискретного случая показывает, что уравнение диффузии обеспечивает объединяющую связь между непрерывными и дискретными масштабными пространствами, которые также обобщаются на нелинейные масштабные пространства, например, используя анизотропная диффузия. Следовательно, можно сказать, что основным способом создания масштабного пространства является уравнение диффузии, и что гауссово ядро возникает как Функция Грина этого конкретного уравнения в частных производных.

Мотивации

Мотивация к созданию пространственно-масштабного представления данного набора данных проистекает из основного наблюдения, что объекты реального мира состоят из разных структур в разных напольные весы. Это означает, что объекты реального мира, в отличие от идеализированных математических сущностей, таких как точки или же линии, могут проявляться по-разному в зависимости от масштаба наблюдения. Например, понятие «дерево» уместно в масштабе метров, тогда как такие понятия, как листья и молекулы, более уместны в более мелких масштабах. компьютерное зрение система, анализирующая неизвестную сцену, невозможно заранее узнать, что напольные весы подходят для описания интересных структур в данных изображения. Следовательно, единственный разумный подход - рассматривать описания в нескольких масштабах, чтобы иметь возможность уловить неизвестные вариации масштаба, которые могут произойти. рассматривает представления во всех масштабах.^[9]

Еще одна мотивация концепции масштабного пространства проистекает из процесса выполнения физических измерений на реальных данных. Чтобы извлечь любую информацию из процесса измерения, необходимо применить операторы не бесконечно малого размера к данным. Во многих областях информатики и прикладной математики размер оператора измерения не принимается во внимание при теоретическом моделировании проблемы. С другой стороны, теория масштабного пространства явно включает необходимость не бесконечно малого размера операторов изображения как неотъемлемой части любого измерения, а также любой другой операции, которая зависит от реального измерения.^[5]

Существует тесная связь между теорией масштабного пространства и биологическим видением. Многие масштабно-пространственные операции демонстрируют высокую степень сходства с профилями рецептивного поля, записанными на сетчатке млекопитающих и на первых этапах зрительной коры. В этом отношении масштабно-пространственная структура может рассматриваться как теоретически хорошо обоснованная парадигма для ранних стадий. зрение, которое вдобавок было тщательно проверено алгоритмами и экспериментами.^[4]^[9]

Гауссовские производные

В любом масштабе в масштабном пространстве мы можем применить операторы локальной производной к представлению в масштабном пространстве:

{ displaystyle L_ {x ^ {m} y ^ {n}} (x, y; t) = left ( partial _ {x ^ {m} y ^ {n}} L right) (x, y ; t).}

Благодаря свойству коммутативности между оператором производной и оператором сглаживания Гаусса, такие производные в масштабном пространстве эквивалентно вычисляется путем свертки исходного изображения с помощью операторов производной Гаусса. По этой причине их часто также называют Гауссовские производные:

{ displaystyle L_ {x ^ {m} y ^ {n}} ( cdot, cdot; t) = partial _ {x ^ {m} y ^ {n}} g ( cdot, cdot; , t) * f ( cdot, cdot).}

Уникальность операторов гауссовой производной как локальных операций, полученных из представления масштабного пространства, может быть получена с помощью аналогичных аксиоматических выводов, которые используются для вывода уникальности гауссовского ядра для сглаживания масштабного пространства.^[4]^[22]

Визуальный интерфейс

Эти операторы производной Гаусса, в свою очередь, могут быть объединены линейными или нелинейными операторами в более широкий спектр различных типов детекторов признаков, которые во многих случаях могут быть хорошо смоделированы с помощью дифференциальная геометрия. В частности, инвариантность (или более уместно ковариация) к локальным геометрическим преобразованиям, таким как вращения или локальные аффинные преобразования, могут быть получены путем рассмотрения дифференциальных инвариантов в соответствующем классе преобразований или, альтернативно, путем нормализации операторов производной Гаусса к локально определенной системе координат, определенной, например, из предпочтительной ориентации в области изображения или путем применения предпочтительного локального аффинного преобразования к локальному фрагменту изображения (см. статью о адаптация аффинной формы для получения дополнительной информации).

Когда гауссовские производные операторы и дифференциальные инварианты используются таким образом в качестве детекторов основных признаков в нескольких масштабах, незафиксированные первые этапы визуальной обработки часто упоминаются как визуальный интерфейс. Эта общая структура была применена к большому количеству задач компьютерного зрения, включая обнаружение функции, классификация функций, сегментация изображения, сопоставление изображений, оценка движения, вычисление форма реплики и распознавание объекта. Набор операторов производной Гаусса до определенного порядка часто называют N-струя и представляет собой базовый тип объекта в рамках масштабного пространства.

Примеры детекторов

Следуя идее выражения визуальных операций в терминах дифференциальных инвариантов, вычисляемых в нескольких масштабах с использованием операторов производной Гаусса, мы можем выразить детектор края из множества точек, удовлетворяющих требованию, чтобы величина градиента

{ displaystyle L_ {v} = { sqrt {L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2}}}}

должен принимать локальный максимум в направлении градиента

{ displaystyle nabla L = (L_ {x}, L_ {y}) ^ {T}.}

Разработав дифференциальную геометрию, можно показать ^[4] что это дифференциальный детектор края эквивалентно выражается через переходы через нуль дифференциального инварианта второго порядка

{ Displaystyle { тильда {L}} _ {v} ^ {2} = L_ {x} ^ {2} , L_ {xx} +2 , L_ {x} , L_ {y} , L_ {xy} + L_ {y} ^ {2} , L_ {yy} = 0}

удовлетворяющие следующему знаковому условию на дифференциальный инвариант третьего порядка:

{ Displaystyle { тильда {L}} _ {v} ^ {3} = L_ {x} ^ {3} , L_ {xxx} +3 , L_ {x} ^ {2} , L_ {y } , L_ {xxy} +3 , L_ {x} , L_ {y} ^ {2} , L_ {xyy} + L_ {y} ^ {3} , L_ {yyy} <0.}

Точно так же многомасштабный детекторы капель в любом заданном фиксированном масштабе^[23]^[9] могут быть получены из локальных максимумов и локальных минимумов либо Лапласиан оператор (также называемый Лапласиан Гаусса )

{ Displaystyle nabla ^ {2} L = L_ {xx} + L_ {yy} ,}

или же определитель матрицы Гессе

{ displaystyle operatorname {det} HL (x, y; t) = (L_ {xx} L_ {yy} -L_ {xy} ^ {2}).}

Аналогичным образом детекторы углов и детекторы гребней и впадин могут быть выражены как локальные максимумы, минимумы или переходы через нуль многомасштабных дифференциальных инвариантов, определенных из производных Гаусса. Однако алгебраические выражения для операторов обнаружения углов и гребней несколько сложнее, и читателю отсылают к статьям по обнаружение угла и обнаружение гребня для получения дополнительной информации.

Операции масштабного пространства также часто использовались для выражения методов от грубого к точному, в частности, для таких задач, как сопоставление изображений и для многомасштабная сегментация изображения.

Выбор шкалы

Представленная теория описывает хорошо обоснованную основу для представляющий структуры изображения в нескольких масштабах. Однако во многих случаях также необходимо выбрать масштаб, соответствующий местным условиям, для дальнейшего анализа. Эта потребность в выбор шкалы происходит по двум основным причинам; (i) объекты реального мира могут иметь разный размер, и этот размер может быть неизвестен системе зрения, и (ii) расстояние между объектом и камерой может варьироваться, и эта информация о расстоянии также может быть неизвестна априори. Очень полезным свойством представления масштабного пространства является то, что представления изображений можно сделать инвариантными к масштабам, выполнив автоматический выбор локального масштаба.^[9]^[10]^[23]^[24]^[25]^[26]^[27]^[28] на основе местных максимумы (или же минимумы ) по шкалам нормированных по масштабу производные

{ Displaystyle L _ { xi ^ {m} eta ^ {n}} (x, y; t) = t ^ {(m + n) gamma / 2} L_ {x ^ {m} y ^ {n }} (x, y; t)}

куда ${ Displaystyle гамма в [0,1]}$ - параметр, связанный с размерностью объекта изображения. Это алгебраическое выражение для масштабно нормализованные операторы производной Гаусса происходит от введения ${ displaystyle gamma}$ -нормализованные производные в соответствии с

{ Displaystyle partial _ { xi} = t ^ { gamma / 2} partial _ {x} quad}

и

{ displaystyle quad partial _ { eta} = t ^ { gamma / 2} partial _ {y}.}

Теоретически можно показать, что модуль выбора шкалы, работающий по этому принципу, будет удовлетворять следующим условиям: свойство ковариации масштаба: если для определенного типа функции изображения предполагается локальный максимум на определенном изображении в определенном масштабе ${ displaystyle t_ {0}}$ , то при изменении масштаба изображения на коэффициент масштабирования ${ displaystyle s}$ локальный максимум по масштабам в масштабированном изображении будет преобразован в масштабный уровень ${ displaystyle s ^ {2} t_ {0}}$ .^[23]

Обнаружение инвариантной функции масштабирования

Следуя этому подходу гамма-нормированных производных, можно показать, что различные типы масштабная адаптивность и масштабная инвариантность детекторы функций^[9]^[10]^[23]^[24]^[25]^[29]^[30]^[27] можно выразить для таких задач, как обнаружение капли, обнаружение угла, обнаружение гребня, обнаружение края и пространственно-временные точки интереса (см. конкретные статьи по этим темам для подробного описания того, как сформулированы эти масштабно-инвариантные детекторы признаков) .Кроме того, масштабные уровни, полученные в результате автоматического выбора масштаба, могут использоваться для определения областей интереса для последующий адаптация аффинной формы^[31] для получения аффинных инвариантных точек интереса^[32]^[33] или для определения масштабных уровней для вычисления связанных дескрипторы изображений, например, адаптированные к местным условиям N-форсунки.

Недавние исследования показали, что и более сложные операции, такие как масштабно-инвариантные распознавание объекта может быть выполнено таким образом, путем вычисления локальных дескрипторов изображения (N-струй или локальных гистограмм направлений градиента) в точках интереса, адаптированных к масштабу, полученных из экстремумов масштабного пространства нормализованных Лапласиан оператор (см. также масштабно-инвариантное преобразование признаков^[34]) или определитель гессиана (см. также СЕРФ );^[35] см. также статью в Scholarpedia о масштабно-инвариантное преобразование признаков^[36] для более общего взгляда на подходы к распознаванию объектов, основанные на ответах рецептивного поля^[19]^[37]^[38]^[39] в терминах гауссовских производных операторов или их приближений.

Связанные многомасштабные представления

Изображение пирамида представляет собой дискретное представление, в котором пространство шкалы дискретизируется как в пространстве, так и в масштабе. Для масштабной инвариантности масштабные коэффициенты должны выбираться экспоненциально, например, как целые степени 2 или $\sqrt 2$ . При правильном построении соотношение частот дискретизации в пространстве и масштабе остается постоянным, так что импульсный отклик идентичен на всех уровнях пирамиды.^[40]^[41]^[42] Существуют быстрые, O (N) алгоритмы для вычисления масштабно-инвариантной пирамиды изображений, в которой изображение или сигнал многократно сглаживаются, а затем субдискретизируются. Значения шкалы между образцами пирамиды можно легко оценить с помощью интерполяции внутри шкалы и между шкалами, а также с учетом оценок масштаба и положения с точностью до субразрешения.^[42]

В представлении масштабного пространства наличие непрерывного параметра масштаба позволяет отслеживать пересечения нуля над масштабами, ведущие к так называемому глубокая структура.Для функций, определенных как нулевые переходы из дифференциальные инварианты, то теорема о неявной функции прямо определяет траектории в масштабе,^[4]^[43] и в тех масштабах, где бифуркации возникают, локальное поведение может быть смоделировано теория сингулярности.^[4]^[43]^[44]^[45]

Расширения теории линейного масштабного пространства касаются формулировки понятий нелинейного масштабного пространства, более ориентированных на конкретные цели.^[46]^[47] Эти нелинейные масштабные пространства часто начинают с эквивалентной диффузной формулировки концепции масштабного пространства, которая впоследствии расширяется нелинейным образом. Таким образом было сформулировано большое количество уравнений эволюции, мотивированных различными конкретными требованиями (дополнительную информацию см. В упомянутых выше справочниках). Следует отметить, однако, что не все эти нелинейные масштабные пространства удовлетворяют тем же «хорошим» теоретическим требованиям, что и концепция линейного гауссовского масштабного пространства. Следовательно, иногда могут возникать неожиданные артефакты, и нужно быть очень осторожным, чтобы не использовать термин «масштабное пространство» только для любого типа однопараметрического семейства изображений.

А расширение первого порядка из изотропное гауссово масштабное пространство обеспечивается аффинное (гауссово) масштабное пространство.^[4] Одна из причин для этого расширения проистекает из общей потребности в вычислении дескрипторов изображений для объектов реального мира, которые просматриваются под перспективная модель камеры. Чтобы обрабатывать такие нелинейные деформации локально, частичная инвариантность (или правильнее ковариация ) местным аффинные деформации может быть достигнута путем рассмотрения аффинных гауссовых ядер, форма которых определяется локальной структурой изображения,^[31] см. статью о адаптация аффинной формы по теории и алгоритмам. В самом деле, это аффинное масштабное пространство также может быть выражено из неизотропного расширения линейного (изотропного) уравнения диффузии, все еще находясь в классе линейных уравнения в частных производных.

Существует более общее расширение модели гауссовского масштабного пространства на аффинные и пространственно-временные масштабные пространства.^[18]^[19]^[48] В дополнение к изменчивости по сравнению с масштабом, для решения которой была разработана оригинальная теория масштабного пространства, это обобщенная теория масштабного пространства также включает другие типы изменчивости, вызванные геометрическими преобразованиями в процессе формирования изображения, в том числе вариации направления взгляда, аппроксимируемые локальными аффинными преобразованиями, и относительные движения между объектами в мире и наблюдателем, аппроксимируемые локальными преобразованиями Галилея. Эта обобщенная теория масштабного пространства приводит к предсказаниям о профилях рецептивного поля в хорошем качественном согласии с профилями рецептивного поля, измеренными с помощью записей клеток в биологическом зрении.^[49]^[50]^[48]

Между теорией масштабного пространства и теория вейвлетов, хотя эти два понятия многомасштабного представления были разработаны из несколько разных предпосылок. многомасштабные подходы, такие как пирамиды и множество других ядер, которые не используют и не требуют тех же требований, что и истинные описания в масштабном пространстве.

Связь с биологическим зрением и слухом

Существуют интересные отношения между представлением масштабного пространства и биологическим зрением и слухом. Нейрофизиологические исследования биологического зрения показали, что существуют рецептивное поле профили у млекопитающих сетчатка и зрительная кора, которые могут быть хорошо смоделированы линейными операторами производной Гаусса, в некоторых случаях также дополненными неизотропной моделью аффинного масштабного пространства, пространственно-временной моделью масштабного пространства и / или нелинейными комбинациями таких линейных операторов.^[18]^[49]^[50]^[48]^[51]^[52]Что касается биологического слуха, есть рецептивное поле профили в нижний бугорок и первичная слуховая кора которые могут быть хорошо смоделированы спектрально-временными восприимчивыми полями, которые могут быть хорошо смоделированы гауссовыми производными по логарифмическим частотам и оконным преобразованием Фурье во времени, причем оконные функции являются временными ядрами масштабного пространства.^[53]^[54]

Нормативные теории для зрительных и слуховых рецептивных полей, основанные на масштабно-пространственном каркасе, описаны в статье о аксиоматическая теория рецептивных полей.

Проблемы реализации

При реализации сглаживания масштабного пространства на практике существует ряд различных подходов, которые можно использовать в терминах непрерывного или дискретного гауссовского сглаживания, реализации в области Фурье, в терминах пирамид на основе биномиальных фильтров, которые аппроксимируют гауссово, или с использованием рекурсивных фильтров. . Подробнее об этом читайте в отдельной статье на реализация масштабного пространства.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Линдеберг, Тони (2008). «Масштаб-пространство». В Бенджамине Ва (ред.). Энциклопедия компьютерных наук и инженерии. IV. Джон Уайли и сыновья. С. 2495–2504. Дои:10.1002 / 9780470050118.ecse609. ISBN 978-0470050118.
Линдеберг, Тони, "Масштабное пространство: структура для обработки структур изображений в различных масштабах", В: Proc. Компьютерная школа ЦЕРН, Эгмонд-ан-Зее, Нидерланды, 8-21 сентября 1996 г. (онлайн-учебник)
Линдеберг, Тони: Теория масштабного пространства: основной инструмент для анализа структур в различных масштабах, в J. of Applied Statistics, 21 (2), pp. 224–270, 1994. (более длинный учебник в формате PDF по масштабному пространству)
Линдеберг, Тони, «Принципы автоматического выбора шкалы», В: Б. Яне (и др., Ред.), Справочник по компьютерному зрению и приложениям, том 2, стр. 239-274, Academic Press, Бостон, США, 1999. (учебник по подходам к автоматическому выбору шкалы)
Линдеберг, Тони: "Теория масштабного пространства" В: Энциклопедия математики, (Мишель Хазевинкель, ред) Клувер, 1997
Резервное копирование веб-архива: Лекция о масштабном пространстве в Массачусетском университете (pdf)
Мультимасштабный анализ для оптимизации сегментации сосудов на изображениях глазного дна сетчатки Кандидатская диссертация

внешняя ссылка

[iij62-1] а ^б Иджима, Т. "Основная теория нормализации рисунка (в случае типичного одномерного рисунка)". Бык. Электротех. Лаборатория. 26, 368–388, 1962. (на яп.)

[wit83-2] Виткин, А.П. «Масштабная фильтрация», Тр. 8-й Int. Совместная конф. Изобразительное искусство. Intell., Карлсруэ, Германия, 1019–1022, 1983.

[koe84-3] а ^б ^c Кендеринк, Ян "Структура изображений ", Биологическая кибернетика, 50: 363–370, 1984.

[lin94-4] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час Линдеберг, Т., Теория масштабного пространства в компьютерном зрении, Kluwer Academic Publishers, 1994., ISBN 0-7923-9418-6

[lin94review-5] а ^б Т. Линдеберг (1994). «Теория масштабного пространства: основной инструмент для анализа структур в различных масштабах». Журнал прикладной статистики (Дополнение о достижениях в прикладной статистике: статистика и изображения: 2). 21 (2). С. 224–270. Дои:10.1080/757582976.

[flo97-6] а ^б Флорак, Люк, Структура изображения, Kluwer Academic Publishers, 1997.

[sporring-etal-1997-7] Спорринг, Джон и др. (Ред.), Гауссовская теория масштабного пространства, Kluwer Academic Publishers, 1997.

[rom03-8] тер Хаар Ромени, Барт М. (2008). Front-End Vision и многомасштабный анализ изображений: многомасштабная теория компьютерного зрения и приложения, написанные в системе Mathematica. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-8840-7.

[lin08-9] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Линдеберг, Тони (2008). «Масштаб-пространство». В Бенджамине Ва (ред.). Энциклопедия компьютерных наук и инженерии. IV. Джон Уайли и сыновья. С. 2495–2504. Дои:10.1002 / 9780470050118.ecse609. ISBN 978-0470050118.

[lin14compvisrefguide-10] а ^б ^c Т. Линдеберг (2014) «Выбор шкалы», Компьютерное зрение: Справочное руководство, (К. Икеучи, редактор), Springer, страницы 701–713.

[lin-cern-11] Графическая иллюстрация основных идей представления масштабного пространства на http://www.csc.kth.se/~tony/cern-review/cern-html/node2.html

[Babaud-EtAl-12] Ж. Бабо, А. П. Виткин, М. Боден, Р. О. Дуда, Единственность гауссовского ядра для фильтрации в масштабном пространстве. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 8 (1), 26–33, 1986.

[Yuille-Poggio-13] А. Юилле, Т.А. Поджио: Теоремы о масштабировании для нулевых переходов. IEEE Trans. Анализ шаблонов и машинный интеллект, Vol. ПАМИ-8, № 1. С. 15–25, январь 1986 г.

[Lindeberg-1990-14] Линдеберг, Т., "Масштабное пространство для дискретных сигналов", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. ПАМИ-12, № 3, март 1990 г., стр. 234–254.

[Pauwels-EtAl-15] а ^б Пауэлс, Э., Ван Гул, Л., Фидделаерс, П. и Мунс, Т .: Расширенный класс масштабно-инвариантных и рекурсивных масштабных пространственных фильтров, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 17, No. 7, pp. 691–701, 1995.

[Lindeberg-1997-16] а ^б Линдеберг, Т .: Об аксиоматических основах линейного масштабного пространства: сочетание структуры полугруппы с причинностью и масштабной инвариантностью. В: J. Sporring et al. (ред.) Гауссова теория масштабного пространства: Proc. Школа PhD по теории масштабного пространства (Копенгаген, Дания, май 1996 г.), страницы 75–98, Kluwer Academic Publishers, 1997.

[Weickert-1999-17] Weickert, J. Пространство с линейным масштабом было впервые предложено в Японии. Журнал математической визуализации и зрения, 10 (3): 237–252, 1999.

[Lin11-18] а ^б ^c ^d Линдеберг, Т. Обобщенная аксиоматика гауссовского масштабного пространства, включающая линейное масштабное пространство, аффинное масштабное пространство и пространственно-временное масштабное пространство, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 40 (1): 36–81, 2011.

[Lin13-AIEP-19] а ^б ^c Линдеберг Т. Обобщенная аксиоматическая теория масштабного пространства., Достижения в области визуализации и электронной физики, Elsevier, том 178, страницы 1–96, 2013.

[20] М. Фельсберг и Г. Соммер "Моногенное масштабное пространство: объединяющий подход к фазовой обработке изображений в масштабном пространстве ", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21 (1): 5–28, 2004.

[21] Р. Дуитс, Л. Флорак, Дж. Де Грааф и Б. тер Хаар Ромени "Об аксиомах теории масштабного пространства ", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 20 (3): 267–298, 2004.

[Koenderink-vanDoorn-22] Кендеринк, Ян и ван Дорн, Анс: «Общие операторы соседства», IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol 14, pp 597–605, 1992

[lin98-23] а ^б ^c ^d Линдеберг, Тони «Обнаружение признаков с автоматическим выбором шкалы», Международный журнал компьютерного зрения, 30, 2, стр. 77–116, 1998.

[lin98b-24] а ^б Линдеберг, Тони «Обнаружение краев и обнаружение выступов с автоматическим выбором шкалы», Международный журнал компьютерного зрения, 30, 2, стр 117–154, 1998.

[lin99cvhandbook-25] а ^б Линдеберг, Тони, «Принципы автоматического выбора шкалы», В: Б. Яне (и др., Ред.), Справочник по компьютерному зрению и приложениям, том 2, стр. 239-274, Academic Press, Бостон, США, 1999.

[26] Т. Линдеберг «Выбор временной шкалы в пространстве шкалы времени и причинности», Журнал математической визуализации и зрения, 58 (1): 57–101, 2017.

[Lin17SSVM-27] а ^б Т. Линдеберг «Выбор пространственно-временного масштаба в видеоданных», Journal of Mathematical Imaging and Vision, 60 (4): 525–562, 2018.

[Lin18SIIMS-28] Т. Линдеберг «Выбор плотной шкалы в пространстве, времени и пространстве-времени», SIAM Journal on Imaging Sciences, 11 (1): 407–441, 2018.

[29] Т. Линдеберг. «Свойства масштабного выбора детекторов точек интереса с обобщенным масштабным пространством», Journal of Mathematical Imaging and Vision, 46 (2): 177–210, 2013.

[30] Т. Линдеберг. «Сопоставление изображений с использованием обобщенных точек интереса в масштабном пространстве», Journal of Mathematical Imaging and Vision, 52 (1): 3–36, 2015.

[lingar97-31] а ^б Линдеберг, Т. и Гардинг, Дж .: Сглаживание, адаптированное к форме, при оценке трехмерных сигналов глубины на основе аффинных искажений локальной двумерной структуры, Image and Vision Computing, 15, ~ 415–434, 1997.

[Baumberg-2000-32] Баумберг, А .: Надежное сопоставление функций в широко разделенных представлениях, Proc. Распознавание образов компьютерного зрения, I: 1774–1781, 2000.

[Mikolajczyk-Schmid-33] Миколайчик, К. и Шмид, Ч .: Масштабные и аффинно-инвариантные детекторы точки интереса, Int. Журнал компьютерного зрения, 60: 1, 63 - 86, 2004.

[Lowe-2004-34] Лоу, Д. Г., «Отличительные особенности изображения от масштабно-инвариантных ключевых точек», Международный журнал компьютерного зрения, 60, 2, стр. 91–110, 2004.

[Bay-EtAl-35] Х. Бэй, А. Эсс, Т. Туйтелаарс и Л. ван Гул, «Ускоренные надежные функции (SURF)», Компьютерное зрение и понимание изображений, 110: 3, 2008 г., страницы 346–359

[Lindeberg-Scholarpedia-36] Линдеберг, Т. «Масштабно-инвариантное преобразование признаков», Scholarpedia, 7 (5): 10491, 2012.

[Schiele-Crowley-37] Б. Шиле и Дж. Л. Кроули "Распознавание без соответствия с использованием многомерных гистограмм рецептивного поля", Международный журнал компьютерного зрения, 36: 1, 31–50, 2000

[Linde-Lindeberg-2004-38] О. Линде и Т. Линдеберг "Распознавание объектов с использованием составных гистограмм рецептивного поля более высокой размерности", Proc. Международная конференция по распознаванию образов (ICPR'04), Кембридж, Великобритания II: 1–6, 2004.

[Linde-Lindeberg-2012-39] О. Линде и Т. Линдеберг «Составленные гистограммы сложных сигналов: исследование информационного содержания в дескрипторах изображения на основе рецептивного поля для распознавания объектов», Computer Vision and Image Understanding, 116: 4, 538–560, 2012.

[Burt-Adelson-40] Берт, Питер и Адельсон, Тед "Пирамида Лапласа как компактный код изображения ", IEEE Trans. Communications, 9: 4, 532–540, 1983.

[Crowley-Sanderson-41] Кроули, Дж. Л. и Сандерсон, А. С. «Представление с множественным разрешением и вероятностное сопоставление двухмерной серой шкалы», IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 9 (1), pp 113–121, 1987.

[Lindeberg-Bretzner-42] а ^б Т. Линдеберг и Л. Бретцнер (2003) «Выбор масштаба в реальном времени в гибридных многомасштабных представлениях», Proc. Scale-Space'03, остров Скай, Шотландия, Springer Lecture Notes по информатике, том 2695, страницы 148–163.

[lin92jmiv-43] а ^б Т. Линдеберг (1992) ''Масштабное поведение локальных экстремумов и капель, J. of Mathematical Imaging and Vision, 1 (1), pages 65–99.

[Koendering-vanDoorn-1986-44] Ян Кендеринк и Андреа ван Дорн, А. Дж. (1986), ‘Динамическая форма ’, Биологическая кибернетика 53, 383–396.

[Damon-1995-45] Дэймон, Дж. (1995), ‘Локальная теория Морса для решений уравнения теплопроводности и размытие по Гауссу ', Журнал дифференциальных уравнений 115 (2), 386–401.

[Romeny-1994-46] тер Хаар Ромени, Барт М. (редактор), Диффузия на основе геометрии в компьютерном зрении, Kluwer Academic Publishers, 1994.

[Weickert-1998-47] Вайкерт, Дж. Анизотропная диффузия в обработке изображений, Teuber Verlag, Штутгарт, 1998.

[Lin16-JMIV-48] а ^б ^c Т. Линдеберг (2016) «Временно-причинные и временно-рекурсивные пространственно-временные рецептивные поля», Journal of Mathematical Imaging and Vision, 55 (1): 50–88.

[Lin13BICY-49] а ^б Линдеберг, Т. Вычислительная теория зрительных рецептивных полей, Биологическая кибернетика, 107 (6): 589–635, 2013.

[Lin13PONE-50] а ^б Линдеберг, Т. Инвариантность зрительных операций на уровне рецептивных полей, PLoS ONE 8 (7): e66990, 2013

[Young-1987-51] Янг, Р. А. "Модель производной Гаусса для пространственного зрения: механизмы сетчатки ", Пространственное видение, 2: 273–293, 1987.

[DeAngelis-EtAl-52] ДеАнгелис, Г. К., Охава, И., и Фриман, Р. Д., "Динамика рецептивного поля в центральных зрительных путях", Trends Neurosci. 18: 451–458, 1995.

[LinFri15PONE-53] Т. Линдеберг и А. Фриберг «Идеализированные вычислительные модели слуховых рецептивных полей», PLOS ONE, 10 (3): e0119032, страницы 1–58, 2015

[LinFri15SSVM-54] Т. Линдеберг и А. Фриберг (2015) «Теория масштабного пространства для слуховых сигналов», Proc. SSVM 2015: масштабно-пространственные и вариационные методы в компьютерном зрении, Springer LNCS 9087: 3–15.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]