Многомасштабные подходы - Multi-scale approaches

В представление масштабного пространства сигнала, полученного Гауссовский сглаживание обладает рядом специальных свойств, аксиомы масштабного пространства, которые превращают его в особую форму многомасштабного представления. Однако есть и другие типы «многомасштабные подходы» в областях компьютерное зрение, обработка изображений и обработка сигналов, в частности, понятие вейвлеты. Цель этой статьи - описать некоторые из этих подходов:

Теория масштабного пространства для одномерных сигналов

За одномерные сигналысуществует довольно хорошо разработанная теория для непрерывных и дискретных ядер, которая гарантирует, что новые локальные экстремумы или переходы через нуль не могут быть созданы с помощью свертка операция.^[1] За непрерывные сигналы, все ядра масштабного пространства можно разложить на следующие наборы примитивных сглаживающих ядер:

• то Гауссово ядро  :${displaystyle g (x, t) = {frac {1} {sqrt {2pi t}}} exp ({- x ^ {2} / 2t})}$ куда ${displaystyle t> 0}$,
• усеченная экспонента ядра (фильтры с одним действительным полюсом в s-самолет):

${displaystyle h (x) = exp ({- ax})}$ если ${displaystyle xgeq 0}$ и 0 в противном случае, где ${displaystyle a> 0}$

${displaystyle h (x) = exp ({bx})}$ если ${displaystyle xleq 0}$ и 0 в противном случае, где ${displaystyle b> 0}$,

• переводы,
• пересчет.

За дискретные сигналы, мы можем с точностью до тривиальных преобразований и масштабирования разложить любое дискретное ядро ​​масштабного пространства на следующие примитивные операции:

• то дискретное гауссово ядро

${displaystyle T (n, t) = I_ {n} (альфа t)}$ куда ${displaystyle alpha, t> 0}$ куда ${displaystyle I_ {n}}$ - модифицированные функции Бесселя целого порядка,

• обобщенные биномиальные ядра соответствующее линейному сглаживанию вида

${displaystyle f_ {out} (x) = pf_ {in} (x) + qf_ {in} (x-1)}$ куда ${displaystyle p, q> 0}$

${displaystyle f_ {out} (x) = pf_ {in} (x) + qf_ {in} (x + 1)}$ куда ${displaystyle p, q> 0}$,

• рекурсивные фильтры первого порядка соответствующее линейному сглаживанию вида

${displaystyle f_ {out} (x) = f_ {in} (x) + alpha f_ {out} (x-1)}$ куда ${displaystyle alpha> 0}$

${displaystyle f_ {out} (x) = f_ {in} (x) + eta f_ {out} (x + 1)}$ куда ${displaystyle eta> 0}$,

• односторонний Ядро Пуассона

${displaystyle p (n, t) = e ^ {- t} {гидроразрыв {t ^ {n}} {n!}}}$ за ${displaystyle ngeq 0}$ куда ${displaystyle tgeq 0}$

${displaystyle p (n, t) = e ^ {- t} {frac {t ^ {- n}} {(- n)!}}}$ за ${displaystyle nleq 0}$ куда ${displaystyle tgeq 0}$.

Из этой классификации очевидно, что нам нужна непрерывная полугрупповая структура, есть только три класса ядер масштабного пространства с непрерывным масштабным параметром; ядро Гаусса, которое формирует масштабное пространство непрерывных сигналов, дискретное ядро ​​Гаусса, которое формирует масштабное пространство дискретных сигналов, и причинно-временное ядро ​​Пуассона, которое формирует временное масштабное пространство в течение дискретного времени. Если же мы, с другой стороны, пожертвуем непрерывной полугрупповой структурой, есть больше вариантов:

Для дискретных сигналов использование обобщенных биномиальных ядер обеспечивает формальную основу для определения операции сглаживания в пирамиде. Для временных данных односторонние усеченные экспоненциальные ядра и рекурсивные фильтры первого порядка предоставляют способ определения время-причинно-масштабные пространства ^[2][3] которые обеспечивают эффективную численную реализацию и уважают причинно-следственную связь во времени без доступа к будущему. Рекурсивные фильтры первого порядка также обеспечивают основу для определения рекурсивных приближений к гауссовскому ядру, которые в более слабом смысле сохраняют некоторые свойства масштабного пространства.^[4][5]

Смотрите также

• Масштабировать пространство
• Реализация масштабного пространства
• Сегментация масштабного пространства

Рекомендации