Аксиомы масштабного пространства - Scale-space axioms

Масштабировать пространство
Аксиомы масштабного пространства
Реализация масштабного пространства
Обнаружение функции
Обнаружение края
Обнаружение капли
Обнаружение углов
Обнаружение гребня
Обнаружение точки интереса
Выбор шкалы
Адаптация аффинной формы
Сегментация масштабного пространства

В обработка изображений и компьютерное зрение, а масштабное пространство framework может использоваться для представления изображения как семейства постепенно сглаженных изображений. Эта структура очень общая и включает множество представления масштабного пространства существовать. Типовой подход к выбору того или иного типа представление масштабного пространства состоит в том, чтобы установить набор аксиомы масштабного пространства, описывающий основные свойства желаемого представления в масштабном пространстве и часто выбираемый таким образом, чтобы сделать представление полезным в практических приложениях. После установки аксиомы сужают возможные представления в масштабном пространстве до меньшего класса, обычно с несколькими свободными параметрами.

Набор аксиом стандартного масштабного пространства, обсуждаемый ниже, приводит к линейному гауссовскому масштабному пространству, которое является наиболее распространенным типом масштабного пространства, используемым в обработке изображений и компьютерном зрении.

Аксиомы масштабного пространства для линейного представления масштабного пространства

Линейный масштабное пространство представление ${displaystyle L (x, y, t) = (T_ {t} f) (x, y) = g (x, y, t) * f (x, y)}$ сигнала ${displaystyle f (x, y)}$ полученное сглаживанием гауссовым ядром ${displaystyle g (x, y, t)}$ удовлетворяет ряду свойств 'аксиомы масштабного пространства ' что делает его особой формой многомасштабного представления:

• линейность

${displaystyle T_ {t} (af + bh) = aT_ {t} f + bT_ {t} h}$

куда ${displaystyle f}$ и ${displaystyle h}$ сигналы, пока ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ константы,

• инвариантность сдвига

${displaystyle T_ {t} S _ {(Delta x, Delta _ {y})} f = S _ {(Delta x, Delta _ {y})} T_ {t} f}$

куда ${displaystyle S _ {(Delta x, Delta _ {y})}}$ обозначает оператор сдвига (перевода) ${displaystyle (S _ {(Delta x, Delta _ {y})} f) (x, y) = f (x-Delta x, y-Delta y)}$

• то полугрупповая структура

${displaystyle g (x, y, t_ {1}) * g (x, y, t_ {2}) = g (x, y, t_ {1} + t_ {2})}$

с ассоциированным свойство каскадного сглаживания

${displaystyle L (x, y, t_ {2}) = g (x, y, t_ {2} -t_ {1}) * L (x, y, t_ {1})}$

• наличие бесконечно малый генератор ${displaystyle A}$

${displaystyle partial _ {t} L (x, y, t) = (AL) (x, y, t)}$

• отсутствие локальных экстремумов (нулевые переходы) в одном измерении,
• отсутствие усиления локальных экстремумов в любом количестве измерений

${displaystyle partial _ {t} L (x, y, t) leq 0}$ в пространственных максимумах и ${displaystyle partial _ {t} L (x, y, t) geq 0}$ в пространственных минимумах,

• вращательная симметрия

${displaystyle g (x, y, t) = h (x ^ {2} + y ^ {2}, t)}$ для какой-то функции ${displaystyle h}$,

• масштабная инвариантность

${displaystyle {hat {g}} (omega _ {x}, omega _ {y}, t) = {hat {h}} ({frac {omega _ {x}} {varphi (t)}}, {frac {омега _ {x}} {varphi (t)}})}$

для некоторых функций ${displaystyle varphi}$ и ${displaystyle {hat {h}}}$ куда ${displaystyle {hat {g}}}$ обозначает преобразование Фурье ${displaystyle g}$,

• позитивность:

${displaystyle g (x, y, t) geq 0}$,

• нормализация:

${displaystyle int _ {x = -infty} ^ {infty} int _ {y = -infty} ^ {infty} g (x, y, t), dx, dy = 1}$.

Фактически, можно показать, что гауссово ядро ​​является уникальный выбор учитывая несколько различных комбинаций подмножеств этих аксиом масштабного пространства:^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11]}большинство аксиом (линейность, инвариантность к сдвигу, полугруппа) соответствуют масштабированию как полугруппе инвариантных к сдвигу линейных операторов, которым удовлетворяет ряд семейств интегральные преобразования, а «не создание локальных экстремумов»^[4] для одномерных сигналов или «неусиление локальных экстремумов»^[4][7][10] для многомерных сигналов являются ключевыми аксиомами, которые связывают масштабные пространства со сглаживанием (формально параболические уравнения в частных производных ) и, следовательно, выберите гауссовский.

Ядро Гаусса также разделимо в декартовых координатах, т.е. ${displaystyle g (x, y, t) = g (x, t), g (y, t)}$. Однако разделимость не считается аксиомой пространства масштаба, поскольку это свойство, зависящее от координат, связанное с проблемами реализации. Кроме того, требование разделимости в сочетании с вращательной симметрией как таковое фиксирует, чтобы сглаживающее ядро ​​было гауссовым.

Существует обобщение теории гауссовского масштабного пространства на более общие аффинные и пространственно-временные масштабные пространства.^[10][11] В дополнение к изменчивости по сравнению с масштабом, для решения которой была разработана оригинальная теория масштабного пространства, это обобщенная теория масштабного пространства также включает другие типы изменчивости, включая деформации изображения, вызванные вариациями просмотра, аппроксимируемые локальными аффинными преобразованиями, и относительные движения между объектами в мире и наблюдателем, аппроксимируемые локальными преобразованиями Галилея. В этой теории вращательная симметрия не является необходимой аксиомой масштабного пространства и вместо этого заменяется требованиями аффинной и / или галилеевой ковариантности. Обобщенная теория масштабного пространства приводит к предсказаниям о профилях рецептивного поля в хорошем качественном согласии с профилями рецептивного поля, измеренными с помощью записей клеток в биологическом зрении.^[12][13]

в компьютерное зрение, обработка изображений и обработка сигналов литературе есть много других многомасштабных подходов, использующих вейвлеты и множество других ядер, которые не используют и не требуют тех же требований, что и масштабное пространство описания делать; см. статью о связанных многомасштабные подходы. Также велась работа над концепциями дискретного масштабного пространства, которые переносят свойства масштабного пространства в дискретную область; см. статью о реализация масштабного пространства для примеров и ссылок.

Смотрите также

• Масштабировать пространство
• Реализация масштабного пространства

Рекомендации