Гауссов фильтр - Википедия - Gaussian filter

Форма импульсной характеристики типичного фильтра Гаусса

В электроника и обработка сигналов, а Гауссов фильтр это фильтр чей импульсивный ответ это Функция Гаусса (или приближение к нему, поскольку истинный гауссовский отклик физически нереализуем, поскольку он имеет бесконечную поддержку). Гауссовские фильтры обладают свойствами не иметь превышение на вход ступенчатой ​​функции с минимизацией времени нарастания и спада. Такое поведение тесно связано с тем, что фильтр Гаусса имеет минимально возможный групповая задержка. Считается идеальным область времени фильтр, как и грех является идеальным фильтром частотной области.^[1] Эти свойства важны в таких областях, как осциллографы^[2] и цифровые телекоммуникационные системы.^[3]

Математически фильтр Гаусса изменяет входной сигнал на свертка с функцией Гаусса; это преобразование также известно как Преобразование Вейерштрасса.

Определение

Одномерный фильтр Гаусса имеет импульсную характеристику, определяемую выражением

${ displaystyle g (x) = { sqrt { frac {a} { pi}}} cdot e ^ {- a cdot x ^ {2}}}$

а частотная характеристика дается преобразование Фурье

${ displaystyle { hat {g}} (е) = е ^ {- { гидроразрыва { pi ^ {2} f ^ {2}} {a}}}}$

с ${ displaystyle f}$ обычная частота. Эти уравнения также могут быть выражены через стандартное отклонение как параметр

${ displaystyle g (x) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} cdot sigma}} cdot e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}}$

а частотная характеристика определяется выражением

${ Displaystyle { Hat {g}} (е) = е ^ {- { гидроразрыва {е ^ {2}} {2 sigma _ {f} ^ {2}}}}}$

Написав ${ displaystyle a}$ как функция ${ displaystyle sigma}$ с двумя уравнениями для ${ displaystyle g (x)}$ и как функция ${ displaystyle sigma _ {f}}$ с двумя уравнениями для ${ displaystyle { hat {g}} (е)}$ можно показать, что произведение стандартного отклонения и стандартного отклонения в частотной области определяется выражением

${ displaystyle sigma cdot sigma _ {f} = { frac {1} {2 pi}}}$,

где стандартные отклонения выражены в физических единицах, например в случае времени и частоты в секундах и герцах соответственно.

В двух измерениях это произведение двух таких гауссиан, по одному на направление:

${ displaystyle g (x, y) = { frac {1} {2 pi sigma ^ {2}}} cdot e ^ {- { frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}}$ ^[4][5][6]

куда Икс расстояние от начала координат по горизонтальной оси, у - расстояние от начала координат по вертикальной оси, а σ это стандартное отклонение распределения Гаусса.

Цифровая реализация

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален (Сентябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Функция Гаусса предназначена для ${ Displaystyle х в (- infty, infty)}$ и теоретически потребует бесконечной длины окна. Однако, поскольку он быстро затухает, часто бывает разумно обрезать окно фильтра и реализовать фильтр непосредственно для узких окон, по сути, используя простую функцию прямоугольного окна. В других случаях усечение может привести к значительным ошибкам. Лучших результатов можно достичь, если вместо этого использовать другой оконная функция; видеть реализация масштабного пространства для подробностей.

Фильтрация включает свертка. Функция фильтра называется ядром интегрального преобразования. Ядро Гаусса непрерывно. Чаще всего дискретным эквивалентом является выбранное ядро ​​Гаусса который создается точками выборки из непрерывного гауссиана. Альтернативный метод - использовать дискретное гауссово ядро ^[7] который имеет превосходные характеристики для некоторых целей. В отличие от дискретизированного ядра Гаусса, дискретное ядро ​​Гаусса является решением дискретной уравнение диффузии.

Поскольку преобразование Фурье функции Гаусса дает гауссову функцию, сигнал (желательно после разделения на перекрывающиеся оконные блоки) может быть преобразован с помощью Быстрое преобразование Фурье, умноженный на функцию Гаусса и преобразованный обратно. Это стандартная процедура применения произвольного конечная импульсная характеристика filter, с той лишь разницей, что преобразование Фурье окна фильтра известно явно.

Из-за Центральная предельная теорема, гауссиан может быть аппроксимирован несколькими запусками очень простого фильтра, такого как скользящая средняя. Простая скользящая средняя соответствует свертка с постоянной B-шлиц (прямоугольный импульс), и, например, четыре итерации скользящего среднего дают кубический B-сплайн в качестве окна фильтра, который довольно хорошо аппроксимирует гауссиан.

В дискретном случае стандартные отклонения связаны соотношением

${ displaystyle sigma cdot sigma _ {f} = { frac {N} {2 pi}}}$

где стандартные отклонения выражены в количестве образцов и N - общее количество выборок. Исходя из условий статистики, стандартное отклонение фильтра можно интерпретировать как меру его размера. Частота среза фильтра Гаусса может быть определена стандартным отклонением в частотной области, что дает

${ displaystyle f_ {c} = sigma _ {f} = { frac {1} {2 pi sigma}}}$

где все величины выражены в своих физических единицах. Если ${ displaystyle sigma}$ измеряется в выборках, частота среза (в физических единицах) может быть рассчитана с помощью

${ displaystyle f_ {c} = { frac {F_ {s}} {2 pi sigma}}}$

куда ${ displaystyle F_ {s}}$ - частота дискретизации. Значение отклика фильтра Гаусса на этой частоте среза равно exp (-0,5) ≈0,607.

Однако чаще определяют частоту среза как точку половинной мощности: где характеристика фильтра снижается до 0,5 (-3 дБ) в спектре мощности, или 1 /√2 ≈ 0,707 в амплитудном спектре (см., Например, Фильтр Баттерворта Для произвольного значения отсечки 1 /c для отклика фильтра частота среза равна

${ displaystyle f_ {c} = { sqrt {2 ln (c)}} cdot sigma _ {f}}$

За c= 2, константа перед стандартным отклонением в частотной области в последнем уравнении равна приблизительно 1,1774, что составляет половину полной ширины на половине максимума (FWHM) (см. Функция Гаусса ). За c=√2 эта константа приблизительно равна 0,8326. Эти значения довольно близки к 1.

Простая скользящая средняя соответствует равномерное распределение вероятностей и, следовательно, его ширина фильтра размером ${ displaystyle n}$ имеет стандартное отклонение ${ displaystyle { sqrt {({n} ^ {2} -1) / 12}}}$. Таким образом, применение последовательных ${ displaystyle m}$ скользящие средние с размерами ${ displaystyle {n} _ {1}, dots, {n} _ {m}}$ дают стандартное отклонение

${ displaystyle sigma = { sqrt { frac {{n} _ {1} ^ {2} + cdots + {n} _ {m} ^ {2} -m} {12}}}}$

(Обратите внимание, что стандартные отклонения не суммируются, но отклонения делать.)

Гауссовское ядро ​​требует ${ displaystyle 6 { sigma} -1}$ значения, например для ${ displaystyle { sigma}}$ из 3 ему требуется ядро ​​длины 17. Фильтр скользящего среднего из 5 точек будет иметь сигму ${ displaystyle { sqrt {2}}}$. Выполнение его трижды даст ${ displaystyle { sigma}}$ из 2,42. Еще неизвестно, в чем преимущество использования гауссовского, а не плохого приближения.

При применении в двух измерениях эта формула дает гауссову поверхность с максимумом в начале координат, чья контуры находятся концентрические круги с началом координат в центре. Двумерный свертка матрица предварительно вычисляется по формуле и сворачивается с двумерными данными. Каждому элементу в результирующей матрице новое значение устанавливается равным средневзвешенное этого соседства элементов. Фокальный элемент получает наибольший вес (имеющий наивысшее значение Гаусса), а соседние элементы получают меньший вес по мере увеличения их расстояния до фокального элемента. При обработке изображений каждый элемент в матрице представляет атрибут пикселя, такой как яркость или интенсивность цвета, и общий эффект называется Размытие по Гауссу.

Гауссов фильтр не является причинным, что означает, что окно фильтра симметрично относительно начала координат во временной области. Это делает фильтр Гаусса физически нереализуемым. Обычно это не имеет значения для приложений, в которых полоса пропускания фильтра намного больше сигнала. В системах реального времени задержка возникает из-за того, что входящие отсчеты должны заполнить окно фильтра, прежде чем фильтр может быть применен к сигналу. Хотя никакая задержка не может сделать теоретический фильтр Гаусса причинным (потому что функция Гаусса везде не равна нулю), функция Гаусса сходится к нулю так быстро, что каузальное приближение может обеспечить любой требуемый допуск с умеренной задержкой, даже с точностью из представление с плавающей запятой.

Приложения

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Май 2012 г.)

• GSM поскольку это применяется ГМСК модуляция
• фильтр Гаусса также используется в GFSK.
• Детектор Canny Edge используется при обработке изображений.

Смотрите также

Рекомендации