Гребенчатый фильтр - Comb filter

В обработка сигнала, а гребенчатый фильтр это фильтр реализовано путем добавления отложенной версии сигнал самому себе, вызывая конструктивные и деструктивные вмешательство. В частотный отклик гребенчатого фильтра состоит из ряда равномерно расположенных зазубрин, создающих вид гребень.

Приложения

Advanced PAL Comb Filter-II (APCF-II, Motorola MC141627FT)

Гребенчатые фильтры используются во множестве приложений обработки сигналов. К ним относятся:

• Каскадный интегратор – гребенка (CIC) фильтры, обычно используемые для сглаживание в течение интерполяция и истребление операции, которые изменяют частота дискретизации системы с дискретным временем.
• Двухмерные и трехмерные гребенчатые фильтры, реализованные аппаратно (а иногда и программно) для PAL и NTSC телевизионные декодеры. Фильтры уменьшают количество артефактов, таких как точечное сканирование.
• Обработка аудиосигнала, в том числе задержка, отбортовка, и цифровой волноводный синтез. Например, если задержка установлена ​​на несколько миллисекунд, гребенчатый фильтр можно использовать для моделирования эффекта акустический стоячие волны в цилиндрической полости или в вибрирующей струне.
• В астрономии астро-гребешок обещает повысить точность существующих спектрографы почти в сто раз.

В акустика, гребенчатая фильтрация может возникать нежелательными способами. Например, когда два колонки воспроизводят один и тот же сигнал на разном расстоянии от слушателя, на сигнал действует эффект гребенчатой ​​фильтрации.^[1] В любом замкнутом пространстве слушатели слышат смесь прямого и отраженного звука. Поскольку отраженный звук проходит по более длинному пути, он представляет собой задержанную версию прямого звука, и создается гребенчатый фильтр, в котором они объединяются в слушателе.^[2]

Выполнение

Гребенчатые фильтры существуют в двух разных формах: прямая связь и Обратная связь; имена относятся к направлению, в котором сигналы задерживаются перед добавлением на вход.

Гребенчатые фильтры могут быть реализованы в дискретное время или непрерывное время; эта статья будет сосредоточена на реализациях с дискретным временем; свойства гребенчатого фильтра непрерывного времени очень похожи.

Форма обратной связи

Структура гребенчатого фильтра с прямой связью

Общая структура гребенчатого фильтра с прямой связью показана справа. Это можно описать следующим образом разностное уравнение:

${ Displaystyle у [п] = х [п] + альфа х [п-К]}$

где ${ displaystyle K}$ - длина задержки (измеряется в отсчетах), а α - коэффициент масштабирования, применяемый к задержанному сигналу. Если мы возьмем z преобразовать обеих частей уравнения, получаем:

${ Displaystyle Y (Z) = влево (1+ альфа Z ^ {- K} вправо) X (z)}$

Мы определяем функция передачи в качестве:

${ displaystyle H (z) = { frac {Y (z)} {X (z)}} = 1+ alpha z ^ {- K} = { frac {z ^ {K} + alpha} { z ^ {K}}}}$

Частотный отклик

Прогнозируемый ответ величины для различных положительный ценности α и K = 1

Прогнозируемый ответ величины для различных отрицательный ценности α и K = 1

Чтобы получить частотную характеристику системы с дискретным временем, выраженную в z-домен, делаем замену z = е^jΩ. Следовательно, для нашего гребенчатого фильтра с прямой связью мы получаем:

${ displaystyle H left (e ^ {j Omega} right) = 1 + alpha e ^ {- j Omega K}}$

С помощью Формула Эйлера, мы находим, что частотная характеристика также определяется выражением

${ Displaystyle Н влево (е ^ {J Omega} right) = { bigl [} 1+ alpha cos ( Omega K) { bigr]} - j alpha sin ( Omega K) }$

Часто интерес представляет величина ответ, который игнорирует фазу. Это определяется как:

${ displaystyle left | H left (e ^ {j Omega} right) right | = { sqrt { Re left {H left (e ^ {j Omega} right) right } ^ {2} + Im left {H left (e ^ {j Omega} right) right } ^ {2}}}}$

В случае гребенчатого фильтра с прямой связью это:

${ displaystyle left | H left (е ^ {j Omega} right) right | = { sqrt { left (1+ alpha ^ {2} right) +2 alpha cos ( Омега К)}}}$

Обратите внимание, что (1 + α²) член постоянный, тогда как 2α cos (ΩK) срок варьируется периодически. Следовательно, амплитудная характеристика гребенчатого фильтра является периодической.

Графики справа показывают отклик величины для различных значений α, демонстрируя эту периодичность. Некоторые важные свойства:

• Ответ периодически снижается до местный минимум (иногда известный как выемка), а периодически возрастает до локальный максимум (иногда известный как пик).
• Для положительных значений α, первый минимум происходит на половине периода задержки и повторяется с частотой, кратной частоте задержки:

${ displaystyle f = { frac {1} {2K}}, { frac {3} {2K}}, { frac {5} {2K}} cdots}$.

• Уровни максимумов и минимумов всегда равноудалены от 1.
• Когда α = ±1минимумы имеют нулевую амплитуду. В этом случае минимумы иногда называют нули.
• Максимумы для положительных значений α совпадают с минимумами для отрицательных значений ${ displaystyle alpha}$, и наоборот.

Импульсивный ответ

Гребенчатый фильтр с прямой связью - один из самых простых конечная импульсная характеристика фильтры.^[3] Его реакция - это просто начальный импульс со вторым импульсом после задержки.

Интерпретация полюс – ноль

Снова глядя на z- передаточная функция домена гребенчатого фильтра прямой связи:

${ Displaystyle H (z) = { гидроразрыва {z ^ {K} + alpha} {z ^ {K}}}}$

мы видим, что числитель равен нулю всякий раз, когда z^K = −α. Это K решения, равномерно распределенные по кругу в комплексная плоскость; эти нули передаточной функции. Знаменатель равен нулю при z^K = 0, давая K полюса в z = 0. Это приводит к полюс – ноль как показано ниже.

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра прямой связи с K = 8 и α = 0.5

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра прямой связи с K = 8 и α = −0.5

Форма обратной связи

Структура гребенчатого фильтра обратной связи

Точно так же общая структура гребенчатого фильтра обратной связи показана справа. Это можно описать следующим образом разностное уравнение:

${ Displaystyle у [п] = х [п] + альфа у [п-К]}$

Если мы переставим это уравнение так, чтобы все члены в ${ displaystyle y}$ находятся слева, а затем возьмите z преобразовываем, получаем:

${ Displaystyle влево (1- альфа Z ^ {- K} вправо) Y (z) = X (z)}$

Таким образом, передаточная функция:

${ displaystyle H (z) = { frac {Y (z)} {X (z)}} = { frac {1} {1- alpha z ^ {- K}}} = { frac {z ^ {K}} {z ^ {K} - alpha}}}$

Частотный отклик

Отклик величины обратной связи для различных положительный ценности α и K = 2

Отклик величины обратной связи для различных отрицательный ценности α и K = 2

Если мы сделаем замену z = е^jΩ в z-доменного выражения для гребенчатого фильтра обратной связи, получаем:

${ displaystyle H left (e ^ {j Omega} right) = { frac {1} {1- alpha e ^ {- j Omega K}}}}$

Отклик величины следующий:

${ displaystyle left | H left (e ^ {j Omega} right) right | = { frac {1} { sqrt { left (1+ alpha ^ {2} right) -2 alpha cos ( Omega K)}}}}$

Опять же, ответ периодический, как показывают графики справа. Гребенчатый фильтр обратной связи имеет некоторые общие свойства с формой прямой связи:

• Отклик периодически падает до локального минимума и повышается до локального максимума.
• Максимумы для положительных значений α совпадают с минимумами для отрицательных значений ${ displaystyle alpha}$, и наоборот.
• Для положительных значений α, первый максимум возникает в 0 и повторяется с кратной частотой задержки после этого:

${ displaystyle f = 0, { frac {1} {K}}, { frac {2} {K}}, { frac {3} {K}} cdots}$.

Однако есть и некоторые важные различия, потому что отклик величины имеет член в знаменатель:

• Уровни максимумов и минимумов больше не равноудалены от 1. Максимумы имеют амплитуду 1/1 − α.
• Фильтр только стабильный если |α| строго меньше 1. Как видно из графиков, при |α| увеличивается, амплитуда максимумов возрастает все быстрее.

Импульсивный ответ

Гребенчатый фильтр обратной связи представляет собой простой тип бесконечный импульсный отклик фильтр.^[4] Если он стабилен, ответ просто состоит из повторяющейся серии импульсов, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Интерпретация полюс – ноль

Снова глядя на z-доменная передаточная функция гребенчатого фильтра обратной связи:

${ Displaystyle H (z) = { гидроразрыва {z ^ {K}} {z ^ {K} - alpha}}}$

На этот раз числитель равен нулю при z^K = 0, давая K нули в z = 0. Знаменатель равен нулю всякий раз, когда z^K = α. Это K решения, равномерно распределенные по кругу в комплексная плоскость; это полюса передаточной функции. Это приводит к графику «полюс – ноль», как показано ниже.

График полюс-ноль гребенчатого фильтра обратной связи с K = 8 и α = 0.5

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра обратной связи с K = 8 и α = −0.5

Гребенчатые фильтры непрерывного действия

Гребенчатые фильтры также могут быть реализованы в непрерывное время. Форма прямой связи может быть описана следующим уравнением:

${ Displaystyle у (т) = х (т) + альфа х (т- тау)}$

где τ - задержка (измеряется в секундах). Он имеет следующую передаточную функцию:

${ Displaystyle H (s) = 1 + альфа е ^ {- s tau}}$

Форма с прогнозированием состоит из бесконечного числа нулей, разнесенных по оси jω.

Форма обратной связи имеет уравнение:

${ Displaystyle у (т) = х (т) + альфа у (т- тау)}$

и следующая передаточная функция:

${ displaystyle H (s) = { frac {1} {1- alpha e ^ {- s tau}}}}$

Форма обратной связи состоит из бесконечного числа полюсов, разнесенных по оси jω.

Реализации с непрерывным временем разделяют все свойства соответствующих реализаций с дискретным временем.

Смотрите также

• Интерферометр Фабри – Перо

Рекомендации