Бесконечный импульсный отклик - Infinite impulse response

Бесконечный импульсный отклик (IIR) - свойство, применимое ко многим линейные инвариантные во времени системы которые отличаются наличием импульсивный ответ час(т), который не становится точно равным нулю после определенного момента, но продолжается бесконечно. Это в отличие от конечная импульсная характеристика (FIR) система, в которой импульсная характеристика делает время от времени становиться ровно нулем т > Т для некоторых конечных Т, таким образом, имея конечную продолжительность. Общие примеры линейных инвариантных во времени систем: электронный и цифровые фильтры. Системы с этим свойством известны как БИХ-системы или же БИХ-фильтры.

На практике импульсная характеристика даже БИХ-систем обычно приближается к нулю, и ею можно пренебречь после определенного момента. Однако физические системы, которые вызывают реакции IIR или FIR, различны, и в этом заключается важность различия. Например, аналоговые электронные фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и / или катушек индуктивности (и, возможно, линейных усилителей), обычно являются БИХ-фильтрами. С другой стороны, фильтры с дискретным временем (обычно цифровые фильтры) на основе отводной линии задержки без обратной связи обязательно КИХ-фильтры. Конденсаторы (или катушки индуктивности) в аналоговом фильтре имеют «память», и их внутреннее состояние никогда полностью не расслабляется после импульса (в предположении классической модели конденсаторов и катушек индуктивности, где квантовые эффекты игнорируются). Но в последнем случае, после того как импульс достиг конца линии задержки, система больше не запоминает этот импульс и возвращается в свое исходное состояние; его импульсная характеристика за этой точкой точно равна нулю.

Реализация и дизайн

Хотя почти все аналог электронные фильтры - БИХ, цифровые фильтры - БИХ или КИХ. Наличие обратной связи в топологии дискретного фильтра (такой как блок-схема, показанная ниже) обычно создает БИХ-ответ. В z домен функция передачи БИХ-фильтра содержит нетривиальный знаменатель, описывающий эти условия обратной связи. Передаточная функция КИХ-фильтра, с другой стороны, имеет только числитель, как выражено в общей форме, полученной ниже. Все ${ displaystyle a_ {i}}$ коэффициенты с ${ displaystyle i> 0}$ (члены обратной связи) равны нулю, и фильтр не имеет конечных полюса.

Передаточные функции аналоговых электронных фильтров с БИХ-фильтрами были тщательно изучены и оптимизированы с учетом их амплитудных и фазовых характеристик. Эти функции непрерывного фильтра описаны в Домен Лапласа. Желаемые решения могут быть перенесены на случай фильтров с дискретным временем, передаточные функции которых выражены в области z, с помощью определенных математических методов, таких как билинейное преобразование, импульсная инвариантность, или же метод согласования полюса и нуля. Таким образом, цифровые БИХ-фильтры могут быть основаны на хорошо известных решениях для аналоговых фильтров, таких как Фильтр Чебышева, Фильтр Баттерворта, и эллиптический фильтр, наследуя характеристики этих решений.

Вывод передаточной функции

Цифровые фильтры часто описываются и реализуются с точки зрения разностное уравнение который определяет, как выходной сигнал соотносится с входным сигналом:

{ displaystyle { begin {align} y [n] {} = & { frac {1} {a_ {0}}} (b_ {0} x [n] + b_ {1} x [n-1] + cdots + b_ {P} x [nP] & {} - a_ {1} y [n-1] -a_ {2} y [n-2] - cdots -a_ {Q} y [nQ ]) end {выровнен}}}

куда:

${ Displaystyle P}$ это порядок фильтра с прямой связью
${ displaystyle b_ {i}}$ - коэффициенты прямого фильтра
${ displaystyle Q}$ это порядок фильтра обратной связи
${ displaystyle a_ {i}}$ коэффициенты фильтра обратной связи
${ Displaystyle х [п]}$ входной сигнал
${ Displaystyle у [п]}$ это выходной сигнал.

Более сжатая форма разностного уравнения:

{ displaystyle y [n] = { frac {1} {a_ {0}}} left ( sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [ni] - sum _ { j = 1} ^ {Q} a_ {j} y [nj] right)}

который при перестановке становится:

{ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} y [n-j] = sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [n-i]}

Чтобы найти функция передачи фильтра, сначала берем Z-преобразование каждой стороны приведенного выше уравнения, где мы используем сдвиг во времени имущество для получения:

{ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j} Y (z) = sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ { -i} X (z)}

Мы определяем передаточную функцию как:

{ Displaystyle { begin {align} H (z) & = { frac {Y (z)} {X (z)}} & = { frac { sum _ {i = 0} ^ {P } b_ {i} z ^ {- i}} { sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}}} end {выровнено}}}

Учитывая, что в большинстве конструкций БИХ-фильтров коэффициент ${ displaystyle a_ {0}}$ равно 1, передаточная функция БИХ-фильтра принимает более традиционную форму:

{ displaystyle H (z) = { frac { sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ {- i}} {1+ sum _ {j = 1} ^ {Q} а_ {j} z ^ {- j}}}}

Пример блок-схемы БИХ-фильтра. В

{ displaystyle z ^ {- 1}}

блок - это единичная задержка.

Стабильность

Передаточная функция позволяет судить о том, является ли система ограниченный вход, ограниченный выход (BIBO) стабильный. Чтобы быть конкретным, критерий устойчивости BIBO требует, чтобы ROC системы включает единичный круг. Например, для причинной системы все полюса передаточной функции должны иметь абсолютное значение меньше единицы. Другими словами, все полюса должны быть расположены внутри единичного круга в ${ displaystyle z}$ -самолет.

Полюса определяются как значения ${ displaystyle z}$ которые делают знаменатель ${ displaystyle H (z)}$ равно 0:

{ Displaystyle 0 = сумма _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}}

Очевидно, что если ${ displaystyle a_ {j} neq 0}$ тогда полюса не находятся в начале ${ displaystyle z}$ -самолет. Это в отличие от FIR фильтр, где все полюса расположены в начале координат, и поэтому всегда стабилен.

БИХ-фильтры иногда предпочтительнее КИХ-фильтров, потому что БИХ-фильтр может обеспечить гораздо более резкую переходную область. скатывание чем КИХ-фильтр того же порядка.

Пример

Пусть передаточная функция ${ displaystyle H (z)}$ из дискретный фильтр быть предоставленным:

{ displaystyle H (z) = { frac {B (z)} {A (z)}} = { frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}

регулируется параметром ${ displaystyle a}$ , действительное число с ${ Displaystyle 0 <| а | <1}$ . ${ displaystyle H (z)}$ стабильно и причинно с полюсом на ${ displaystyle a}$ .Временной домен импульсивный ответ может быть выражено как:

{ Displaystyle ч (п) = а ^ {п} и (п)}

куда ${ Displaystyle и (п)}$ это функция шага единицы Видно, что ${ Displaystyle ч (п)}$ ненулевой для всех ${ Displaystyle п geq 0}$ , таким образом, импульсный отклик продолжается бесконечно.

Пример БИХ-фильтра

Преимущества и недостатки

Основным преимуществом цифровых БИХ-фильтров перед КИХ-фильтрами является их эффективность в реализации, чтобы соответствовать техническим требованиям в отношении полосы пропускания, полосы задерживания, пульсаций и / или спада. Такой набор спецификаций может быть выполнен с меньшим порядком (Q в приведенных выше формулах) БИХ-фильтр по сравнению с КИХ-фильтром, отвечающим тем же требованиям. Если реализовано в сигнальном процессоре, это означает соответственно меньшее количество вычислений на временной шаг; вычислительная экономия часто является довольно большим фактором.

С другой стороны, FIR-фильтры проще спроектировать, например, в соответствии с конкретными требованиями к частотной характеристике. Это особенно верно, когда требование не является одним из обычных случаев (верхний проход, нижний проход, режектор и т.д.), которые были изучены и оптимизированы для аналоговых фильтров. Кроме того, FIR-фильтры могут быть легко изменены. линейная фаза (постоянный групповая задержка vs частота) - свойство, которое нелегко реализовать с помощью БИХ-фильтров и только в качестве приближения (например, с помощью Фильтр Бесселя ). Еще одна проблема, связанная с цифровыми БИХ-фильтрами, - это возможность предельный цикл поведение в режиме ожидания из-за системы обратной связи в сочетании с квантованием.

Смотрите также

Авторегрессионная модель
Электронный фильтр
Конечный импульсный отклик
Отношение рецидива, математическая формализация
Системный анализ

внешняя ссылка

Пятый модуль курса BORES Signal Processing DSP - Введение в DSP
Апплет для проектирования цифровых фильтров БИХ на Wayback Machine (архивировано 13 февраля 2010 г.)
Инструмент проектирования цифрового фильтра IIR - производит коэффициенты, графики, полюса, нули и код C
EngineerJS Онлайн инструмент проектирования IIR - не требует Java