Импульсная инвариантность - Impulse invariance

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Импульсная инвариантность это метод проектирования дискретного времени бесконечный импульсный отклик (IIR) фильтры из фильтров непрерывного времени, в которых импульсная характеристика системы непрерывного времени дискретизируется для получения импульсной характеристики системы дискретного времени. Частотная характеристика системы с дискретным временем будет суммой сдвинутых копий частотной характеристики системы с непрерывным временем; если система с непрерывным временем приблизительно ограничена полосой частот до частоты меньше, чем Частота Найквиста выборки, то частотная характеристика системы с дискретным временем будет примерно равна ей для частот ниже частоты Найквиста.

Обсуждение

Импульсная характеристика системы непрерывного времени, ${displaystyle h_ {c} (t)}$, выбирается с периодом выборки ${displaystyle T}$ для получения импульсной характеристики системы с дискретным временем, ${displaystyle h [n]}$.

${displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT),}$

Таким образом, частотные характеристики двух систем связаны соотношением

${displaystyle H (e ^ {jomega}) = {frac {1} {T}} sum _ {k = -infty} ^ {infty} {H_ {c} left (j {frac {omega} {T}} + j {frac {2 {pi}} {T}} kight)},}$

Если непрерывный временной фильтр приблизительно ограничен полосой пропускания (т.е. ${displaystyle H_ {c} (jOmega) <дельта}$ когда ${displaystyle | Omega | geq pi / T}$), то частотная характеристика системы с дискретным временем будет приблизительно соответствовать частотной характеристике системы с непрерывным временем для частот ниже π радиан на выборку (ниже частоты Найквиста 1 / (2Т) Гц):

${displaystyle H (e ^ {jomega}) = H_ {c} (jomega / T),}$ за ${displaystyle | omega | leq pi,}$

Сравнение с билинейным преобразованием

Обратите внимание, что наложение будет происходить, в том числе наложение ниже частоты Найквиста, до такой степени, что отклик фильтра непрерывного времени будет отличным от нуля выше этой частоты. В билинейное преобразование является альтернативой импульсной инвариантности, которая использует другое отображение, которое отображает частотную характеристику системы непрерывного времени, вплоть до бесконечной частоты, в диапазон частот вплоть до частоты Найквиста в случае дискретного времени, в отличие от отображения частот линейно с круговое перекрытие, как это делает импульсная инвариантность.

Влияние на полюса в работе системы

Если непрерывные полюсы в ${displaystyle s = s_ {k}}$, системная функция может быть записана в разложении по частям как

${displaystyle H_ {c} (s) = sum _ {k = 1} ^ {N} {frac {A_ {k}} {s-s_ {k}}},}$

Таким образом, с помощью обратного преобразования Лапласа импульсная характеристика равна

${displaystyle h_ {c} (t) = {egin {case} sum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} t}}, & tgeq 0 0, & {mbox {иначе}} конец {случаи}}}$

Импульсная характеристика соответствующей системы с дискретным временем определяется следующим образом:

${displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT),}$

${displaystyle h [n] = Tsum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} nT} u [n]},}$

Выполнение z-преобразования импульсной характеристики с дискретным временем дает следующую системную функцию с дискретным временем

${displaystyle H (z) = Tsum _ {k = 1} ^ {N} {frac {A_ {k}} {1-e ^ {s_ {k} T} z ^ {- 1}}},}$

Таким образом, полюса системной функции с непрерывным временем переводятся в полюса при z = e^s_kТ. Нули, если они есть, отображаются не так просто.^{[требуется разъяснение ]}

Полюсы и нули

Если у системной функции есть нули, а также полюсы, они могут быть отображены таким же образом, но результат больше не является результатом импульсной инвариантности: импульсный отклик в дискретном времени не равен просто выборкам импульсного отклика в непрерывном времени. Этот метод известен как согласованный метод Z-преобразования, или отображение полюс-нуль.

Стабильность и причинность

Поскольку полюса в системе непрерывного времени при s = s_k переходят к полюсам в системе с дискретным временем при z = exp (s_kТ), полюса в левой половине sкарта плоскости внутри единичного круга в z-самолет; поэтому, если фильтр непрерывного времени является причинным и стабильным, то фильтр дискретного времени также будет причинным и стабильным.

Исправленная формула

Когда причинно-следственная импульсная характеристика в непрерывном времени имеет прерывистый ${displaystyle t = 0}$, приведенные выше выражения несовместимы.^[1]Это потому что ${displaystyle h_ {c} (0)}$ имеет разные правые и левые пределы, и на самом деле должны вносить только их среднее, половину правого значения ${displaystyle h_ {c} (0 _ {+})}$, чтобы ${displaystyle h [0]}$.

Внесение этой поправки дает

${displaystyle h [n] = Tleft (h_ {c} (nT) - {frac {1} {2}} h_ {c} (0 _ {+}) delta [n] ight),}$

${displaystyle h [n] = Tsum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} nT}} влево (u [n] - {frac {1} {2}} дельта [ночь),}$

Выполнение z-преобразования импульсной характеристики с дискретным временем дает следующую системную функцию с дискретным временем

${displaystyle H (z) = Tsum _ {k = 1} ^ {N} {{frac {A_ {k}} {1-e ^ {s_ {k} T} z ^ {- 1}}} - {frac {T} {2}} сумма _ {k = 1} ^ {N} A_ {k}}.}$

Вторая сумма равна нулю для фильтров без разрывов, поэтому игнорировать ее часто безопасно.

Смотрите также

• Билинейное преобразование
• Метод согласованного Z-преобразования

Рекомендации

Другие источники