Зак преобразовать - Zak transform

В математика, то Зак преобразовать^[1][2] - это определенная операция, которая принимает на входе функцию одной переменной и производит на выходе функцию двух переменных. Выходная функция называется преобразованием Зака ​​входной функции. Преобразование определяется как бесконечная серия в котором каждый член является продуктом расширение из перевод по целое число функции и экспоненциальная функция. В приложениях Зак преобразовывают в обработка сигналов входная функция представляет собой сигнал и преобразование будет смешанным время –частота представление сигнала. Сигнал может быть реальная ценность или же комплексный, определенный на непрерывном множестве (например, действительные числа) или дискретный набор (например, целые числа или конечное подмножество целых чисел). Преобразование Зака ​​является обобщением дискретное преобразование Фурье.^[1][2]

Преобразование Зака ​​было открыто несколькими людьми в разных областях и называлось разными именами. Это было названо «картированием Гельфанда», потому что И. М. Гельфанд представил это в своей работе над собственная функция расширения. Это преобразование было независимо открыто заново Джошуа Заком в 1967 году, который назвал его «представлением k-q». Похоже, что среди экспертов в этой области есть общее согласие называть это преобразованием Зака, поскольку Зак был первым, кто систематически изучал это преобразование в более общих условиях и признал его полезность.^[1][2]

Преобразование Зака ​​в непрерывном времени: определение

При определении преобразования Зака ​​в непрерывном времени входная функция является функцией действительной переменной. Так что давайте ж(т) быть функцией действительной переменной т. Преобразование Зака ​​в непрерывном времени ж(т) является функцией двух действительных переменных, одна из которых т. Другая переменная может быть обозначена как ш. Преобразование Зака ​​в непрерывном времени определяется по-разному.

Определение 1

Позволять а быть положительной константой. Преобразование Зака ж(т), обозначаемый Z_а[ж], является функцией т и ш определяется^[1]

${ displaystyle Z_ {a} [f] (t, w) = { sqrt {a}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} f (at + ak) e ^ {- 2 pi kwi}}$.

Определение 2

Частный случай определения 1, полученный взятием а = 1 иногда используется как определение преобразования Зака.^[2] В этом частном случае преобразование Зака ж(т) обозначается Z[ж].

${ Displaystyle Z [е] (т, ш) = сумма _ {к = - infty} ^ { infty} е (т + к) е ^ {- 2 пи kwi}}$.

Определение 3

Обозначение Z[ж] используется для обозначения другой формы преобразования Зака. В этой форме преобразование Зака ж(т) определяется следующим образом:

${ Displaystyle Z [е] (т, ню) = сумма _ {к = - infty} ^ { infty} е (т + к) е ^ {- к ню я}}$.

Определение 4.

Позволять Т быть положительной константой. Преобразование Зака ж(т), обозначаемый Z_Т[ж], является функцией т и ш определяется^[2]

${ displaystyle Z_ {T} [е] (t, w) = { sqrt {T}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} f (t + kT) e ^ {- 2 pi kwTi}}$.

Здесь т и ш считаются удовлетворяющими условиям 0 ≤ т ≤ Т и 0 ≤ ш ≤ 1/Т.

Пример

Преобразование Зака ​​функции

${ displaystyle phi (t) = { begin {cases} 1, & 0 leq t <1 0, & { text {else}} end {cases}}}$

дан кем-то

${ Displaystyle Z [ phi] (т, ш) = е ^ {- 2 пи lceil -t rceil wi}}$

куда ${ Displaystyle lceil -t rceil}$ обозначает наименьшее целое число не менее ${ displaystyle -t}$ (в функция ceil ).

Свойства преобразования Зака

В дальнейшем будет предполагаться, что преобразование Зака ​​соответствует определению 2.

1. Линейность

Позволять а и б быть любыми действительными или комплексными числами. потом

${ Displaystyle Z [af + bg] (t, w) = aZ [f] (t, w) + bZ [g] (t, w)}$

2. Периодичность

${ Displaystyle Z [f] (t, w + 1) = Z [f] (t, w)}$

3. Квазипериодичность.

${ Displaystyle Z [f] (t + 1, w) = e ^ {2 pi wi} Z [f] (t, w)}$

4. Спряжение

${ displaystyle Z [{ bar {f}}] (t, w) = { overline {Z [f]}} (t, -w)}$

5. Симметрия

Если ж(т) даже тогда ${ Displaystyle Z [f] (t, w) = Z [f] (- t, -w)}$

Если ж(т) нечетно, то ${ Displaystyle Z [f] (t, w) = - Z [f] (- t, -w)}$

6. Свертка

Позволять ${ displaystyle star}$ обозначать свертка по переменной т.

${ Displaystyle Z [е звезда g] (t, w) = Z [f] (t, w) звезда Z [g] (t, w)}$

Формула обращения

Учитывая преобразование Зака ​​функции, функцию можно восстановить по следующей формуле:

${ displaystyle f (t) = int _ {0} ^ {1} Z [f] (t, w) , dw.}$

Дискретное преобразование Зака: определение

При определении дискретного преобразования Зака ​​входная функция является функцией целочисленной переменной. Так что давайте ж(п) быть функцией целочисленной переменной п (п принимая все положительные, нулевые и отрицательные целые числа в качестве значений). Дискретное преобразование Зака ж(п) является функцией двух вещественных переменных, одна из которых является целочисленной переменной п. Другая переменная - это реальная переменная, которую можно обозначить как ш. Дискретное преобразование Зака ​​также определяется по-разному. Однако ниже дается только одно из определений.

Определение

Дискретное преобразование Зака ​​функции ж(п) куда п - целочисленная переменная, обозначаемая Z[ж], определяется

${ displaystyle Z [f] (n, w) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} f (n + k) e ^ {- 2 pi kwi}.}$

Формула обращения

Учитывая дискретное преобразование функции ж(п), функцию можно восстановить по следующей формуле:

${ displaystyle f (n) = int _ {0} ^ {1} Z [f] (n, w) , dw.}$

Приложения

Преобразование Зака ​​успешно применяется в физике в квантовой теории поля,^[3] в электротехнике при частотно-временном представлении сигналов и при передаче цифровых данных. Преобразование Зака ​​также имеет приложения в математике. Например, он использовался в проблеме представления Габора.

Рекомендации