Расширенное z-преобразование - Advanced z-transform

В математика и обработка сигналов, то расширенное z-преобразование является продолжением z-преобразование, чтобы включить идеальные задержки, не кратные время выборки. Это принимает форму

${ Displaystyle F (z, m) = sum _ {k = 0} ^ { infty} f (kT + m) z ^ {- k}}$

куда

• Т период выборки
• м («параметр задержки») - это часть периода выборки. ${ displaystyle [0, T].}$

Он также известен как модифицированное z-преобразование.

Расширенное z-преобразование широко применяется, например, для точного моделирования задержек обработки в цифровое управление.

Характеристики

Если параметр задержки, м, считается фиксированным, тогда все свойства z-преобразования сохраняются для расширенного z-преобразования.

Линейность

${ Displaystyle { mathcal {Z}} left { sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} f_ {k} (t) right } = sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} F_ {k} (z, m).}$

Сдвиг во времени

${ displaystyle { mathcal {Z}} left {u (t-nT) f (t-nT) right } = z ^ {- n} F (z, m).}$

Демпфирование

${ displaystyle { mathcal {Z}} left {f (t) e ^ {- a , t} right } = e ^ {- a , m} F (e ^ {a , T } z, m).}$

Умножение времени

${ displaystyle { mathcal {Z}} left {t ^ {y} f (t) right } = left (-Tz { frac {d} {dz}} + m right) ^ { y} F (z, m).}$

Теорема о конечном значении

${ displaystyle lim _ {k to infty} f (kT + m) = lim _ {z to 1} (1-z ^ {- 1}) F (z, m).}$

Пример

Рассмотрим следующий пример, где ${ Displaystyle е (т) = соз ( омега т)}$:

${ Displaystyle { begin {align} F (z, m) & = { mathcal {Z}} left { cos left ( omega left (kT + m right) right) right } & = { mathcal {Z}} left { cos ( omega kT) cos ( omega m) - sin ( omega kT) sin ( omega m) right } & = cos ( omega m) { mathcal {Z}} left { cos ( omega kT) right } - sin ( omega m) { mathcal {Z}} left { sin ( omega kT) right } & = cos ( omega m) { frac {z left (z- cos ( omega T) right)} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) +1}} - sin ( omega m) { frac {z sin ( omega T)} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) + 1}} & = { frac {z ^ {2} cos ( omega m) -z cos ( omega (Tm))} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) +1}}. End {выравнивается}}}$

Если ${ displaystyle m = 0}$ тогда ${ Displaystyle F (г, м)}$ сводится к преобразованию

${ Displaystyle F (z, 0) = { frac {z ^ {2} -z cos ( omega T)} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) +1}},}$

что явно как раз z-преобразование ${ displaystyle f (t)}$.

Рекомендации

• Элиаху Ибрахам Юри, Теория и применение метода z-преобразования, Krieger Pub Co, 1973. ISBN  0-88275-122-0.