Билинейное преобразование - Bilinear transform

В билинейное преобразование (также известен как Тастин метод) используется в цифровая обработка сигналов и дискретное время теория управления для преобразования системного представления с непрерывным временем в дискретное время и наоборот.

Билинейное преобразование - это частный случай конформное отображение (а именно Преобразование Мёбиуса ), часто используемый для преобразования функция передачи ${displaystyle H_ {a} (s)}$ из линейный, неизменный во времени (LTI ) фильтр в непрерывный -time домен (часто называемый аналоговый фильтр ) к передаточной функции ${displaystyle H_ {d} (z)}$ линейного, инвариантного к сдвигу фильтра в дискретный -time домен (часто называемый цифровой фильтр хотя есть аналоговые фильтры, построенные с переключаемые конденсаторы которые являются фильтрами с дискретным временем). Он отображает позиции на ${displaystyle jomega}$ ось, ${displaystyle Re [s] = 0}$ , в s-plane к единичный круг, ${displaystyle | z | = 1}$ , в z-плоскость. Другие билинейные преобразования могут использоваться для деформации частотный отклик любой линейной системы с дискретным временем (например, для аппроксимации нелинейного частотного разрешения слуховой системы человека) и могут быть реализованы в дискретной области путем замены единичных задержек системы ${displaystyle left (z ^ {- 1} ight)}$ с первым порядком всепроходные фильтры.

Преобразование сохраняет стабильность и отображает каждую точку частотный отклик непрерывного фильтра, ${displaystyle H_ {a} (jomega _ {a})}$ в соответствующую точку на частотной характеристике фильтра дискретного времени, ${displaystyle H_ {d} (e ^ {jomega _ {d} T})}$ хотя на несколько иную частоту, как показано на Искажение частоты раздел ниже. Это означает, что для каждой особенности, которую можно увидеть в частотной характеристике аналогового фильтра, существует соответствующая функция с одинаковым усилением и фазовым сдвигом в частотной характеристике цифрового фильтра, но, возможно, на несколько другой частоте. Это едва заметно на низких частотах, но хорошо заметно на частотах, близких к Частота Найквиста.

Дискретное приближение времени

Билинейное преобразование - это приближение первого порядка функции натурального логарифма, которое является точным отображением z-самолет в s-самолет. Когда Преобразование Лапласа выполняется по сигналу с дискретным временем (с каждым элементом последовательности с дискретным временем, присоединенным к соответственно задержанному единичный импульс ) результатом будет именно Z преобразование дискретной временной последовательности с заменой

{displaystyle {egin {align} z & = e ^ {sT} & = {frac {e ^ {sT / 2}} {e ^ {- sT / 2}}} & приблизительно {frac {1 + sT / 2} {1-sT / 2}} конец {выровнено}}}

куда ${displaystyle T}$ это численное интегрирование размер шага трапеция используется при выводе билинейного преобразования;^[1] или, другими словами, период выборки. Вышеупомянутое билинейное приближение может быть решено для ${displaystyle s}$ или аналогичное приближение для ${displaystyle s = (1 / T) ln (z)}$ может быть выполнено.

Обратное к этому отображению (и его билинейному первому порядку приближение ) является

{displaystyle {egin {выравнивается} s & = {frac {1} {T}} ln (z) & = {frac {2} {T}} left [{frac {z-1} {z + 1}} + {frac {1} {3}} left ({frac {z-1} {z + 1}} ight) ^ {3} + {frac {1} {5}} left ({frac {z-1} { z + 1}} ight) ^ {5} + {frac {1} {7}} left ({frac {z-1} {z + 1}} ight) ^ {7} + cdots ight] & приблизительно {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} & = {frac {2} {T}} {frac {1-z ^ {- 1}} {1 + z ^ { -1}}} конец {выровнен}}}

Билинейное преобразование по существу использует это приближение первого порядка и заменяет передаточную функцию непрерывного времени, ${displaystyle H_ {a} (s)}$

{displaystyle sleftarrow {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}}.}

То есть

{displaystyle H_ {d} (z) = H_ {a} (s) {igg |} _ {s = {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}}} = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight). }

Сохраняются стабильность и свойство минимальной фазы

Причинный фильтр непрерывного времени стабильный если полюса передаточной функции попадают в левую половину сложный s-plane. Причинный фильтр с дискретным временем устойчив, если полюса его передаточной функции попадают внутрь единичный круг в комплексная z-плоскость. Билинейное преобразование отображает левую половину комплексной s-плоскости во внутреннюю часть единичной окружности в z-плоскости. Таким образом, фильтры, разработанные в области непрерывного времени, которые являются стабильными, преобразуются в фильтры в области дискретного времени, которые сохраняют эту стабильность.

Аналогично, фильтр непрерывного времени минимальная фаза если нули его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s-плоскости. Фильтр с дискретным временем является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают внутрь единичной окружности в комплексной z-плоскости. Затем то же свойство отображения гарантирует, что фильтры непрерывного времени с минимальной фазой преобразуются в фильтры с дискретным временем, которые сохраняют это свойство минимальной фазы.

Общее преобразование БИХ-фильтра с непрерывным временем

Рассмотрим БИХ-фильтр с непрерывным временем порядка ${displaystyle N}$

{displaystyle H_ {a} (s) = kprod _ {i = 1} ^ {N} {frac {s-xi _ {i}} {s-p_ {i}}},}

куда ${displaystyle p_ {i}}$ и ${displaystyle xi _ {i}}$ - полюсы и нули передаточной функции в s-плоскости. ${displaystyle K = 2 / T}$ (или при использовании искажения частоты, как описано ниже, позвольте ${displaystyle K = omega _ {0} / an (omega _ {0} T / 2)}$ ).

Билинейное преобразование фильтра получается заменой ${displaystyle s = K (z-1) / (z + 1)}$ :

{Displaystyle {egin {выровнено} H_ {d} (z) & = H_ {a} {igl (} K {frac {z-1} {z + 1}} {igr)} & = kprod _ {i = 1} ^ {N} {frac {K {frac {z-1} {z + 1}} - xi _ {i}} {K {frac {z-1} {z + 1}} - p_ {i} }} & = kprod _ {i = 1} ^ {N} {frac {K-xi _ {i}} {K-p_ {i}}} cdot {frac {z- {frac {K + xi _ { i}} {K-xi _ {i}}}} {z- {frac {K + p_ {i}} {K-p_ {i}}}}} & = H_ {a} (K) prod _ {i = 1} ^ {N} {frac {z-xi _ {i} ^ {d}} {z-p_ {i} ^ {d}}}, конец {выровнен}}}

куда ${displaystyle p_ {i} ^ {d}}$ , ${displaystyle xi _ {i} ^ {d}}$ являются полюсом z-плоскости и нулевыми точками дискретизированного фильтра,

{displaystyle p_ {i} ^ {d} = {frac {K + p_ {i}} {K-p_ {i}}}, quad xi _ {i} ^ {d} = {frac {K + xi _ { i}} {K-xi _ {i}}}.}

Пример

В качестве примера возьмем простой НЧ RC фильтр. Этот фильтр непрерывного времени имеет передаточную функцию

{displaystyle {egin {align} H_ {a} (s) & = {frac {1 / sC} {R + 1 / sC}} & = {frac {1} {1 + RCs}}. конец {выровнено} }}

Если мы хотим реализовать этот фильтр как цифровой фильтр, мы можем применить билинейное преобразование, заменив ${displaystyle s}$ формула выше; после некоторой доработки мы получаем следующее представление фильтра:

${displaystyle H_ {d} (z)}$	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight)}$
	${displaystyle = {frac {1} {1 + RCleft ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight)}}}$
	${displaystyle = {frac {1 + z} {(1-2RC / T) + (1 + 2RC / T) z}}}$
	${displaystyle = {frac {1 + z ^ {- 1}} {(1 + 2RC / T) + (1-2RC / T) z ^ {- 1}}}. }$

Коэффициенты знаменателя - это коэффициенты обратной связи, а коэффициенты числителя - коэффициенты прямой связи, используемые для реализации в реальном времени. цифровой фильтр.

Преобразование непрерывного фильтра первого порядка

Можно связать коэффициенты аналогового фильтра с непрерывным временем с коэффициентами аналогичного цифрового фильтра с дискретным временем, созданного в процессе билинейного преобразования. Преобразование общего непрерывного фильтра первого порядка с заданной передаточной функцией

{displaystyle H_ {a} (s) = {frac {b_ {0} s + b_ {1}} {a_ {0} s + a_ {1}}} = {frac {b_ {0} + b_ {1}) s ^ {- 1}} {a_ {0} + a_ {1} s ^ {- 1}}}}

использование билинейного преобразования (без предварительного искажения спецификации частоты) требует замены

{displaystyle sleftarrow K {гидроразрыв {1-z ^ {- 1}} {1 + z ^ {- 1}}}}

куда

{displaystyle K riangleq {frac {2} {T}}}

.

Однако, если компенсация искажения частоты, как описано ниже, используется в билинейном преобразовании, так что усиление и фаза аналогового и цифрового фильтра совпадают на частоте ${displaystyle omega _ {0}}$ , тогда

{displaystyle K riangleq {frac {omega _ {0}} {левый ({frac {omega _ {0} T} {2}} ight)}}}

.

В результате получается цифровой фильтр с дискретным временем, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходного фильтра с непрерывным временем:

{displaystyle H_ {d} (z) = {frac {(b_ {0} K + b_ {1}) + (- b_ {0} K + b_ {1}) z ^ {- 1}} {(a_ { 0} K + a_ {1}) + (- a_ {0} K + a_ {1}) z ^ {- 1}}}}

Обычно постоянный член в знаменателе должен быть нормализован до 1 до получения соответствующего разностное уравнение. Это приводит к

{displaystyle H_ {d} (z) = {frac {{frac {b_ {0} K + b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} + {frac {-b_ {0} K) + b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} z ^ {- 1}} {1+ {frac {-a_ {0} K + a_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} z ^ {- 1}}}.}

Разностное уравнение (с использованием Прямая форма I ) является

{displaystyle y [n] = {frac {b_ {0} K + b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} cdot x [n] + {frac {-b_ {0} K +) b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} cdot x [n-1] - {frac {-a_ {0} K + a_ {1}} {a_ {0} K + a_ { 1}}} cdot y [n-1].}

Преобразование биквада второго порядка.

Аналогичный процесс можно использовать для общего фильтра второго порядка с заданной передаточной функцией

{displaystyle H_ {a} (s) = {frac {b_ {0} s ^ {2} + b_ {1} s + b_ {2}} {a_ {0} s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {2}}} = {frac {b_ {0} + b_ {1} s ^ {- 1} + b_ {2} s ^ {- 2}} {a_ {0} + a_ {1} s ^ {-1} + a_ {2} s ^ {- 2}}}.}

Это приводит к дискретному времени цифровой биквадратный фильтр с коэффициентами, выраженными через коэффициенты исходного фильтра непрерывного времени:

{displaystyle H_ {d} (z) = {frac {(b_ {0} K ^ {2} + b_ {1} K + b_ {2}) + (2b_ {2} -2b_ {0} K ^ {2 }) z ^ {- 1} + (b_ {0} K ^ {2} -b_ {1} K + b_ {2}) z ^ {- 2}} {(a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}) + (2a_ {2} -2a_ {0} K ^ {2}) z ^ {- 1} + (a_ {0} K ^ {2} -a_ {1} K + a_ {2}) z ^ {- 2}}}}

Опять же, постоянный член в знаменателе обычно нормализуется до 1 перед получением соответствующего разностное уравнение. Это приводит к

{displaystyle H_ {d} (z) = {frac {{frac {b_ {0} K ^ {2} + b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ { 1} K + a_ {2}}} + {frac {2b_ {2} -2b_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2} }} z ^ {- 1} + {frac {b_ {0} K ^ {2} -b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} z ^ {- 2}} {1+ {frac {2a_ {2} -2a_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} z ^ {- 1} + {frac {a_ {0} K ^ {2} -a_ {1} K + a_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} z ^ {- 2}}}.}

Разностное уравнение (с использованием Прямая форма I ) является

{displaystyle y [n] = {гидроразрыв {b_ {0} K ^ {2} + b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ { 2}}} cdot x [n] + {frac {2b_ {2} -2b_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}} } cdot x [n-1] + {frac {b_ {0} K ^ {2} -b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} cdot x [n-2] - {frac {2a_ {2} -2a_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} cdot y [n-1] - {frac {a_ {0} K ^ {2} -a_ {1} K + a_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ { 1} K + a_ {2}}} cdot y [n-2].}

Искажение частоты

Чтобы определить частотную характеристику фильтра непрерывного времени, функция передачи ${displaystyle H_ {a} (s)}$ оценивается в ${displaystyle s = jomega _ {a}}$ который находится на ${displaystyle jomega}$ ось. Аналогичным образом, чтобы определить частотную характеристику дискретного фильтра, передаточная функция ${displaystyle H_ {d} (z)}$ оценивается в ${displaystyle z = e ^ {jomega _ {d} T}}$ который находится на единичной окружности, ${displaystyle | z | = 1}$ . Билинейное преобразование отображает ${displaystyle jomega}$ ось s-плоскость (из которых область ${displaystyle H_ {a} (s)}$ ) к единичной окружности z-самолет, ${displaystyle | z | = 1}$ (что является областью ${displaystyle H_ {d} (z)}$ ), но это нет такое же отображение ${displaystyle z = e ^ {sT}}$ который также отображает ${displaystyle jomega}$ ось к единичной окружности. Когда фактическая частота ${displaystyle omega _ {d}}$ вводится в фильтр дискретного времени, разработанный с использованием билинейного преобразования, тогда желательно знать, на какой частоте ${displaystyle omega _ {a}}$ , для фильтра с непрерывным временем, что это ${displaystyle omega _ {d}}$ сопоставлен.

{displaystyle H_ {d} (z) = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight)}

${displaystyle H_ {d} (e ^ {jomega _ {d} T})}$	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {e ^ {jomega _ {d} T} -1} {e ^ {jomega _ {d} T} +1}} ight )}$
	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} cdot {frac {e ^ {jomega _ {d} T / 2} left) (e ^ {jomega _ {d} T / 2} -e ^ {- jomega _ {d} T / 2} ight)} {e ^ {jomega _ {d} T / 2} left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} + e ^ {- jomega _ { d} T / 2} ight)}} ight)}$
	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} cdot {frac {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} -e ^ {- jomega _ {d} T / 2}) ight)} {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} + e ^ {- jomega _ {d} T / 2} ight)}} ight)}$
	${displaystyle = H_ {a} left (j {frac {2} {T}} cdot {frac {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} -e ^ {- jomega _ {d} T / 2) } ight) / (2j)} {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} + e ^ {- jomega _ {d} T / 2} ight) / 2}} ight)}$
	${displaystyle = H_ {a} left (j {frac {2} {T}} cdot {frac {sin (omega _ {d} T / 2)} {cos (omega _ {d} T / 2)}} ight )}$
	${displaystyle = H_ {a} left (j {frac {2} {T}} cdot an left (omega _ {d} T / 2ight) ight)}$

Это показывает, что каждая точка на единичной окружности в z-плоскости фильтра дискретного времени, ${displaystyle z = e ^ {jomega _ {d} T}}$ сопоставляется с точкой на ${displaystyle jomega}$ ось на s-плоскости фильтра непрерывного времени, ${displaystyle s = jomega _ {a}}$ . То есть преобразование частоты дискретного времени в непрерывное время билинейного преобразования равно

{displaystyle omega _ {a} = {frac {2} {T}} левый (omega _ {d} {frac {T} {2}} ight)}

и обратное отображение

{displaystyle omega _ {d} = {frac {2} {T}} arctan left (omega _ {a} {frac {T} {2}} ight).}

Фильтр дискретного времени работает на частоте ${displaystyle omega _ {d}}$ так же, как фильтр непрерывного времени ведет себя на частоте ${displaystyle (2 / T) an (omega _ {d} T / 2)}$ . В частности, коэффициент усиления и фазовый сдвиг, которые имеет фильтр дискретного времени на частоте ${displaystyle omega _ {d}}$ такое же усиление и фазовый сдвиг, что и у фильтра непрерывного времени на частоте ${displaystyle (2 / T) an (omega _ {d} T / 2)}$ . Это означает, что каждая особенность, каждая «выпуклость», которая видна в частотной характеристике фильтра непрерывного времени, также видна в фильтре дискретного времени, но с другой частотой. Для низких частот (то есть когда ${displaystyle omega _ {d} ll 2 / T}$ или же ${displaystyle omega _ {a} ll 2 / T}$ ), то объекты отображаются в немного разная частота; ${displaystyle omega _ {d} около omega _ {a}}$ .

Видно, что весь непрерывный частотный диапазон

{displaystyle -infty

отображается на основной частотный интервал

{displaystyle - {frac {pi} {T}}

Частота непрерывного фильтра ${displaystyle omega _ {a} = 0}$ соответствует частоте дискретного времени фильтра ${displaystyle omega _ {d} = 0}$ и частота фильтра непрерывного времени ${displaystyle omega _ {a} = pm infty}$ соответствуют частоте дискретного времени фильтра ${displaystyle omega _ {d} = pm pi / T.}$

Также видно, что существует нелинейная связь между ${displaystyle omega _ {a}}$ и ${displaystyle omega _ {d}.}$ Этот эффект билинейного преобразования называется искажение частоты. Фильтр непрерывного времени может быть разработан для компенсации этого искажения частоты путем установки ${displaystyle omega _ {a} = {frac {2} {T}} левое (omega _ {d} {frac {T} {2}} ight)}$ для каждой частотной спецификации, которую контролирует разработчик (например, угловой частоты или центральной частоты). Это называется предварительная деформация конструкция фильтра.

Однако можно компенсировать искажение частоты путем предварительного преобразования спецификации частоты. ${displaystyle omega _ {0}}$ (обычно резонансная частота или частота наиболее важной характеристики частотной характеристики) системы непрерывного времени. Эти предварительно деформированные спецификации могут затем использоваться в билинейном преобразовании для получения желаемой системы с дискретным временем. При проектировании цифрового фильтра как приближения фильтра непрерывного времени, частотная характеристика (как амплитуда, так и фаза) цифрового фильтра может быть сделана в соответствии с частотной характеристикой непрерывного фильтра на заданной частоте. ${displaystyle omega _ {0}}$ , а также согласование на DC, если следующее преобразование подставляется в передаточную функцию непрерывного фильтра.^[2] Это модифицированная версия преобразования Тастина, показанного выше.

{displaystyle sleftarrow {frac {omega _ {0}} {левый ({frac {omega _ {0} T} {2}} ight)}} {frac {z-1} {z + 1}}.}

Однако обратите внимание, что это преобразование становится исходным преобразованием

{displaystyle sleftarrow {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}}}

в качестве ${displaystyle omega _ {0} o 0}$ .

Основным преимуществом явления перекоса является отсутствие искажения частотной характеристики наложения спектров, которое наблюдается при Импульсная инвариантность.

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Оппенгейм, Алан (2010). Обработка сигналов в дискретном времени Третье издание. Аппер-Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Higher Education, Inc. стр. 504. ISBN 978-0-13-198842-2.

[2] Астром, Карл Дж. (1990). Системы с компьютерным управлением, теория и дизайн (Второе изд.). Прентис-Холл. п. 212. ISBN 0-13-168600-3.

[1]

[2]

Цифровая обработка сигналов
Теория	Теория обнаружения Дискретный сигнал Теория оценок Теорема выборки Найквиста – Шеннона
Подполя	Обработка аудиосигнала Цифровая обработка изображений Обработка речи Статистическая обработка сигналов
Методы	Z-преобразование Расширенное z-преобразование Метод согласованного Z-преобразования Билинейное преобразование Constant-Q преобразование Дискретное косинусное преобразование (DCT) Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Дискретное преобразование Фурье (DTFT) Импульсная инвариантность Интегральное преобразование Преобразование Лапласа Формула обращения поста Помеченное преобразование Зак преобразовать
Отбор проб	Сглаживание Фильтр сглаживания Даунсэмплинг Курс Найквиста / частота Передискретизация Квантование Частота выборки Недостаточная выборка Передискретизация