Цифровой фильтр - Digital filter

Эта статья описывает только один узкоспециализированный аспект связанной с ним темы. Пожалуйста помоги улучшить эту статью добавив более общую информацию. В страница обсуждения может содержать предложения. (Апрель 2018 г.)

Генерал конечная импульсная характеристика фильтр с п ступени, каждая с независимой задержкой, d_я, и усиление, а_я.

В обработка сигналов, а цифровой фильтр это система, которая выполняет математические операции с отобранный, дискретное время сигнал для уменьшения или усиления определенных аспектов этого сигнала. Это контрастирует с другим основным типом электронный фильтр, то аналоговый фильтр, что является Электронная схема работает на непрерывное время аналоговые сигналы.

Система цифровой фильтрации обычно состоит из аналого-цифровой преобразователь (АЦП) для выборки входного сигнала, затем микропроцессор и некоторые периферийные компоненты, такие как память для хранения данных и коэффициентов фильтрации и т. Д. Программные инструкции (программное обеспечение), выполняемые на микропроцессоре, реализуют цифровой фильтр, выполняя необходимые математические операции с числами получил от АЦП. В некоторых высокопроизводительных приложениях FPGA или же ASIC используется вместо микропроцессора общего назначения или специализированного цифровой сигнальный процессор (DSP) со специальной параллельной архитектурой для ускорения таких операций, как фильтрация.

Цифровые фильтры могут быть более дорогими, чем эквивалентные аналоговые фильтры из-за их повышенной сложности, но они делают практичным многие конструкции, которые непрактичны или невозможны в качестве аналоговых фильтров. Цифровые фильтры часто могут быть сделаны очень высокого порядка и часто представляют собой фильтры с конечной импульсной характеристикой, что позволяет линейная фаза отклик. При использовании в контексте аналоговых систем реального времени цифровые фильтры иногда имеют проблемную задержку (разницу во времени между входом и откликом) из-за связанных аналого-цифровой и цифро-аналоговый конверсии и фильтры сглаживания, или из-за других задержек в их реализации.

Цифровые фильтры - обычное дело и важный элемент повседневной электроники, такой как радио, сотовые телефоны, и AV-ресиверы.

Характеристика

Цифровой фильтр характеризуется функция передачи, или, что то же самое, его разностное уравнение. Математический анализ передаточной функции может описать, как она будет реагировать на любой ввод. Таким образом, проектирование фильтра состоит из разработки спецификаций, соответствующих проблеме (например, фильтр нижних частот второго порядка с определенной частотой среза), а затем создания передаточной функции, которая соответствует спецификациям.

В функция передачи для линейного, не зависящего от времени цифрового фильтра можно выразить как передаточную функцию в Z-домен; если это причинно, то оно имеет вид:^[1]

${displaystyle H (z) = {гидроразрыв {B (z)} {A (z)}} = {гидроразрыв {b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots + b_ {N} z ^ {- N}} {1 + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {2} z ^ {- 2} + cdots + a_ {M} z ^ { -M}}}}$

где порядок фильтра больше из N или же M.Видеть Zуравнение LCCD-преобразования для дальнейшего обсуждения этого функция передачи.

Это форма для рекурсивный фильтр, что обычно приводит к IIR бесконечный импульсный отклик поведение, но если знаменатель приравнивается к единство т.е. без обратной связи, тогда это становится РПИ или конечная импульсная характеристика фильтр.

Методы анализа

Для анализа поведения данного цифрового фильтра могут использоваться различные математические методы. Многие из этих методов анализа также могут использоваться в проектах и ​​часто составляют основу спецификации фильтра.

Обычно фильтры характеризуют, вычисляя, как они будут реагировать на простой ввод, такой как импульс. Затем можно расширить эту информацию, чтобы вычислить реакцию фильтра на более сложные сигналы.

Импульсивный ответ

В импульсивный ответ, часто обозначаемый ${displaystyle h [k]}$ или же ${displaystyle h_ {k}}$, является мерой того, как фильтр будет реагировать на Дельта Кронекера функция. ^[2]Например, для разностного уравнения можно было бы установить ${displaystyle x_ {0} = 1}$ и ${displaystyle x_ {k} = 0}$ за ${displaystyle keq 0}$ и оцените. Импульсная характеристика - это характеристика поведения фильтра. Цифровые фильтры обычно делятся на две категории: бесконечный импульсный отклик (IIR) и конечная импульсная характеристика В случае линейных не зависящих от времени фильтров FIR импульсная характеристика в точности равна последовательности коэффициентов фильтра, и, таким образом:

${displaystyle y_ {n} = sum _ {k = 0} ^ {N} b_ {k} x_ {n-k} = sum _ {k = 0} ^ {N} h_ {k} x_ {n-k}}$

БИХ-фильтры, с другой стороны, рекурсивны, а выход зависит как от текущего, так и от предыдущих входов, а также от предыдущих выходов. Таким образом, общая форма БИХ-фильтра:

${displaystyle sum _ {m = 0} ^ {M} a_ {m} y_ {n-m} = sum _ {k = 0} ^ {N} b_ {k} x_ {n-k}}$

График импульсной характеристики покажет, как фильтр отреагирует на внезапное, кратковременное нарушение. БИХ-фильтр всегда будет рекурсивным. Хотя рекурсивный фильтр может иметь конечную импульсную характеристику, нерекурсивные фильтры всегда будут иметь конечную импульсную характеристику. Примером может служить фильтр скользящего среднего (MA), который может быть реализован как рекурсивно.^{[нужна цитата ]} и нерекурсивно.

Уравнение разницы

В дискретное время систем цифровой фильтр часто реализуется путем преобразования функция передачи к линейное разностное уравнение с постоянным коэффициентом (LCCD) через Z-преобразование. Дискретный частотная область передаточная функция записывается как отношение двух полиномов. Например:

${displaystyle H (z) = {frac {(z + 1) ^ {2}} {(z- {frac {1} {2}}) (z + {frac {3} {4}})}}}$

Это расширено:

${displaystyle H (z) = {frac {z ^ {2} + 2z + 1} {z ^ {2} + {frac {1} {4}} z- {frac {3} {8}}}}}$

и сделать соответствующий фильтр причинный, числитель и знаменатель делятся в наивысшем порядке ${displaystyle z}$:

${displaystyle H (z) = {frac {1 + 2z ^ {- 1} + z ^ {- 2}} {1+ {frac {1} {4}} z ^ {- 1} - {frac {3}) {8}} z ^ {- 2}}} = {гидроразрыв {Y (z)} {X (z)}}}$

Коэффициенты знаменателя, ${displaystyle a_ {k}}$, - коэффициенты обратной связи, а коэффициенты числителя - коэффициенты прямой связи, ${displaystyle b_ {k}}$. Результирующий линейное разностное уравнение является:

${displaystyle y [n] = - сумма _ {k = 1} ^ {M} a_ {k} y [n-k] + sum _ {k = 0} ^ {N} b_ {k} x [n-k]}$

или, как в примере выше:

${displaystyle {frac {Y (z)} {X (z)}} = {frac {1 + 2z ^ {- 1} + z ^ {- 2}} {1+ {frac {1} {4}} z ^ {- 1} - {гидроразрыв {3} {8}} z ^ {- 2}}}}$

перестановка условий:

${displaystyle Rightarrow (1+ {frac {1} {4}} z ^ {- 1} - {frac {3} {8}} z ^ {- 2}) Y (z) = (1 + 2z ^ {- 1} + z ^ {- 2}) X (z)}$

затем, взяв обратное z-трансформировать:

${displaystyle Rightarrow y [n] + {frac {1} {4}} y [n-1] - {frac {3} {8}} y [n-2] = x [n] + 2x [n-1] ] + x [n-2]}$

и, наконец, решив для ${displaystyle y [n]}$:

${displaystyle y [n] = - {гидроразрыв {1} {4}} y [n-1] + {frac {3} {8}} y [n-2] + x [n] + 2x [n-1] ] + x [n-2]}$

Это уравнение показывает, как вычислить следующий выходной образец, ${displaystyle y [n]}$, с точки зрения прошлых результатов, ${displaystyle y [n-p]}$, настоящий ввод, ${displaystyle x [n]}$, и прошлые входы, ${displaystyle x [n-p]}$. Применение фильтра к входу в этой форме эквивалентно реализации Direct Form I или II (см. Ниже), в зависимости от точного порядка оценки.

Проще говоря, например, в том виде, в каком он используется программистом, реализующим вышеуказанное уравнение в коде, его можно описать следующим образом:

${displaystyle y}$ = вывод или отфильтрованное значение
${displaystyle x}$ = входное или входящее необработанное значение
${displaystyle n}$ = номер выборки, номер итерации или номер периода времени

и поэтому:

${displaystyle y [n]}$ = текущее отфильтрованное (выходное) значение
${displaystyle y [n-1]}$ = последнее отфильтрованное (выходное) значение
${displaystyle y [n-2]}$ = предпоследнее отфильтрованное (выходное) значение
${displaystyle x [n]}$ = текущее необработанное входное значение
${displaystyle x [n-1]}$ = последнее необработанное входное значение
${displaystyle x [n-2]}$ = предпоследнее необработанное входное значение

Дизайн фильтра

Дизайн цифровых фильтров - это обманчиво сложная тема. ^[3] Хотя фильтры легко понять и рассчитать, практические проблемы их проектирования и реализации значительны и являются предметом самых передовых исследований.

Есть две категории цифровых фильтров: рекурсивный фильтр и нерекурсивный фильтр. Их часто называют бесконечный импульсный отклик (IIR) фильтры и конечная импульсная характеристика (FIR) фильтры соответственно.^[4]

Реализация фильтра

После того, как фильтр сконструирован, его необходимо осуществленный путем разработки схемы потока сигналов, которая описывает фильтр с точки зрения операций над последовательностями выборок.

Заданная передаточная функция может быть реализована разными способами. Рассмотрим, как простое выражение, такое как ${displaystyle ax + bx + c}$ можно оценить - можно также вычислить эквивалент ${displaystyle x (a + b) + c}$. Таким же образом все реализации могут рассматриваться как «факторизации» одной и той же передаточной функции, но разные реализации будут иметь разные числовые свойства. В частности, некоторые реализации более эффективны с точки зрения количества операций или элементов памяти, необходимых для их реализации, а другие обеспечивают такие преимущества, как улучшенная числовая стабильность и уменьшенная ошибка округления. Некоторые конструкции лучше подходят для арифметика с фиксированной точкой и другие могут быть лучше для арифметика с плавающей запятой.

Прямая форма I

Простой подход к реализации БИХ-фильтра: прямая форма I, где непосредственно вычисляется разностное уравнение. Эта форма практична для небольших фильтров, но может быть неэффективной и непрактичной (численно нестабильной) для сложных конструкций.^[5] В общем, эта форма требует 2N элементов задержки (как для входных, так и для выходных сигналов) для фильтра порядка N.

Прямая форма II

Альтернативный прямая форма II только нужно N единицы задержки, где N - это порядок фильтра - потенциально вдвое меньше, чем в прямой форме I. Эта структура получается изменением порядка разделов числителя и знаменателя в прямой форме I, так как на самом деле это две линейные системы, и применяется свойство коммутативности. Затем можно заметить, что есть два столбца задержек (${displaystyle z ^ {- 1}}$), которые отводятся от центральной цепи, и их можно комбинировать, поскольку они избыточны, что дает реализацию, как показано ниже.

Недостатком является то, что прямая форма II увеличивает вероятность арифметического переполнения для фильтров высокой Q или резонанс.^[6] Было показано, что как Q увеличивается, шум округления обеих топологий прямой формы неограниченно возрастает.^[7] Это связано с тем, что, по идее, сигнал сначала проходит через многополюсный фильтр (который обычно увеличивает усиление на резонансных частотах), прежде чем результат этого становится насыщенным, а затем проходит через нулевой фильтр (который часто ослабляет большую часть того, что всеполюсная половина усиливается).

Каскадные секции второго порядка

Распространенной стратегией является реализация цифрового фильтра более высокого порядка (больше 2) в виде каскадной серии «биквадратрических» (или «биквадратных») секций второго порядка.^[8] (видеть цифровой биквадратный фильтр ). Преимущество этой стратегии в том, что диапазон коэффициентов ограничен. Каскадирование участков прямой формы II приводит к N элементы задержки для фильтров порядка N. Каскадирование секций прямой формы I приводит к N + 2 элемента задержки, так как элементы задержки входа любой секции (кроме первой) являются избыточными с элементами задержки выхода предыдущей секции.

Другие формы

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июль 2012 г.)

Другие формы включают:

• Прямая форма I и II транспонирует
• Последовательные / каскадные подсекции нижнего (типичного второго) порядка
• Параллельные подсекции нижнего (типичного второго) порядка
  • Непрерывное расширение фракции
• Решетка и лестница
  • Одно-, двух- и трехкратные формы решетки
  • Трех- и четырехкратно нормализованные лестничные формы
  • Структуры ARMA
• Государственно-космические структуры:
  • оптимально (в смысле минимального шума): ${displaystyle (N + 1) ^ {2}}$ параметры
  • оптимальные по блокам и оптимальные по разделам: ${displaystyle 4N-1}$ параметры
  • вход сбалансированный с вращением Гивенса: ${displaystyle 4N-1}$ параметры^[9]
• Связанные формы: Gold Rader (нормальный), State Variable (Chamberlin), Kingsbury, Modified State Variable, Zölzer, Modified Zölzer
• Волновые цифровые фильтры (WDF)^[10]
• Агарвал-Буррус (1AB и 2AB)
• Харрис – Брукинг
• ND-TDL
• Мультифидбэк
• Аналоговые формы, такие как ключи Саллена и фильтры переменных состояния
• Систолические массивы

Сравнение аналоговых и цифровых фильтров

Цифровые фильтры не подвержены нелинейности компонентов, которые значительно усложняют конструкцию аналоговых фильтров. Аналоговые фильтры состоят из несовершенных электронных компонентов, значения которых указаны с предельным допуском (например, значения резисторов часто имеют допуск ± 5%) и которые также могут изменяться в зависимости от температуры и дрейфа со временем. По мере увеличения порядка аналогового фильтра и, следовательно, количества его компонентов, влияние ошибок переменных компонентов значительно усиливается. В цифровых фильтрах значения коэффициентов хранятся в памяти компьютера, что делает их более стабильными и предсказуемыми.^[11]

Поскольку коэффициенты цифровых фильтров являются определенными, их можно использовать для достижения гораздо более сложных и избирательных схем - особенно с цифровыми фильтрами, можно добиться более низкой пульсации полосы пропускания, более быстрого перехода и более высокого затухания в полосе задерживания, чем это практично с аналоговыми фильтрами. Даже если бы конструкция могла быть достигнута с использованием аналоговых фильтров, инженерные затраты на разработку эквивалентного цифрового фильтра, вероятно, были бы намного ниже. Кроме того, можно легко изменить коэффициенты цифрового фильтра, чтобы адаптивный фильтр или параметрический фильтр, управляемый пользователем. Хотя эти методы возможны в аналоговом фильтре, они снова значительно сложнее.

Цифровые фильтры могут использоваться при разработке фильтров с конечной импульсной характеристикой. Эквивалентные аналоговые фильтры часто более сложны, поскольку для них требуются элементы задержки.

Цифровые фильтры меньше полагаются на аналоговую схему, что потенциально позволяет лучше соотношение сигнал шум. Цифровой фильтр будет вносить шум в сигнал во время аналоговой фильтрации нижних частот, аналого-цифрового преобразования, цифро-аналогового преобразования и может вносить цифровой шум из-за квантования. В аналоговых фильтрах каждый компонент является источником теплового шума (например, Джонсон шум ), так что с ростом сложности фильтра растет и шум.

Однако цифровые фильтры действительно увеличивают задержку в системе. В аналоговом фильтре задержка часто незначительна; строго говоря, это время для распространения электрического сигнала через схему фильтра. В цифровых системах задержка вносится элементами задержки в тракте цифрового сигнала и аналого-цифровой и цифро-аналоговые преобразователи которые позволяют системе обрабатывать аналоговые сигналы.

В очень простых случаях более рентабельно использовать аналоговый фильтр. Введение цифрового фильтра требует значительных накладных расходов схемы, как обсуждалось ранее, включая два аналоговых фильтра нижних частот.

Еще один аргумент в пользу аналоговых фильтров - низкое энергопотребление. Аналоговые фильтры требуют значительно меньшей мощности и поэтому являются единственным решением при жестких требованиях к питанию.

При замыкании электрической цепи на Печатная плата Как правило, проще использовать цифровое решение, поскольку блоки обработки данных сильно оптимизированы с годами. Создание такой же схемы с аналоговыми компонентами займет намного больше места при использовании дискретные компоненты. Две альтернативы FPAA^[12] и ASIC, но они дороги в небольших количествах.

Типы цифровых фильтров

Многие цифровые фильтры основаны на быстрое преобразование Фурье, математический алгоритм, который быстро извлекает частотный спектр сигнала, позволяя манипулировать спектром (например, создавать полосовые фильтры очень высокого порядка) перед преобразованием модифицированного спектра обратно в сигнал временного ряда с помощью операции обратного БПФ. Эти фильтры дают O (n log n) вычислительные затраты, тогда как обычные цифровые фильтры имеют тенденцию быть O (n²).

Другой вид цифрового фильтра - это пространство состояний Хорошо используемым фильтром в пространстве состояний является Фильтр Калмана опубликовано Рудольф Кальман в 1960 г.

Традиционные линейные фильтры обычно основаны на затухании. В качестве альтернативы могут быть разработаны нелинейные фильтры, включая фильтры передачи энергии. ^[13] которые позволяют пользователю перемещать энергию заданным образом. Таким образом, нежелательные шумы или эффекты могут быть перемещены в новые полосы частот с более низкой или высокой частотой, распределены по диапазону частот, разделены или сфокусированы. Фильтры передачи энергии дополняют традиционные конструкции фильтров и предоставляют гораздо больше степеней свободы в конструкции фильтров. Цифровые фильтры передачи энергии относительно легко спроектировать, реализовать и использовать нелинейную динамику.

Есть разные способы охарактеризовать фильтры; Например:

• А линейный фильтр - это линейное преобразование входных отсчетов; другие фильтры нелинейный. Линейные фильтры удовлетворяют принцип суперпозиции, т.е. если вход представляет собой взвешенную линейную комбинацию различных сигналов, выход представляет собой линейную комбинацию соответствующих выходных сигналов с аналогичным взвешиванием.
• А причинный фильтр использует только предыдущие выборки входных или выходных сигналов; в то время как не причинный фильтр использует будущие входные образцы. Непричинный фильтр обычно можно превратить в причинный фильтр, добавив к нему задержку.
• А неизменный во времени фильтр имеет постоянные свойства во времени; другие фильтры, такие как адаптивные фильтры изменение во времени.
• А стабильный filter выдает результат, который со временем сходится к постоянному значению или остается ограниченным в пределах конечного интервала. An неустойчивый filter может выдавать неограниченный рост на выходе с ограниченным или даже нулевым входом.
• А конечная импульсная характеристика (FIR) фильтр использует только входные сигналы, в то время как бесконечный импульсный отклик (БИХ) фильтр использует как входной сигнал, так и предыдущие выборки выходного сигнала. КИХ-фильтры всегда стабильны, а БИХ-фильтры могут быть нестабильными.

Фильтр может быть представлен блок-схема, который затем можно использовать для получения образца обработки алгоритм реализовать фильтр с помощью аппаратных инструкций. Фильтр также можно описать как разностное уравнение, коллекция нули и полюсы или импульсивный ответ или же пошаговая реакция.

Смотрите также

• Фильтр Бесселя
• Фильтр Баттерворта
• Соответствующий фильтр
• Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра)
• Фильтр Линквица – Райли
• Фильтр Чебышева
• Образец (сигнал)
• Электронный фильтр
• Дизайн фильтра
• Биквадратный фильтр
• Фильтр высоких частот, Фильтр нижних частот
• Бесконечный импульсный отклик, Конечный импульсный отклик
• Билинейное преобразование
• Фильтр Савицкого – Голея

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Дж. О. Смит III, Введение в цифровые фильтры с аудио приложениями, Центр компьютерных исследований в музыке и акустике (CCRMA), Стэнфордский университет, сентябрь 2007 г.
• Митра, С. К. (1998). Цифровая обработка сигналов: компьютерный подход. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
• Оппенгейм, А.В.; Шафер, Р. В. (1999). Обработка сигналов в дискретном времени. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Прентис-Холл.
• Кайзер, Дж. Ф. (1974). Разработка нерекурсивного цифрового фильтра с использованием оконной функции Ио-син. Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Теория схем. С. 20–23.
• Bergen, S. W. A .; Антониу, А. (2005). «Разработка нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна». Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов. 2005 (12): 1910–1922. Bibcode:2005EJASP2005 ... 44B. Дои:10.1155 / ASP.2005.1910.
• Паркс, Т.; Макклеллан, Дж. Х. (Март 1972 г.). «Приближение Чебышева для нерекурсивных цифровых фильтров с линейной фазой». IEEE Trans. Теория схем. КТ-19 (2): 189–194. Дои:10.1109 / TCT.1972.1083419.
• Рабинер, Л.; Макклеллан, Дж. Х.; Паркс, Т. (Апрель 1975 г.). «Методы проектирования цифровых КИХ-фильтров с использованием взвешенного приближения Чебышева». Proc. IEEE. 63 (4): 595–610. Bibcode:1975IEEEP..63..595R. Дои:10.1109 / PROC.1975.9794. S2CID  12579115.
• Децки, А. Г. (октябрь 1972 г.). «Синтез рекурсивных цифровых фильтров с использованием критерия минимальной p-ошибки». IEEE Trans. Аудио электроакустика. AU-20 (4): 257–263. Дои:10.1109 / TAU.1972.1162392.