Закон Тейлора - Википедия - Taylors law

Степенной закон Тейлора это эмпирический закон в экология что связывает отклонение из количество особей вида на единицу площади среды обитания к соответствующему иметь в виду по сила закона отношение.^[1] Он назван в честь эколога, впервые предложившего его в 1961 году. Лайонел Рой Тейлор (1924–2007).^[2] Первоначальное имя Тейлора для этих отношений было законом среднего.^[1]

Определение

Этот закон был первоначально определен для экологических систем, в частности, для оценки пространственного кластеризации организмов. Для подсчета населения Y со средним µ и дисперсия var (Y), Закон Тейлора записан,

${ displaystyle operatorname {var} (Y) = a mu ^ {b},}$

куда а и б обе положительные константы. Тейлор предложил это соотношение в 1961 году, предполагая, что показатель степени б считается видоспецифическим индексом агрегации.^[1] Впоследствии этот степенной закон был подтвержден для многих сотен видов.^[3][4]

Закон Тейлора также применялся для оценки зависимых от времени изменений в распределении населения.^[3] Связанное отклонение от среднего степенного закона также было продемонстрировано в нескольких неэкологических системах:

• метастаз рака^[5]
• количество домов, построенных на равнине Тонами в Японии.^[6]
• эпидемиология кори^[7]
• ВИЧ эпидемиология,^[8]
• географическая кластеризация детства лейкемия^[9]
• неоднородность кровотока^[10][11]
• геномное распределение однонуклеотидные полиморфизмы (SNP)^[12]
• генные структуры^[13]
• в теория чисел с последовательными значениями Функция Мертенса^[14] а также с раздачей простые числа ^[15]
• от отклонений собственных значений гауссовских ортогональных и унитарных ансамблей случайная матрица теория^[16]

История

Первое использование графика двойного журнала было сделано Рейнольдс в 1879 г. по тепловой аэродинамике.^[17] Парето использовали аналогичный график для изучения доли населения и их доходов.^[18]

Период, термин отклонение был придуман Фишер в 1918 г.^[19]

Биология

Фишер^[20] в 1921 г. предложил уравнение

${ displaystyle s ^ {2} = am + bm ^ {2}}$

Нейман изучал взаимосвязь между выборочным средним и дисперсией в 1926 г.^[21] Барлетт предложил связь между выборочным средним и дисперсией в 1936 г.^[22]

${ displaystyle s ^ {2} = am + bm ^ {2}}$

Смит в 1938 г., изучая урожайность сельскохозяйственных культур, предложил связь, аналогичную соотношению Тейлора.^[23] Эти отношения были

${ displaystyle log V_ {x} = log V_ {1} + b log x ,}$

куда V_Икс это дисперсия доходности для участков Икс единицы, V₁ - дисперсия урожайности на единицу площади и Икс размер участков. Наклон (б) - показатель неоднородности. Значение б в этом соотношении находится между 0 и 1. Если доходность сильно коррелирована б стремится к 0; когда они не коррелируют б стремится к 1.

блаженство^[24] в 1941 году Фракер и Бришл^[25] в 1941 г. и Hayman & Lowe ^[26] в 1961 г. также описал то, что сейчас известно как закон Тейлора, но в контексте данных по отдельным видам.

Л. Р. Тейлор (1924–2007) был английским энтомологом, работавшим в обследовании насекомых в Ротамстеде по борьбе с вредителями. В его статье 1961 года использовались данные из 24 статей, опубликованных между 1936 и 1960 годами. В этих статьях рассматривались различные биологические условия: вирус поражения, макрозоопланктон, черви и симфилиды в почва, насекомые в почве, на растения и в воздухе, клещи на листья, клещи на овца и рыбы в море.^[1] В этих документах б значение лежало между 1 и 3. Тейлор предложил степенной закон как общую характеристику пространственного распределения этих видов. Он также предложил механистическую гипотезу для объяснения этого закона. Среди процитированных документов были бумаги Блисс, Йейтса и Финни.

Первоначальные попытки объяснить пространственное распределение животных были основаны на таких подходах, как Бартлетта стохастические модели населения и отрицательное биномиальное распределение что может быть результатом процессы рождения-смерти.^[27] Новое объяснение Тейлора было основано на предположении о сбалансированном миграционном и коллективном поведении животных.^[1] Его гипотеза изначально была качественной, но по мере ее развития стала полуколичественной и была подтверждена симуляциями.^[28] Предполагая, что поведение животных было основным механизмом кластеризации организмов, Тейлор, похоже, проигнорировал свой собственный отчет о кластеризации, наблюдаемой с бляшками вируса некроза табака.^[1]

После первых публикаций Тейлора было выдвинуто несколько альтернативных гипотез степенного закона. Хански предложил модель случайного блуждания, модулированную предполагаемым мультипликативным эффектом воспроизводства.^[29] Модель Хански предсказывала, что экспонента степенного закона будет ограничена близким диапазоном около значения 2, что казалось несовместимым со многими сообщаемыми значениями.^[3][4]

Андерсон и другие сформулировал простую стохастическую модель рождения, смерти, иммиграции и эмиграции, которая дает квадратичную функцию дисперсии.^[30] В ответ на эту модель Тейлор утверждал, что такая Марковский процесс предсказал бы, что показатель степени будет значительно различаться между повторными наблюдениями, и что такая изменчивость не наблюдалась.^[31]

Однако примерно в это время были высказаны опасения относительно статистической изменчивости при измерениях показателя степени и возможности того, что наблюдения за законом мощности могут отражать больше математических артефактов, чем механистический процесс.^[32] Тейлор и другие ответил дополнительной публикацией обширных наблюдений, которые, как он утверждал, опровергли опасения Даунинга.^[33]

Кроме того, Тораринссон опубликовал подробную критику модели поведения животных, отметив, что Тейлор несколько раз модифицировал свою модель в ответ на высказанные опасения, и что некоторые из этих модификаций несовместимы с более ранними версиями.^[34] Тораринссон также утверждал, что Тейлор смешал количество животных с плотностью и что Тейлор неверно интерпретировал моделирование, которое было построено для демонстрации его моделей в качестве подтверждения.

Кемп рассмотрел ряд дискретных стохастических моделей, основанных на отрицательном биномиальном распределении, распределении Неймана типа A и Пойа – Эппли, которые при соответствующей настройке параметров могут давать отклонение от среднего степенного закона.^[35] Кемп, однако, не объяснил параметризации своих моделей механистическими терминами. Следуют и другие относительно абстрактные модели закона Тейлора.^[6][36]

В отношении закона Тейлора был поднят ряд дополнительных статистических проблем, связанных с трудностями при использовании реальных данных при различении закона Тейлора и другими функциями дисперсии к среднему, а также неточностью стандартных методов регрессии.^[37][38]

Отчеты также начали накапливаться там, где закон Тейлора применялся к данным временных рядов. Перри показал, как моделирование на основе теория хаоса может привести к закону Тейлора, а Килпатрик и Айвз предоставили моделирование, показывающее, как взаимодействия между различными видами могут привести к закону Тейлора.^[39][40]

Появились и другие отчеты, в которых закон Тейлора применялся к пространственному распределению растений.^[41] и бактериальные популяции^[42] Как и в случае упомянутых ранее наблюдений вируса некроза табака, эти наблюдения не соответствовали модели поведения животных Тейлора.

Ранее упоминалось, что дисперсия для обозначения степенной функции применялась к неэкологическим системам в рамках закона Тейлора. Для более общего объяснения диапазона проявлений степенного закона была предложена гипотеза, основанная на Распределения твиди,^[43] семейство вероятностных моделей, которые выражают внутреннюю зависимость степенной функции между дисперсией и средним значением.^[11][13][44] Подробности относительно этой гипотезы будут предоставлены в следующем разделе.

Еще одно альтернативное объяснение закона Тейлора было предложено Коэн и другие, полученный из Левонтин Коэн модель роста.^[45] Эта модель была успешно использована для описания пространственной и временной изменчивости лесных популяций.

Другая статья Коэна и Сюй о том, что случайная выборка в блоках, где подчиненное распределение искажено с конечными первыми четырьмя моментами, дает начало закону Тейлора.^[46] Также были выведены приближенные формулы для параметров и их дисперсий. Эти оценки были снова проверены данными из леса Блэк-Рок и оказались в разумном согласии.

После первых публикаций Тейлора было выдвинуто несколько альтернативных гипотез степенного закона. Хански предложил модель случайного блуждания, модулированную предполагаемым мультипликативным эффектом воспроизводства.^[29] Модель Хански предсказывала, что экспонента степенного закона будет ограничена близким диапазоном около значения 2, что казалось несовместимым со многими сообщаемыми значениями.^[3][4] Андерсон и другие сформулировал простую стохастическую модель рождения, смерти, иммиграции и эмиграции, которая дает квадратичную функцию дисперсии.^[30] В Левонтин Коэн модель роста.^[45] другое предлагаемое объяснение. Возникла вероятность того, что наблюдения за степенным законом могут отражать больше математических артефактов, чем механистический процесс.^[32] Однако вариации в показателях закона Тейлора применительно к экологическим популяциям нельзя объяснить или спрогнозировать исключительно на основании статистических данных.^[47] Исследования показали, что вариации в пределах показателей закона Тейлора для сообщества рыб Северного моря варьируются в зависимости от внешней среды, предполагая, что экологические процессы, по крайней мере, частично определяют форму закона Тейлора.^[48]

Физика

В физической литературе закон Тейлора упоминается как масштабирование колебаний. Эйслер и другие, в дальнейшей попытке найти общее объяснение масштабирования флуктуаций, предложили процесс, который они назвали ударная неоднородность в которых частые события связаны с более сильными ударами.^[49] Однако в приложении B к статье Эйслера авторы отметили, что уравнения для ударной неоднородности дают те же математические соотношения, что и для распределений Твиди.

Другая группа физиков, Фрончак и Фрончак, вывели степенной закон Тейлора для масштабирования флуктуаций из принципов равновесия и неравновесия. статистическая физика.^[50] Их вывод был основан на предположениях о физических величинах, таких как свободная энергия и внешний поле что вызвало скопление биологических организмов. Однако прямая экспериментальная демонстрация этих постулируемых физических величин по отношению к агрегации животных или растений еще не была достигнута. Вскоре после этого был представлен анализ модели Фрончака и Фрончака, который показал, что их уравнения напрямую приводят к распределениям Твиди, и это открытие предполагает, что Фрончак и Фрончак, возможно, предоставили максимальная энтропия вывод этих распределений.^[14]

Математика

Доказано, что закон Тейлора справедлив для простые числа не превышающий заданное действительное число.^[51] Было показано, что этот результат справедлив для первых 11 миллионов простых чисел. Если Гипотеза о простых числах-близнецах Харди – Литтлвуда верно, то этот закон справедлив и для простых чисел-близнецов.

Название закона

Сам закон назван в честь эколога. Лайонел Рой Тейлор (1924–2007). Название Закон Тейлора был придуман Саутвудом в 1966 году.^[2] Первоначальное имя Тейлора для этих отношений было законом среднего

Гипотеза Твиди

Примерно в то время, когда Тейлор обосновывал свои экологические наблюдения, MCK Твиди, британский статистик и медицинский физик, исследовал семейство вероятностных моделей, которые теперь известны как Распределения твиди.^[52][53] Как упоминалось выше, все эти распределения характеризуются дисперсией, означающей степенной закон, математически идентичный закону Тейлора.

Распределение Твиди, наиболее применимое к экологическим наблюдениям, - это составное гамма-распределение Пуассона, который представляет собой сумму N независимые и одинаково распределенные случайные величины с гамма-распределением, где N - случайная величина, распределенная в соответствии с распределением Пуассона. В аддитивной форме его кумулянтная производящая функция (CGF) это:

${ displaystyle K_ {b} ^ {*} (s; theta, lambda) = lambda kappa _ {b} ( theta) left [ left (1+ {s over theta} right ) ^ { alpha} -1 right],}$

куда κ_б(θ) - кумулянтная функция,

${ displaystyle kappa _ {b} ( theta) = { frac { alpha -1} { alpha}} left ({ frac { theta} { alpha -1}} right) ^ { alpha},}$

показатель твиди

${ displaystyle alpha = { frac {b-2} {b-1}},}$

s - переменная производящей функции, а θ и λ - канонический и индексный параметры соответственно.^[43]

Эти два последних параметра аналогичны параметрам шкала и параметры формы используется в теории вероятностей. В кумулянты этого распределения можно определить последовательным дифференцированием CGF и последующей заменой s = 0 в полученные уравнения. Первый и второй кумулянты представляют собой среднее значение и дисперсию, соответственно, и, таким образом, составная функция Пуассона-гамма CGF дает закон Тейлора с константой пропорциональности

${ displaystyle a = lambda ^ {1 / ( alpha -1)}.}$

Кумулятивная функция распределения Пуассона-гамма была проверена для ограниченных экологических данных путем сравнения теоретической функции распределения с эмпирической функцией распределения.^[44] Ряд других систем, демонстрирующих дисперсию для обозначения степенных законов, связанных с законом Тейлора, были аналогичным образом протестированы для составного гамма-распределения Пуассона.^{[12][13][14][16]}

Основное обоснование гипотезы Твиди лежит в математической конвергенция свойства распределений Твиди.^[13] В Теорема Твиди о сходимости требует, чтобы распределения Твиди действовали как фокус конвергенции для широкого круга статистических процессов.^[54] Как следствие этой теоремы сходимости, процессы, основанные на сумме нескольких независимых небольших скачков, будут иметь тенденцию выражать закон Тейлора и подчиняться распределению Твиди. Предельная теорема для независимых и одинаково распределенных переменных, как и теорема Твиди о сходимости, может тогда рассматриваться как фундаментальная по сравнению с для этого случая модели популяции или модели, предложенные на основе моделирования или аппроксимации.^[14][16]

Эта гипотеза остается спорной; более традиционный динамика населения подходы кажутся предпочтительными среди экологов, несмотря на тот факт, что составное распределение Пуассона Твиди может быть непосредственно применено к динамическим механизмам популяций.^[6]

Одна из трудностей гипотезы Твиди состоит в том, что ценность б не находится в диапазоне от 0 до 1. Значения б <1 редки, но о них сообщалось.^[55]

Математическая формулировка

В символах

${ displaystyle s_ {i} ^ {2} = am_ {i} ^ {b},}$

куда s_я² это отклонение плотности яй образец, м_я это иметь в виду плотность яй образец и а и б являются константами.

В логарифмической форме

${ displaystyle log s_ {i} ^ {2} = log a + b log m_ {i}}$

Масштабная инвариантность

Закон Тейлора масштабно инвариантен. Если единица измерения изменена на постоянный коэффициент c, показатель степени (б) остается неизменной.

Чтобы увидеть это, позвольте у = сх. потом

${ displaystyle mu _ {1} = operatorname {E} (x)}$

${ displaystyle mu _ {2} = operatorname {E} (y) = operatorname {E} (cx) = c operatorname {E} (x) = c mu _ {1}}$

${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = operatorname {E} ((x- mu _ {1}) ^ {2})}$

${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2} = operatorname {E} ((y- mu _ {2}) ^ {2}) = operatorname {E} ((cx-c mu _ { 1}) ^ {2}) = c ^ {2} operatorname {E} ((x- mu _ {1}) ^ {2}) = c ^ {2} sigma _ {1} ^ {2 }}$

Закон Тейлора, выраженный в исходной переменной (Икс) является

${ Displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = а му _ {1} ^ {b}}$

и в измененной переменной (у) это

${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2} = a mu _ {2} ^ {b} = c ^ {2} sigma _ {1} ^ {2} = c ^ {2} a mu _ {1} ^ {b}}$

Было показано, что закон Тейлора - это единственное соотношение между средним и дисперсией, которое не зависит от масштаба.^[56]

Расширения и уточнения

Уточнение в оценке наклона б был предложен Райнером.^[57]

${ displaystyle b = { frac {f- varphi + { sqrt {(f- varphi) ^ {2} -4r ^ {2} f varphi}}} {2r { sqrt {f}}} }}$

куда р это Коэффициент корреляции момента Пирсона между журналом (s²) и журналм, ж - отношение дисперсий выборки в log (s²) и журналм и φ - отношение ошибок в журнале (s²) и журналм.

Обычная регрессия методом наименьших квадратов предполагает, чтоφ = ∞. Это имеет тенденцию недооценивать ценность б поскольку оценки как log (s²) и журналм подвержены ошибкам.

Феррис предложил расширение закона Тейлора. и другие когда берутся несколько проб^[58]

${ displaystyle s ^ {2} = cn ^ {d} m ^ {b},}$

куда s² и м - дисперсия и среднее значение соответственно, б, c и d константы и п количество отобранных проб. На сегодняшний день это предложенное расширение не было проверено на предмет применимости исходной версии закона Тейлора.

Небольшие образцы

Расширение этого закона для малых выборок было предложено Гански.^[59] Для малых образцов вариация Пуассона (п) - вариация, которую можно приписать вариации выборки, - может быть значительной. Позволять S - полная дисперсия, и пусть V быть биологической (реальной) дисперсией. потом

${ Displaystyle S = V + P}$

Предполагая справедливость закона Тейлора, имеем

${ displaystyle V = am ^ {b}}$

Поскольку в распределении Пуассона среднее значение равно дисперсии, мы имеем

${ Displaystyle P = m}$

Это дает нам

${ Displaystyle S = V + P = am ^ {b} + m}$

Это очень похоже на первоначальное предложение Барлетта.

Интерпретация

Значения наклона (б) значительно> 1 указывает на скопление организмов.

В Распределенный по Пуассону данные, б = 1.^[31] Если население следует логнормальный или же гамма-распределение, тогдаб = 2.

Для популяций, которые испытывают постоянную изменчивость окружающей среды на душу населения, регрессия log (дисперсия) по сравнению с log (средняя численность) должна иметь линию с б = 2.

Большинство изученных популяций имеют б <2 (обычно 1,5–1,6), но сообщалось о значениях 2.^[60] Иногда случаи с б > 2 не поступало.^[3] б значения ниже 1 встречаются редко, но также были зарегистрированы ( б = 0.93 ).^[55]

Было высказано предположение, что показатель степени закона (б) пропорциональна асимметрии основного распределения.^[61] Это предложение подверглось критике: вроде бы указывается дополнительная работа.^[62][63]

Примечания

Начало склона (б) в этой регрессии остается неясным. Для объяснения этого были предложены две гипотезы. Один предполагает, что б возникает из-за поведения вида и является константой для этого вида. Альтернатива предполагает, что это зависит от выборки населения. Несмотря на большое количество исследований, проведенных по этому закону (более 1000), этот вопрос остается открытым.

Известно, что оба а и б могут быть изменены из-за разброса по возрасту, смертности и размера выборки.^[64]

Этот закон может плохо подходить, если значения небольшие. По этой причине расширение закона Тейлора было предложено Hanski что улучшает соответствие закона Тейлора при низких плотностях.^[59]

Расширение кластерной выборки двоичных данных

Была предложена форма закона Тейлора, применимая к двоичным данным в кластерах (например, квадратах).^[65] В биномиальном распределении теоретическая дисперсия составляет

${ displaystyle { text {var}} _ { text {bin}} = np (1-p),}$

где (var_{мусорное ведро}) - биномиальная дисперсия, п - размер выборки на кластер, а п - это доля людей с определенным признаком (например, болезнью), оценка вероятности наличия у человека этой черты.

Одна из трудностей с двоичными данными состоит в том, что среднее значение и дисперсия, как правило, имеют определенную взаимосвязь: по мере того, как средняя доля инфицированных людей увеличивается выше 0,5, дисперсия уменьшается.

Теперь известно, что наблюдаемая дисперсия (var_{Наблюдения}) изменяется как степенная функция от (var_{мусорное ведро}).^[65]

Хьюз и Мэдден отметили, что если распределение является пуассоновским, среднее значение и дисперсия равны.^[65] Поскольку во многих наблюдаемых пропорциональных выборках это явно не так, вместо этого они предполагали биномиальное распределение. Они заменили среднее в законе Тейлора биномиальной дисперсией, а затем сравнили эту теоретическую дисперсию с наблюдаемой дисперсией. Для биномиальных данных они показали, что var_{Наблюдения} = var_{мусорное ведро} с избыточной дисперсией, вар_{Наблюдения} > var_{мусорное ведро}.

В символах модификация Хьюзом и Мэдденом закона Тиалора была

${ displaystyle { text {var}} _ { text {obs}} = a ({ text {var}} _ { text {bin}}) ^ {b}.}$

В логарифмической форме это соотношение имеет вид

${ displaystyle log ({ text {var}} _ { text {obs}}) = log a + b log ({ text {var}} _ { text {bin}}).}$

Эта последняя версия известна как двоичный степенной закон.

Ключевым шагом в выводе двоичного степенного закона Хьюзом и Мэдденом стало наблюдение Патил и Стителера.^[66] что отношение дисперсии к среднему, используемое для оценки избыточной дисперсии неограниченных количеств в одной выборке, на самом деле является отношением двух дисперсий: наблюдаемой дисперсии и теоретической дисперсии для случайного распределения. Для неограниченных подсчетов случайным распределением является Пуассон. Таким образом, степенной закон Тейлора для набора образцов можно рассматривать как связь между наблюдаемой дисперсией и дисперсией Пуассона.

В более широком смысле, Мэдден и Хьюз^[65] рассматривал степенной закон как взаимосвязь между двумя дисперсиями, наблюдаемой дисперсией и теоретической дисперсией для случайного распределения. С двоичными данными случайное распределение является биномиальным (не пуассоновским). Таким образом, степенной закон Тейлора и двоичный степенной закон являются двумя частными случаями общих степенных соотношений для неоднородности.

Когда оба а и б равны 1, то предлагается мелкомасштабный случайный пространственный образец, который лучше всего описывается биномиальным распределением. Когда б = 1 и а > 1, наблюдается чрезмерная дисперсия (мелкомасштабная агрегация). Когда б > 1, степень агрегации меняется в зависимости от п. Туречек и другие^[67] показали, что двоичный степенной закон описывает многочисленные наборы данных в патологии растений. В целом, б больше 1 и меньше 2.

Соответствие этого закона проверено моделированием.^[68] Эти результаты предполагают, что вместо одной линии регрессии для набора данных сегментная регрессия может быть лучшей моделью для действительно случайных распределений. Однако такая сегментация происходит только для очень коротких расстояний рассеяния и больших квадратов.^[67] Обрыв строки происходит только при п очень близко к 0.

Было предложено расширение этого закона.^[69] Первоначальная форма этого закона симметрична, но может быть расширена до асимметричной формы.^[69] Используя моделирование, симметричная форма соответствует данным, когда имеется положительная корреляция статуса болезни соседей. Если существует отрицательная корреляция между вероятностью заражения соседей, асимметричная версия лучше подходит для данных.

Приложения

Из-за повсеместного распространения закона Тейлора в биологии он нашел множество применений, некоторые из которых перечислены здесь.

Рекомендации по использованию

Это рекомендовано на основе моделирования.^[70] в приложениях, проверяющих применимость закона Тейлора к выборке данных, которая:

(1) общее количество изученных организмов должно быть> 15
(2) минимальное количество исследуемых групп организмов должно быть> 5
(3) плотность организмов должна варьироваться не менее чем на 2 порядка в пределах образца.

Случайно распределенные популяции

Принято считать (по крайней мере, изначально), что популяция случайно распределена в окружающей среде. Если популяция распределена случайным образом, то среднее значение ( м ) и дисперсия ( s² ) населения равны, и доля выборок, содержащих хотя бы одну особь ( п ) является

${ displaystyle p = 1-e ^ {- m}}$

Когда вид с комковидной структурой сравнивается с видом, который распределен случайным образом с равной общей плотностью, p будет меньше для вида, имеющего сгущенную структуру распределения. И наоборот, при сравнении однородно и случайно распределенных видов, но при одинаковой общей плотности, п будет больше для случайно распределенного населения. Это можно проверить графически, построив график п против м.

Уилсон и Рум разработали биномиальную модель, включающую закон Тейлора.^[71] Основные отношения

${ displaystyle p = 1-e ^ {- m log (s ^ {2} / m) (s ^ {2} / m-1) ^ {- 1}}}$

где бревно выносится на базу е.

Включая закон Тейлора, эти отношения становятся

${ displaystyle p = 1-e ^ {- m log (am ^ {b-1}) (am ^ {b-1} -1) ^ {- 1}}}$

Оценщик параметра дисперсии

Общий параметр дисперсии (k) отрицательного биномиального распределения

${ Displaystyle к = { гидроразрыва {м ^ {2}} {s ^ {2} -m}}}$

куда м выборочное среднее и s² это дисперсия.^[72] Если 1 / k если> 0, совокупность считается агрегированной; 1 / k = 0 ( s² = м ) популяция считается случайно (пуассоновской) распределенной и если 1 / k <0 популяция считается равномерно распределенной. Никаких комментариев по поводу раздачи делать нельзя, если k = 0.

Уилсон и Рум, предположив, что закон Тейлора применим к населению, дали альтернативную оценку для k:^[71]

${ displaystyle k = { frac {m} {am ^ {b-1} -1}}}$

куда а и б - константы из закона Тейлора.

Джонс^[73] используя оценку для k выше вместе с соотношением, разработанным Уилсоном и Румом для вероятности обнаружения выборки, имеющей хотя бы одного человека.^[71]

${ displaystyle p = 1-e ^ {- m log (am ^ {b-1}) (am ^ {b-1} -1) ^ {- 1}}}$

получил оценку вероятности выборки, содержащей Икс человек на единицу выборки. Формула Джонса

${ Displaystyle P (x) = P (x-1) { frac {k + x-1} {x}} { frac {mk ^ {- 1}} {mk ^ {- 1} -1}} }$

куда п( Икс ) - вероятность нахождения Икс человек на единицу выборки, k оценивается из уравнения Уилона и Рума, а м - выборочное среднее. Вероятность найти ноль особей п(0) оценивается с помощью отрицательное биномиальное распределение

${ Displaystyle P (0) = left (1 + { frac {m} {k}} right) ^ {- k}}$

Джонс также дает доверительные интервалы для этих вероятностей.

${ Displaystyle mathrm {CI} = t left ({ frac {P (x) (1-P (x))} {N}} right) ^ {1/2}}$

куда CI - доверительный интервал, т - критическое значение, взятое из t-распределения, и N - общий размер выборки.

Семейство распределений Каца

Кац предложил семейство дистрибутивов ( Семья Кац ) с 2 параметрами ( ш₁, ш₂ ).^[74] Это семейство дистрибутивов включает Бернулли, Геометрический, Паскаль и распределения Пуассона как частные случаи. Среднее значение и дисперсия распределения Каца равны

${ displaystyle m = { frac {w_ {1}} {1-w_ {2}}}}$

${ displaystyle s ^ {2} = { frac {w_ {1}} {(1-w_ {2}) ^ {2}}}}$

куда м это среднее и s² - дисперсия выборки. Параметры можно оценить методом моментов, из которых имеем

${ displaystyle { frac {w_ {1}} {1-w_ {2}}} = m}$

${ displaystyle { frac {w_ {2}} {1-w_ {2}}} = { frac {s ^ {2} -m} {m}}}$

Для распределения Пуассона ш₂ = 0 и ш₁ = λ параметр распределения Possion. Это семейство дистрибутивов также иногда называют семейством дистрибутивов Панджера.

Семейство Кац связано с семейством распределений Sundt-Jewel:^[75]

${ displaystyle p_ {n} = left (a + { frac {b} {n}} right) p_ {n-1}}$

Единственные члены семьи Сундт-Джуэл - это пуассоновский, биномиальный, отрицательный бином (Паскаль), расширенный усеченный отрицательный бином и распределения логарифмического ряда.

Если популяция подчиняется распределению Каца, то коэффициенты закона Тейлора равны

${ displaystyle a = - log (1-w_ {2})}$

${ displaystyle b = 1}$

Кац также ввел статистический тест.^[74]

${ displaystyle J_ {n} = { sqrt { frac {n} {2}}} { frac {s ^ {2} -m} {m}}}$

куда J_п это статистика теста, s² - дисперсия выборки, м среднее значение выборки и п размер выборки. J_п асимптотически нормально распределена с нулевым средним и единичной дисперсией. Если выборка распределена по Пуассону J_п = 0; ценности J_п <0 и> 0 обозначают недостаточную и большую дисперсию соответственно. Чрезмерная дисперсия часто вызвана скрытой неоднородностью - наличием множества субпопуляций в популяции, из которой отбирается выборка.

Эта статистика связана со статистикой Неймана – Скотта.

${ displaystyle NS = { sqrt { frac {n-1} {2}}} left ({ frac {s ^ {2}} {m}} - 1 right)}$

который, как известно, является асимптотически нормальным, и условной статистикой хи-квадрат (тест дисперсии Пуассона)

${ displaystyle T = { frac {(n-1) s ^ {2}} {m}}}$

которое, как известно, имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с п - 1 степень свободы при распределении Пуассона.

Если население подчиняется закону Тейлора, тогда

${ displaystyle J_ {n} = { sqrt { frac {n} {2}}} (am ^ {b-1} -1)}$

Время исчезновения

Если предположить, что применяется закон Тейлора, можно определить среднее время до местного исчезновения. Эта модель предполагает простое случайное блуждание во времени и отсутствие регулирования численности населения, зависящего от плотности.^[76]

Позволять ${ displaystyle N_ {t + 1} = rN_ {t}}$ куда N_т+1 и N_т размеры населения во время т + 1 и т соответственно и р - параметр, равный годовому приросту (убыванию населения). потом

${ displaystyle operatorname {var} (r) = s ^ {2} log r}$

где var (р) - дисперсия р.

Позволять K быть мерой численности вида (организмов на единицу площади). потом

${ displaystyle T_ {E} = { frac {2 log N} { operatorname {Var} (r)}} left ( log K - { frac { log N} {2}} right) }$

где T_E среднее время до местного исчезновения.

Вероятность вымирания от времени т является

${ Displaystyle Р (т) = 1-е ^ {т / Т_ {E}}}$

Минимальный размер популяции, необходимый для предотвращения исчезновения

Если население логарифмически нормально распределенный затем гармоническое среднее численности населения (ЧАС) относится к среднее арифметическое (м)^[77]

${ displaystyle H = m-am ^ {b-1}}$

При условии ЧАС должно быть> 0, чтобы популяция сохранялась, после перегруппировки мы имеем

${ displaystyle m> а ^ {1 / (2-b)}}$

это минимальный размер популяции для сохранения вида.

Предположение о логнормальном распределении применимо примерно к половине выборки из 544 видов.^[78] предполагая, что это, по крайней мере, правдоподобное предположение.

Оценщики размера выборки

Степень точности (D) определяется как s / м куда s это стандартное отклонение и м это среднее. Степень точности известна как коэффициент вариации в других контекстах. В экологических исследованиях рекомендуется: D быть в пределах 10–25%.^[79] Желаемая степень точности важна при оценке требуемого размера выборки, когда исследователь желает проверить, применим ли к данным закон Тейлора. Требуемый размер выборки был оценен для ряда простых распределений, но там, где распределение населения неизвестно или не может предполагаться, могут потребоваться более сложные формулы для определения требуемого размера выборки.

Если генеральная совокупность распределена по Пуассону, размер выборки (п) необходимо

${ Displaystyle п = { гидроразрыва {(т / Д) ^ {2}} {м}}}$

куда т критический уровень t распределение для ошибки 1-го типа с степени свободы что значит (м) был рассчитан с помощью.

Если популяция распределена как отрицательное биномиальное распределение тогда требуемый размер выборки

${ Displaystyle п = { гидроразрыва {(т / D) ^ {2} (м + к)} {mk}}}$

куда k - параметр отрицательного биномиального распределения.

Также была предложена более общая оценка размера выборки.^[80]

${ displaystyle n = left ({ frac {t} {D}} right) ^ {2} am ^ {b-2}}$

где a и b получены из закона Тейлора.

Альтернатива была предложена Саутвудом^[81]

${ Displaystyle п = а { гидроразрыва {м ^ {b}} {D ^ {2}}} ,}$

куда п требуемый размер выборки, а и б - коэффициенты закона Тейлора и D желаемая степень точности.

Карандинос предложил две похожие оценки для п.^[82] Первый был изменен Ruesink, чтобы включить закон Тейлора.^[83]

${ displaystyle n = left ({ frac {t} {d_ {m}}} right) ^ {2} am ^ {b-2}}$

куда d - отношение половины желаемого доверительного интервала (CI) к среднему. В символах

${ displaystyle d_ {m} = { frac {CI} {2m}}}$

Второй оценщик используется в биномиальной выборке (присутствие-отсутствие). Желаемый размер выборки (п) является

${ Displaystyle п = влево (td_ {p} right) ^ {2} p ^ {- 1} q}$

где d_п - отношение половины желаемого доверительного интервала к доле единиц выборки с индивидуумами, п - доля проб, содержащих особей и q = 1 − п. В символах

${ displaystyle d_ {p} = { frac {CI} {2p}}}$

Для двоичной выборки (присутствие / отсутствие) Schulthess и другие модифицированное уравнение Карандиноса

${ displaystyle N = left ({ frac {t} {D_ {pi}}} right) ^ {2} { frac {1-p} {p}}}$

куда N требуемый размер выборки, п - доля единиц, содержащих интересующие организмы, т - выбранный уровень значимости и D_ip - параметр, полученный из закона Тейлора.^[84]

Последовательная выборка

Последовательный анализ это метод статистический анализ где размер выборки заранее не фиксируется. Вместо этого образцы берутся в соответствии с заранее определенным правило остановки. Закон Тейлора был использован для вывода ряда правил остановки.

Формула фиксированной точности в последовательной выборке для проверки закона Тейлора была выведена Грином в 1970 году.^[85]

${ displaystyle log T = { frac { log (D ^ {2}) - a} {b-2}} + ( log n) { frac {b-1} {b-2}}}$

куда Т - совокупная сумма выборки, D это уровень точности, п размер выборки и а и б получены из закона Тейлора.

В качестве средства борьбы с вредителями Wilson и другие разработал тест, который включал пороговый уровень, при котором необходимо предпринять действия.^[86] Требуемый размер выборки составляет

${ displaystyle n = t | m-T | ^ {- 2} am ^ {b}}$

куда а и б - коэффициенты Тейлора, || это абсолютная величина, м выборочное среднее, Т - пороговый уровень и т - критический уровень t-распределения. Авторы также предоставили аналогичный тест для биномиальной выборки (присутствие-отсутствие).

${ Displaystyle п = т | м-Т | ^ {- 2} pq}$

куда п вероятность найти образец с присутствующими вредителями и q = 1 − п.

Грин вывел другую формулу выборки для последовательной выборки на основе закона Тейлора.^[87]

${ displaystyle D = (an ^ {1-b} T ^ {b-2}) ^ {1/2}}$

куда D это степень точности, а и б - коэффициенты закона Тейлора, п размер выборки и Т - общее количество отобранных особей.

Серра и другие предложили правило остановки, основанное на законе Тейлора.^[88]

${ displaystyle T_ {n} geq left ({ frac {an ^ {1-b}} {D ^ {2}}} right) ^ {1 / (2-b)}}$

куда а и б параметры из закона Тейлора, D желаемый уровень точности и Т_п - общий размер выборки.

Серра и другие также предложил второе правило остановки, основанное на регрессии Ивоа.

${ displaystyle T_ {n} geq { frac { alpha -1} {D ^ {2} - { frac { beta -1} {n}}}}}$

куда α и β параметры линии регрессии, D желаемый уровень точности и Т_п - общий размер выборки.

Авторы рекомендовали D быть установлен на 0,1 для исследования динамики населения и D = 0,25 для борьбы с вредителями.

Связанные анализы

Считается хорошей практикой оценить по крайней мере один дополнительный анализ агрегирования (кроме закона Тейлора), поскольку использование только одного индекса может вводить в заблуждение.^[89] Несмотря на то, что был предложен ряд других методов обнаружения взаимосвязи между дисперсией и средним значением в биологических образцах, на сегодняшний день ни один из них не достиг популярности закона Тейлора. Наиболее популярным анализом, используемым в сочетании с законом Тейлора, является, вероятно, регрессионный тест на пятнистость штата Айова, но все перечисленные здесь методы использовались в литературе.

Модель Барлетта – Иаво

Барлетт в 1936 году^[22] а позже Яво независимо в 1968 г.^[90] оба предложили альтернативное соотношение между дисперсией и средним значением. В символах

${ displaystyle s_ {i} ^ {2} = am_ {i} + bm_ {i} ^ {2} ,}$

куда s дисперсия яй образец и м_я это среднее значение яй образец

Когда население следует за отрицательное биномиальное распределение, а = 1 и б = k (показатель отрицательного биномиального распределения).

В большинстве исследований эта альтернативная формулировка не так хорошо подходит, как закон Тейлора.

Модель Нахмана

Нахман предложил связь между средней плотностью и долей образцов с нулевым счетом:^[91]

${ displaystyle p_ {0} = exp (-am ^ {b})}$

куда п₀ - доля образца с нулевым счетом, м - средняя плотность, а - масштабный параметр и б - параметр дисперсии. Если а = б = 0 распределение случайное. Это соотношение обычно проверяется в логарифмической форме.

${ Displaystyle журнал м = с + d журнал р_ {0}}$

Allsop использовал это соотношение вместе с законом Тейлора, чтобы получить выражение для доли зараженных единиц в выборке.^[92]

${ displaystyle P_ {1} = 1- exp left (- exp left ({ frac {{ frac { log _ {e}) left ({ frac {A ^ {2}} {a }} right)} {b-2}} + log _ {e} (n) left ({ frac {b-1} {b-2}} - 1 right) -c} {d} }верно-верно)}$

${ displaystyle N = nP_ {1}}$

куда

${ displaystyle A ^ {2} = { frac {D ^ {2}} {z _ { alpha / 2} ^ {2}}}}$

куда D² желаемая степень точности, z_{α / 2} - верхняя α / 2 нормального распределения, а и б - коэффициенты закона Тейлора, c и d - коэффициенты Нахмана, п размер выборки и N - количество зараженных единиц.

Уравнение Коно – Сугино

Двоичный отбор проб нередко используется в экологии. В 1958 году Коно и Сугино вывели уравнение, которое связывает долю образцов без особей со средней плотностью образцов.^[93]

${ displaystyle log (m) = log (a) + b log (- log (p_ {0}))}$

куда п₀ это доля выборки без особей, м - средняя плотность образца, а и б являются константами. Как и закон Тейлора, это уравнение подходит для различных групп населения, включая те, которые подчиняются закону Тейлора. В отличие от отрицательного биномиального распределения эта модель не зависит от средней плотности.

Вывод этого уравнения несложен. Пусть доля пустых единиц будет п₀ и предположим, что они распределены экспоненциально. потом

${ displaystyle p_ {0} = exp (-Am ^ {B})}$

Взяв бревна дважды и переставив, мы получим приведенное выше уравнение. Эта модель такая же, как у Нахмана.

Преимущество этой модели состоит в том, что она не требует подсчета особей, а требует их наличия или отсутствия. Подсчет особей может оказаться невозможным во многих случаях, особенно когда изучаются насекомые.

Примечание

Уравнение было получено при исследовании взаимосвязи между пропорцией п серии зараженных рисовых холмов и средней степени заражениям. Изучаемая модель была

${ displaystyle P = 1-ae ^ {bm}}$

куда а и б являются эмпирическими константами. На основе этой модели константы а и б были выведены и подготовлена ​​таблица значений п им

Использует

Прогнозируемые оценки м из этого уравнения подвержены смещению^[94] и рекомендуется, чтобы скорректированное среднее ( м_а ) использоваться вместо^[95]

${ displaystyle m_ {a} = m left (1 - { frac { operatorname {var} ( log (m_ {i}))} {2}} right)}$

где var - дисперсия средних значений единицы выборки. м_я и м общее среднее.

Альтернативная корректировка средних оценок:^[95]

${ displaystyle m_ {a} = я ^ {({ text {MSE}} / 2)}}$

где MSE - среднеквадратичная ошибка регрессии.

Эта модель также может быть использована для оценки стоп-линий для счетной (последовательной) выборки. Дисперсия оценочных средних составляет^[96]

${ displaystyle operatorname {var} (m) = m ^ {2} (c_ {1} + c_ {2} -c_ {3} + { text {MSE}})}$

куда

${ displaystyle c_ {1} = { frac { beta ^ {2} (1-p_ {0})} {np_ {0} log _ {e} (p_ {0}) ^ {2}}} }$

${ displaystyle c_ {2} = { frac { text {MSE}} {N}} + s _ { beta} ^ {2} ( log _ {e} ( log _ {e} (p_ {0 })) - p ^ {2})}$

${ displaystyle c_ {3} = { frac { exp (a + (b-2) [ alpha - beta log _ {e} (p_ {0})])} {n}}}$

где MSE - среднеквадратичная ошибка регрессии, α и β - константа и наклон регрессии соответственно, s_β² - дисперсия наклона регрессии, N - количество баллов в регрессии, п - количество единиц выборки и п среднее значение п₀ в регрессе. Параметры а и б оцениваются по закону Тейлора:

${ displaystyle s ^ {2} = a + b log _ {e} (m)}$

Уравнение Хьюза – Мэддена

Хьюз и Мэдден предложили проверить аналогичную взаимосвязь, применимую к бинарным наблюдениям в кластере, где каждый кластер содержит от 0 до n индивидуумов.^[65]

${ displaystyle var _ { text {obs}} = ap ^ {b} (1-p) ^ {c}}$

куда а, б и c константы, вар_{Наблюдения} - наблюдаемая дисперсия, а p - доля лиц с признаком (например, болезнью), оценка вероятности появления индивидуума с признаком. В логарифмической форме это соотношение имеет вид

${ displaystyle log ( operatorname {var} _ { text {obs}}) = log (a) + b log (p) + c log (1-p).}$

В большинстве случаев предполагается, что б = с, что приводит к простой модели

${ displaystyle operatorname {var} _ { text {obs}} = a (p (1-p)) ^ {b}}$

Эта взаимосвязь была подвергнута менее тщательной проверке, чем закон Тейлора. Тем не менее, он точно описал более 100 наборов данных, и нет опубликованных примеров, свидетельствующих о том, что он не работает.^[67]

Вариант этого уравнения был предложен Shiyomi et al. (^[97]), который предложил проверить регрессию

${ displaystyle log ( operatorname {var} _ { text {obs}} / n ^ {2}) = a + b log { frac {p (1-p)} {n}}}$

где var_{Наблюдения} это дисперсия, а и б - константы регрессии, п вот размер выборки (не выборка на кластер) и п - вероятность того, что в выборке будет хотя бы один человек.

Модель отрицательного биномиального распределения

Также была предложена отрицательная биномиальная модель.^[98] Параметр дисперсии (k) методом моментов м² / ( s² – м ) и п_я - доля выборок с количеством> 0. s² используется при расчете k являются значениями, предсказанными законом Тейлора. п_я наносится против 1 - (k(k + м)⁻¹)^k и соответствие данных проверяется визуально.

Перри и Тейлор предложили альтернативную оценку k на основе закона Тейлора.^[99]

${ displaystyle { frac {1} {k}} = { frac {am ^ {b-2} -1} {m}}}$

Более точную оценку параметра дисперсии можно сделать с помощью метода максимальная вероятность. Для отрицательного бинома это можно оценить из уравнения^[72]

${ displaystyle sum { frac {A_ {x}} {k + x}} = N log left (1 + { frac {m} {k}} right)}$

куда А_Икс это общее количество образцов с более чем Икс частные лица, N это общее количество особей, Икс количество особей в выборке, м - среднее количество особей в выборке и k - показатель степени. Значение k должен оцениваться численно.

Соответствие этой модели можно проверить несколькими способами, в том числе с помощью критерия хи-квадрат. Поскольку они могут быть искажены небольшими выборками, альтернативой является U статистика - разница между дисперсией, ожидаемой при отрицательном биномиальном распределении, и дисперсией выборки. Ожидаемая дисперсия этого распределения равна м + м² / k и

${ Displaystyle U = s ^ {2} -m + { frac {m ^ {2}} {k}}}$

куда s² - выборочная дисперсия, м выборочное среднее и k - отрицательный биномиальный параметр.

Дисперсия U равна^[72]

${ displaystyle operatorname {var} (U) = 2mp ^ {2} q left ({ frac {1-R ^ {2}} {- log (1-R) ​​-R}} right) + p ^ {4} { frac {(1-R) ​​^ {- k} -1-kR} {N (- log (1-R) ​​-R) ^ {2}}}}$

куда п = м / k, q = 1 + п, р = п / q и N - общее количество особей в выборке. Ожидаемая стоимость U равно 0. Для больших размеров выборки U раздается нормально.

Примечание: отрицательный бином на самом деле представляет собой семейство распределений, определяемых отношением среднего значения к дисперсии.

${ Displaystyle sigma ^ {2} = му + а му ^ {р}}$

куда а и п являются константами. Когда а = 0 это определяет распределение Пуассона. С п = 1 и п = 2, распределение известно как распределение NB1 и NB2 соответственно.

Эта модель является версией модели, предложенной ранее Барлеттом.

Тесты на общий параметр дисперсии

Параметр дисперсии (k)^[72] является

${ Displaystyle к = { гидроразрыва {м ^ {2}} {s ^ {2} -m}}}$

куда м выборочное среднее и s² это дисперсия. Если k⁻¹ если> 0, совокупность считается агрегированной; k⁻¹ = 0 популяция считается случайной; и если k⁻¹ <0 популяция считается равномерно распределенной.

Саутвуд рекомендовал регрессировать k против среднего и постоянного^[81]

${ displaystyle k_ {i} = a + bm_ {i}}$

куда k_я и м_я - параметр дисперсии и среднее значение i-й выборки соответственно для проверки существования общего параметра дисперсии (k_c). Наклон (б) значение значительно> 0 указывает на зависимость k от средней плотности.

Альтернативный метод был предложен Эллиотом, который предложил построить график ( s² − м ) против ( м² − s² / п ).^[100] k_c равен 1 / наклон этой регрессии.

Коэффициент Шарлье

Этот коэффициент (C) определяется как

${ displaystyle C = { frac {100 (s ^ {2} -m) ^ {0,5}} {m}}}$

Если можно предположить, что население распределено отрицательно биномиальным образом, то C = 100 (1/k)^0.5 куда k - дисперсионный параметр распределения.

Индекс дисперсии Коула

Этот индекс (я_c) определяется как^[101]

${ displaystyle I_ {c} = { frac { sum x ^ {2}} {( sum x) ^ {2}}}}$

Обычная интерпретация этого индекса такова: значения я_c <1, = 1,> 1 означают равномерное распределение, случайное распределение или агрегированное распределение.

Потому что s² = Σ х² - (Σx)², индекс также можно записать

${ displaystyle I_ {c} = { frac {s ^ {2} + (nm) ^ {2}} {(nm) ^ {2}}} = { frac {1} {n ^ {2}} } { frac {s ^ {2}} {m ^ {2}}} + 1}$

Если можно предположить, что закон Тейлора выполняется, то

${ displaystyle I_ {c} = { frac {am ^ {b-2}} {n ^ {2}}} + 1}$

Индексы Ллойда

Индекс средней загруженности Ллойда (IMC) - это среднее количество других точек, содержащихся в единице выборки, содержащей случайно выбранную точку.^[102]

${ displaystyle mathrm {IMC} = m + { frac {s ^ {2}} {m-1}}}$

куда м выборочное среднее и s² это дисперсия.

Индекс неоднородности Ллойда (IP)^[102] является

${ Displaystyle mathrm {IP} = { текст {IMC}} / м}$

Это показатель интенсивности рисунка, на который не влияет прореживание (случайное удаление точек).Этот индекс также был предложен Пиелу в 1988 году и иногда также известен под этим названием.

Поскольку оценка дисперсии IP чрезвычайно сложно оценить по самой формуле, Л.Лйод предложил подгонять к данным отрицательное биномиальное распределение. Этот метод дает параметр k

${ displaystyle s ^ {2} = m + { frac {m ^ {2}} {k}}}$

потом

${ displaystyle SE (IP) = { frac {1} {k ^ {2}}} left [ operatorname {var} (k) + { frac {k (k + 1) (k + m)} {mq}} right]}$

куда SE(IP) - стандартная ошибка индекса неоднородности,вар(k) - дисперсия параметра k и q это количество квадраты выборка ..

Если население подчиняется закону Тейлора, тогда

${ displaystyle mathrm {IMC} = m + a ^ {- 1} m ^ {1-b} -1}$

${ displaystyle mathrm {IP} = 1 + a ^ {- 1} m ^ {- b} - { frac {1} {m}}}$

Регрессионный тест на пятнистость

Ивао предложил регрессию пятнистости для проверки скопления^[103][104]

Позволять

${ displaystyle y_ {i} = m_ {i} + { frac {s ^ {2}} {m_ {i}}} - 1}$

у_я вот индекс средней скученности Ллойда.^[102] Выполните обычную регрессию наименьших квадратов м_я противу.

В этой регрессии значение наклона (б) является индикатором слипания: наклон = 1, если данные распределены по Пуассону. Постоянная (а) - это количество особей, которые разделяют единицу среды обитания при бесконечно малой плотности и могут быть <0, 0 или> 0. Эти значения представляют собой регулярность, случайность и агрегацию популяций в пространственных структурах соответственно. Ценность а <1 означает, что основной единицей распределения является отдельное лицо.

Где статистика s²/м не является константой, вместо этого рекомендуется использовать его для регрессии индекса Ллойда являюсь + бм² куда а и б являются константами.^[105]

Размер выборки (п) для заданной степени точности (D) для этой регрессии дается выражением^[105]

${ displaystyle n = left ({ frac {t} {D}} right) ^ {2} left ({ frac {a + 1} {m}} + b-1 right)}$

куда а - константа в этой регрессии, б наклон, м это среднее и т - критическое значение t-распределения.

Иаво предложил тест последовательной выборки, основанный на этой регрессии.^[106] Верхний и нижний пределы этого теста основаны на критических плотностях m_c где борьба с вредителями требует принятия мер.

${ displaystyle N_ {u} = im_ {c} + t (я (a + 1) m_ {c} + (b-1) m_ {c} ^ {2}) ^ {1/2}}$

${ displaystyle N_ {l} = im_ {c} -t (я (a + 1) m_ {c} + (b-1) m_ {c} ^ {2}) ^ {1/2}}$

куда N_ты и N_л - верхняя и нижняя границы соответственно, а постоянная из регрессии, б это наклон и я количество образцов.

Куно предложил альтернативный тест с последовательной остановкой, также основанный на этой регрессии.^[107]

${ displaystyle T_ {n} = { frac {a + 1} {D ^ {2} - { frac {b-1} {n}}}}}}$

куда Т_п - общий размер выборки, D это степень точности, п - количество единиц выборки, a - константа, а b - наклон регрессии соответственно.

Тест Куно подлежит условию, что п ≥ (б − 1) / D²

Паррелла и Джонс предложили альтернативную, но связанную стоп-линию^[108]

${ displaystyle T_ {n} = left (1 - { frac {n} {N}} right) { frac {a + 1} {D ^ {2} - left (1 - { frac { n} {N}} right) { frac {b-1} {n}}}}}$

куда а и б параметры из регрессии, N - максимальное количество единиц выборки и п - индивидуальный размер выборки.

Индекс рассеивания Мориситы

Индекс дисперсии Мориситы ( я_м ) - это масштабированная вероятность того, что две точки, выбранные случайным образом из всей генеральной совокупности, находятся в одной выборке.^[109] Более высокие значения указывают на более сгущенное распределение.

${ Displaystyle I_ {м} = { гидроразрыва { сумма х (х-1)} {нм (м-1)}}}$

Альтернативная формулировка:

${ Displaystyle I_ {m} = п { гидроразрыва { сумма х ^ {2} - сумма х} {( сумма х) ^ {2} - сумма х}}}$

куда п - общий размер выборки, м выборочное среднее и Икс - отдельные значения с суммой, взятой по всей выборке, она также равна

${ displaystyle I_ {m} = { frac {n operatorname {IMC}} {nm-1}}}$

куда IMC - индекс скученности Ллойда.^[102]

Этот индекс относительно не зависит от плотности населения, но зависит от размера выборки. Значения> 1 указывают на скопление; значения <1 указывают на однородность распределения, а значение 1 указывает на случайную выборку.

Морисита показал, что статистика^[109]

${ Displaystyle I_ {м} влево ( сумма х-1 вправо) + п- сумма х}$

распределяется как переменная хи-квадрат с п - 1 степень свободы.

Альтернативный критерий значимости этого индекса был разработан для больших выборок.^[110]

${ displaystyle z = { frac {I_ {m} -1} {2 / (нм ^ {2})}}}$

куда м общее среднее значение выборки, п - количество единиц выборки и z нормальное распределение абсцисса. Значимость проверяется путем сравнения значения z против ценностей нормальное распределение.

Функция для его расчета доступна в статистическом R язык. Функция R

Обратите внимание, не путать с Индекс перекрытия Мориситы.

Стандартизированный индекс Мориситы

Смит-Гилл разработал статистику на основе индекса Мориситы, который не зависит ни от размера выборки, ни от плотности населения и ограничен значениями -1 и +1. Эта статистика рассчитывается следующим образом^[111]

Сначала определите индекс Мориситы ( я_d ) обычным способом. Тогда пусть k быть количеством единиц, из которых была произведена выборка. Рассчитайте два критических значения

${ displaystyle M_ {u} = { frac { chi _ {0,975} ^ {2} -k + sum x} { sum x-1}}}$

${ Displaystyle M_ {c} = { гидроразрыва { chi _ {0,025} ^ {2} -k + sum x} { sum x-1}}}$

где χ² значение хи-квадрат для п - 1 степень свободы с уровнем достоверности 97,5% и 2,5%.

Стандартизированный индекс ( я_п ) затем вычисляется по одной из формул ниже.

Когда я_d ≥ M_c > 1

${ displaystyle I_ {p} = 0,5 + 0,5 left ({ frac {I_ {d} -M_ {c}} {k-M_ {c}}} right)}$

Когда M_c > я_d ≥ 1

${ displaystyle I_ {p} = 0,5 left ({ frac {I_ {d} -1} {M_ {u} -1}} right)}$

Когда 1> я_d ≥ M_ты

${ displaystyle I_ {p} = - 0,5 left ({ frac {I_ {d} -1} {M_ {u} -1}} right)}$

Когда 1> M_ты > я_d

${ displaystyle I_ {p} = - 0,5 + 0,5 left ({ frac {I_ {d} -M_ {u}} {M_ {u}}} right)}$

я_п колеблется от +1 до -1 с 95% доверительным интервалом ± 0,5. я_п имеет значение 0, если шаблон случайный; если узор однородный, я_п <0 и если шаблон показывает агрегацию, я_п > 0.

Индекс пространственной агрегации Саутвуда

Индекс пространственной агрегации Саутвуда (k) определяется как

${ displaystyle { frac {1} {k}} = { frac {m ^ {*}} {m}} - 1}$

куда м среднее значение выборки и м* - индекс скученности Ллойда.^[81]

Индекс дисперсии Фишера

Фишера индекс дисперсии^[112][113] является

${ displaystyle mathrm {ID} = { frac {(n-1) s ^ {2}} {m}}}$

Этот индекс можно использовать для проверки чрезмерной дисперсии населения. Рекомендуется, чтобы в приложениях n> 5^[114] и что общая выборка, разделенная на количество выборок, составляет> 3. В символах

${ displaystyle { frac { sum x} {n}}> 3}$

куда Икс - индивидуальное значение выборки. Математическое ожидание индекса равно п и распространяется как распределение хи-квадрат с п - 1 степень свободы при распределении Пуассона.^[114] Он равен параметру масштаба, когда популяция подчиняется гамма-распределение.

Его можно применять как к генеральной совокупности, так и к отдельным районам, отобранным индивидуально. Использование этого теста на отдельных участках выборки также должно включать использование поправочного коэффициента Бонферрони.

Если население подчиняется закону Тейлора, тогда

${ displaystyle mathrm {ID} = (n-1) am ^ {b-1}}$

Индекс размера кластера

Индекс размера кластера (ICS) был создан Дэвидом и Муром.^[115] При случайном (пуассоновском) распределении ICS ожидается равным 0. Положительные значения указывают на сгруппированное распределение; отрицательные значения указывают на равномерное распределение.

${ displaystyle mathrm {ICS} = { frac {s ^ {2}} {м-1}}}$

куда s² это дисперсия и м это среднее.

Если население подчиняется закону Тейлора

${ displaystyle mathrm {ICS} = am ^ {b-1} -1}$

В ICS также равна статистике теста Каца, деленной на ( п / 2 )^1/2 куда п размер выборки. Это также связано со статистикой теста Клэпхэма. Его также иногда называют индексом слипания.

Индекс Грина

Индекс Грина (GI) является модификацией индекса размера кластера, которая не зависит от п количество единиц выборки.^[116]

${ displaystyle C_ {x} = { frac {s ^ {2} / m-1} {nm-1}}}$

Этот индекс равен 0, если распределение является случайным, 1, если оно максимально агрегировано, и -1 / ( нм - 1) если он однородный.

Распределение индекса Грина в настоящее время неизвестно, поэтому для него было сложно разработать статистические тесты.

Если население подчиняется закону Тейлора

${ displaystyle C_ {x} = { frac {am ^ {b-1} -1} {nm-1}}}$

Бинарный индекс рассеивания

Бинарная выборка (наличие / отсутствие) часто используется там, где трудно получить точные подсчеты. Индекс рассеивания (D) используется, когда исследуемая популяция делится на серию равных выборок (количество единиц = N: количество единиц в выборке = п: общая численность населения = п Икс N ).^[117] Теоретическое отклонение выборки от совокупности с биномиальным распределением составляет

${ displaystyle s ^ {2} = np (1-p)}$

куда s² это дисперсия, п количество единиц выборки и п - средняя доля единиц выборки, в которых присутствует хотя бы один человек. Индекс рассеивания (D) определяется как отношение наблюдаемой дисперсии к ожидаемой дисперсии. В символах

${ displaystyle D = { frac {{ text {var}} _ { text {obs}}} {{ text {var}} _ { text {bin}}}} = { frac {s ^ {2}} {нп (1-п)}}}$

где var_{Наблюдения} - наблюдаемая дисперсия, а var_{мусорное ведро} - ожидаемая дисперсия. Ожидаемая дисперсия рассчитывается по общему среднему значению для генеральной совокупности. Ценности D > 1 предполагают агрегирование. D( п - 1) распределяется как переменная хи-квадрат с п - 1 степень свободы, где п - количество выбранных единиц.

Альтернативный тест - это C тест.^[118]

${ Displaystyle С = { гидроразрыва {D (nN-1) -nN} {(2N (n ^ {2} -n)) ^ {1/2}}}}$

куда D - индекс рассеивания, п количество единиц в выборке и N количество образцов. C распространяется нормально. Статистически значимое значение C указывает на чрезмерная дисперсия населения.

D также связано с внутриклассовая корреляция (ρ), который определяется как^[119]

${ displaystyle rho = 1 - { frac { sum x_ {i} (T-x_ {i})} {p (1-p) NT (T-1)}}}$

куда Т количество организмов в образце, п вероятность наличия у организма искомого свойства (больной, свободный от вредителей, так далее) и x_я количество организмов в яй блок с этим свойством. Т должно быть одинаковым для всех единиц выборки. В этом случае с п постоянный

${ displaystyle rho = { frac {D-1} {n-1}}}$

Если данные могут быть укомплектованы бета-биномиальное распределение тогда^[119]

${ displaystyle D = 1 + { frac {(n-1) theta} {1+ theta}}}$

куда θ - параметр распределения.^[118]

Критическая плотность скопления населения Ма

Ма предложил параметр (м₀) - критическая плотность скопления населения - чтобы связать плотность населения с законом Тейлора.^[120]

${ displaystyle m_ {0} = exp left ({ frac { log a} {1-b}} right)}$

Связанная статистика

Известен ряд статистических тестов, которые могут быть полезны в приложениях.

статистика де Оливерии

Родственная статистика, предложенная де Оливерией^[121] это разница дисперсии и среднего.^[122] Если популяция распределена по Пуассону, то

${ displaystyle var (s ^ {2} -m) = { frac {2t ^ {2}} {n-1}}}$

куда т - параметр Пуассона, s² это дисперсия, м это среднее и п размер выборки. Ожидаемая стоимость s² - м равно нулю. Эта статистика распределяется нормально.^[123]

Если оценить параметр Пуассона в этом уравнении, положив т = м, после небольших манипуляций эту статистику можно записать

${ displaystyle O_ {T} = { sqrt { frac {n-1} {2}}} { frac {s ^ {2} -m} {m}}}$

Это почти идентично статистике Каца с ( п - 1) замена п. Опять таки О_Т нормально распределен со средним 0 и единичной дисперсией для больших п. Эта статистика аналогична статистике Неймана-Скотта.

Примечание

де Оливерия фактически предположил, что дисперсия s² - м было (1-2т^1/2 + 3т ) / п куда т - параметр Пуассона. Он предложил т можно оценить, положив его равным среднему (м) образца. Дальнейшее расследование Bohning^[122] показали, что эта оценка дисперсии неверна. Поправка Бонинга приведена в уравнениях выше.

Тест Клэпхема

В 1936 году Клэпхэм предложил использовать в качестве тестовой статистики отношение дисперсии к среднему (относительная дисперсия).^[124] В символах

${ displaystyle theta = { frac {s ^ {2}} {m}}}$

Для распределения Possion это соотношение равно 1. Чтобы проверить отклонения от этого значения, он предложил проверить его значение по распределению хи-квадрат с помощью п степени свободы, где п - количество единиц выборки. Распределение этой статистики было дополнительно изучено Блэкманом.^[125] которые отметили, что оно было приблизительно нормально распределено со средним значением 1 и дисперсией ( V_θ ) из

${ displaystyle V _ { theta} = { frac {2n} {(n-1) ^ {2}}}}$

Вывод дисперсии был повторно проанализирован Бартлеттом.^[126] кто считал это

${ displaystyle V _ { theta} = { frac {2} {n-1}}}$

Для больших выборок эти две формулы примерно совпадают. Этот тест связан с более поздним тестом Каца. J_п статистика.

Если население подчиняется закону Тейлора, тогда

${ displaystyle theta = am ^ {b-1}}$

Примечание

Также опубликовано уточнение этого теста.^[127] Эти авторы отметили, что исходный тест имеет тенденцию обнаруживать чрезмерную дисперсию в более высоких масштабах, даже если этого не было в данных. Они отметили, что использование полиномиального распределения может быть более подходящим, чем использование распределения Пуассона для таких данных. Статистика θ распространяется

${ displaystyle theta = { frac {s ^ {2}} {m}} = { frac {1} {n}} sum left (x_ {i} - { frac {n} {N}) } right) ^ {2}}$

куда N - количество единиц выборки, п - общее количество исследованных образцов и Икс_я - отдельные значения данных.

Ожидание и дисперсия θ находятся

${ displaystyle operatorname {E} ( theta) = { frac {N} {N-1}}}$

${ displaystyle operatorname {Var} ( theta) = { frac {(N-1) ^ {2}} {N ^ {3}}} - { frac {2N-3} {nN ^ {2} }}}$

Для больших N, E (θ) составляет примерно 1 и

${ displaystyle operatorname {Var} ( theta) sim { frac {2} {N}} left (1 - { frac {1} {n}} right)}$

Если количество отобранных особей (п) большая эта оценка дисперсии согласуется с полученными ранее. Однако для небольших выборок эти последние оценки более точны, и их следует использовать.

Смотрите также

• Индекс перекрытия Мориситы
• Естественная экспоненциальная семья
• Масштабирование занятости
• Пространственная экология
• Степенной закон Ватсона
• Плотно-массовая аллометрия
• Дисперсионно-массовая аллометрия

Рекомендации