Диапазон (статистика) - Range (statistics)

В статистика, то классифицировать набора данных - это разница между наибольшим и наименьшим значениями. Это может дать вам приблизительное представление о том, каков будет результат набора данных, прежде чем вы действительно посмотрите на него. ^[1]Разница здесь конкретная, классифицировать набора данных является результатом вычитания наименьшее значение из наибольшее значение.

Однако в описательная статистика, это понятие диапазона имеет более сложное значение. В ассортименте размер самого маленького интервал (статистика) который содержит все данные и указывает статистическая дисперсия. Он измеряется в тех же единицах, что и данные. Поскольку он зависит только от двух наблюдений, он наиболее полезен для представления разброса небольших наборов данных.^[2] Диапазон оказывается наименьшим, а самые высокие числа вычитаются

Для непрерывных случайных величин IID

За п независимые и одинаково распределенные непрерывные случайные величины Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п с кумулятивная функция распределения ГРАММ(Икс) и функция плотности вероятности грамм(Икс). Пусть T обозначает диапазон размера выборки. п из популяции с функцией распределения грамм(Икс).

Распределение

Диапазон имеет кумулятивную функцию распределения^[3][4]

${displaystyle F (t) = nint _ {- infty} ^ {infty} g (x) [G (x + t) -G (x)] ^ {n-1}, {ext {d}} x.}$

Гамбель отмечает, что «красота этой формулы полностью омрачена фактами, которые, как правило, мы не можем выразить грамм(Икс + т) к грамм(Икс), и что численное интегрирование является долгим и утомительным ».^[3]:385

Если распределение каждого Икс_я ограничивается вправо (или влево), то асимптотическое распределение диапазона равно асимптотическому распределению наибольшего (наименьшего) значения. Для более общих распределений асимптотическое распределение может быть выражено как Функция Бесселя.^[3]

Моменты

Средний диапазон определяется как^[5]

${displaystyle nint _ {0} ^ {1} x (G) [G ^ {n-1} - (1-G) ^ {n-1}], {ext {d}} G}$

куда Икс(грамм) - обратная функция. В случае, когда каждый из Икс_я имеет стандартное нормальное распределение, средний диапазон определяется как^[6]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} (1- (1-Phi (x)) ^ {n} -Phi (x) ^ {n}), {ext {d}} x.}$

Для непрерывных случайных величин без IID

За п неидентично распределенные независимые непрерывные случайные величины Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п с кумулятивными функциями распределения грамм₁(Икс), грамм₂(Икс), ..., грамм_п(Икс) и функции плотности вероятности грамм₁(Икс), грамм₂(Икс), ..., грамм_п(Икс) диапазон имеет кумулятивную функцию распределения ^[4]

${displaystyle F (t) = sum _ {i = 1} ^ {n} int _ {- infty} ^ {infty} g_ {i} (x) prod _ {j = 1, jeq i} ^ {n} [ G_ {j} (x + t) -G_ {j} (x)], {ext {d}} x.}$

Для дискретных случайных величин IID

За п независимые и одинаково распределенные дискретные случайные величины Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п с кумулятивная функция распределения грамм(Икс) и функция массы вероятности грамм(Икс) диапазон Икс_я это диапазон размера выборки п из популяции с функцией распределения грамм(Икс). Мы можем предположить не теряя общий смысл что поддерживать каждого Икс_я это {1,2,3, ...,N} куда N положительное целое число или бесконечность.^[7][8]

Распределение

Диапазон имеет функцию массы вероятности^[7][9][10]

${displaystyle f (t) = {egin {case} sum _ {x = 1} ^ {N} [g (x)] ^ {n} & t = 0 [6pt] sum _ {x = 1} ^ {Nt } left ({egin {выравнивается} {2} & [G (x + t) -G (x-1)] ^ {n} {} - {} & [G (x + t) -G (x) ] ^ {n} {} - {} & [G (x + t-1) -G (x-1)] ^ {n} {} + {} & [G (x + t-1) - G (x)] ^ {n} end {alignat}} ight) & t = 1,2,3ldots, N-1.end {case}}}$

Пример

Если мы предположим, что грамм(Икс) = 1/N, то дискретное равномерное распределение для всех Икс, то находим^[9][11]

${displaystyle f (t) = {egin {case} {frac {1} {N ^ {n-1}}}} & t = 0 [4pt] sum _ {x = 1} ^ {Nt} left (left [{ гидроразрыв {t + 1} {N}} полет] ^ {n} -2 левый [{гидроразрыв {t} {N}} полет] ^ {n} + левый [{гидроразрыв {t-1} {N}} полет] ^ {n} ight) & t = 1,2,3ldots, N-1.end {case}}}$

Вывод

Вероятность наличия определенного значения диапазона, т, можно определить путем сложения вероятностей наличия двух выборок, различающихся на т, и любой другой образец, имеющий значение между двумя крайними значениями. Вероятность того, что один образец имеет значение Икс является ${displaystyle ng (x)}$. Вероятность того, что другой имеет ценность т лучше чем Икс является:

${displaystyle (n-1) g (x + t).}$

Вероятность того, что все другие значения лежат между этими двумя крайностями, равна:

${displaystyle left (int _ {x} ^ {x + t} g (x), {ext {d}} xight) ^ {n-2} = left (G (x + t) -G (x) ight) ^ {n-2}.}$

Объединение трех вместе дает:

${displaystyle f (t) = n (n-1) int _ {- infty} ^ {infty} g (x) g (x + t) [G (x + t) -G (x)] ^ {n- 2}, {ext {d}} x}$

Связанные количества

Диапазон - это простая функция максимум и минимум выборки и это конкретные примеры статистика заказов. В частности, диапазон является линейной функцией от статистики заказов, что делает его частью области L-оценка.

Смотрите также

• Межквартильный размах
• Студентизированный диапазон

Рекомендации