Знаковый тест - Sign test

В знаковый тест представляет собой статистический метод проверки устойчивых различий между парами наблюдений, таких как вес субъектов до и после лечения. Учитывая пары наблюдений (например, вес до и после лечения) для каждого субъекта, тест знаков определяет, имеет ли один член пары (например, до лечения) тенденцию быть больше (или меньше) другого члена группы. пара (например, после лечения).

Парные наблюдения могут быть обозначены Икс и у. Для сравнения парных наблюдений (Икс, y), знаковый критерий наиболее полезен, если сравнения можно выразить только как Икс > у, Икс = у, или же Икс < у. Если вместо этого наблюдения могут быть выражены в виде числовых величин (Икс = 7, у = 18), или как ранги (ранг Икс = 1-й, ранг у = 8-й), то парные t-тест^[1]или Знаковый ранговый тест Вилкоксона^[2] обычно будет иметь большую мощность, чем тест знаков, для обнаружения устойчивых различий.

Если X и Y - количественные переменные, знаковый тест можно использовать для проверить гипотезу что разница между Икс и Y имеет нулевую медиану, предполагая непрерывное распределение двух случайные переменные Икс и Y, в ситуации, когда мы можем нарисовать парные образцы из Икс и Y.^[3]

Тест знака также может проверить, значительно ли медиана набора чисел больше или меньше указанного значения. Например, учитывая список оценок учащихся в классе, тест по знакам может определить, значительно ли отличается средняя оценка, скажем, от 75 из 100.

Знаковый тест - это непараметрический тест который делает очень мало предположений о природе тестируемых распределений - это означает, что он имеет очень общую применимость, но может не иметь статистическая мощность альтернативных тестов.

Два условия для знакового критерия парной выборки заключаются в том, что выборка должна быть случайным образом отобрана из каждой генеральной совокупности, а выборки должны быть зависимыми или парными. Независимые образцы не могут быть осмысленно объединены. Поскольку тест является непараметрическим, выборки не обязательно должны происходить из нормально распределенных популяций. Кроме того, этот тест работает для левосторонних, правосторонних и двусторонних тестов.

Метод

Позволять п = Pr (Икс > Y), а затем проверьте нулевая гипотеза ЧАС₀: п = 0,50. Другими словами, нулевая гипотеза утверждает, что с учетом случайный пара измерений (Икс_я, у_я), тогда Икс_я и у_я с одинаковой вероятностью будут больше, чем другие.

Чтобы проверить нулевую гипотезу, независимые пары выборочных данных собираются из популяций {(Икс₁, у₁), (Икс₂, у₂), . . ., (Икс_п, у_п)}. Пары опускаются, для которых нет разницы, так что существует возможность уменьшенной выборки м пары.^[4]

Тогда пусть W быть количеством пар, для которых у_я − Икс_я > 0. Предполагая, что H₀ верно, тогда W следует за биномиальное распределение W ~ b (м, 0.5).

Предположения

Позволять Z_я = Y_я – Икс_я за я = 1, ... , п.

Различия Z_я считаются независимыми.
Каждый Z_я происходит из того же постоянного населения.
Ценности Икс_я и Y_я представляют заказаны (по крайней мере порядковая шкала ), поэтому сравнения «больше», «меньше» и «равно» имеют смысл.

Проверка значимости

Поскольку ожидается, что статистика теста будет соответствовать биномиальное распределение, стандарт биномиальный тест используется для расчета значение. В нормальное приближение к биномиальному распределению может использоваться для больших объемов выборки, м > 25.^[4]

Значение левого хвоста вычисляется Pr (W ≤ ш), какой p-значение для альтернативы H₁: п <0,50. Эта альтернатива означает, что Икс измерения имеют тенденцию быть выше.

Значение правого хвоста вычисляется Pr (W ≥ ш), которое является p-значением для альтернативы H₁: п > 0,50. Эта альтернатива означает, что Y измерения имеют тенденцию быть выше.

Для двусторонней альтернативы H₁ p-значение вдвое меньше меньшего хвостового значения.

Пример двустороннего знакового теста для совпадающих пар

Зар приводит следующий пример проверки знаков для совпадающих пар. Собираются данные о длине левой задней лапы и левой передней лапы для 10 оленей.^[5]

Олень	Длина задней лапы (см)	Длина передних лап (см)	Разница
1	142	138	+
2	140	136	+
3	144	147	−
4	144	139	+
5	142	143	−
6	146	141	+
7	149	143	+
8	150	145	+
9	142	136	+
10	148	146	+

Нулевая гипотеза состоит в том, что у оленей нет разницы между длиной задней и передней конечностей. Альтернативная гипотеза состоит в том, что существует разница между длиной задней и передней конечностей. Это двусторонний тест, а не односторонний. Для теста с двумя хвостами альтернативная гипотеза состоит в том, что длина задней лапы может быть больше или меньше длины передней лапы. Односторонний тест может заключаться в том, что длина задней лапы больше длины передней, так что разница может быть только в одном направлении (больше чем).

Всего n = 10 оленей. Есть 8 положительных отличий и 2 отрицательных отличия. Если нулевая гипотеза верна и нет разницы в длине задних и передних конечностей, то ожидаемое количество положительных различий равно 5 из 10. Какова вероятность того, что наблюдаемый результат 8 положительных различий или более экстремальный результат , произошло бы, если бы не было разницы в длине ног?

Поскольку тест является двусторонним, результат как крайний или более экстремальный, чем 8 положительных различий, включает результаты 8, 9 или 10 положительных различий и результаты 0, 1 или 2 положительных различий. Вероятность 8 или более положительных результатов среди 10 оленей или 2 или менее положительных результатов среди 10 оленей такая же, как вероятность 8 или более орлов или 2 или менее выпадов при 10 бросках справедливой монеты. Вероятности можно рассчитать с помощью биномиальный тест, с вероятностью выпадения решки = вероятность выпадения решки = 0,5.

Вероятность выпадения 0 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,00098
Вероятность выпадения 1 решки при 10 бросках справедливой монеты = 0,00977
Вероятность выпадения 2 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,04395
Вероятность выпадения 8 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,04395
Вероятность выпадения 9 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,00977
Вероятность выпадения 10 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,00098

Двусторонняя вероятность результата, равного 8 из 10 положительной разницы, является суммой этих вероятностей:

0.00098 + 0.00977 + 0.04395 + 0.04395 + 0.00977 + 0.00098 = 0.109375.

Таким образом, вероятность получить такой экстремальный результат, как 8 из 10 положительных различий в длине ног, если нет разницы в длине ног, составляет п = 0,109375. Нулевая гипотеза не отклоняется на уровне значимости п = 0,05. При большем размере выборки свидетельств может быть достаточно, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Поскольку наблюдения могут быть выражены в виде числовых величин (фактическая длина ноги), парный t-критерий или знаковый ранговый критерий Уилкоксона обычно будет иметь большую мощность, чем знаковый критерий для обнаружения устойчивых различий. В этом примере парный t-критерий различий показывает, что существует значительная разница между длиной задней и передней конечностей (п = 0.007).

Если наблюдаемый результат составил 9 положительных различий в 10 сравнениях, критерий знаков был бы значимым. Только подбрасывание монеты с 0, 1, 9 или 10 орлом будет столь же экстремальным или более экстремальным, чем наблюдаемый результат.

Вероятность выпадения 0 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,00098
Вероятность выпадения 1 решки при 10 бросках справедливой монеты = 0,00977
Вероятность выпадения 9 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,00977
Вероятность выпадения 10 орлов при 10 бросках честной монеты = 0,00098

Вероятность результата, равного 9 из 10 положительной разницы, является суммой этих вероятностей:

0.00098 + 0.00977 + 0.00977 + 0.00098 = 0.0215.

В целом 8 из 10 положительных отличий не значимы (п = 0,11), но 9 из 10 положительных различий значимы (п = 0.0215).

Примеры

Пример одностороннего знакового теста для совпадающих пар

Коновер^[6] дает следующий пример с использованием одностороннего знакового теста для совпадающих пар. Производитель производит два продукта, A и B. Производитель хочет знать, предпочитают ли потребители продукт B продукту A. Каждой выборке из 10 потребителей был предоставлен продукт A и продукт B, и они спросили, какой продукт они предпочитают.

Нулевая гипотеза состоит в том, что потребители не предпочитают продукт B продукту A. Альтернативная гипотеза состоит в том, что потребители предпочитают продукт B продукту A. Это односторонний (направленный) тест.

В конце исследования 8 потребителей предпочли продукт B, 1 потребитель предпочел продукт A и один не сообщил о предпочтениях.

Количество знаков + (предпочтительно B) = 8
Количество знаков «-» (предпочтительно A) = 1
Количество связей (без предпочтения) = 1

Ничья исключается из анализа, что дает n = количество плюсов и минусов = 8 + 1 = 9.

Какова вероятность такого экстремального результата, как 8 положительных результатов в пользу B в 9 парах, если нулевая гипотеза верна, что потребители не предпочтут B перед A? Это вероятность выпадения 8 или более орлов при 9 подбрасывании справедливой монеты, и ее можно рассчитать с использованием биномиального распределения с p (орел) = p (решка) = 0,5.

P (8 или 9 орлов за 9 бросков честной монеты) = 0,0195. Нулевая гипотеза отклоняется, и производитель заключает, что потребители предпочитают продукт B продукту A.

Пример знакового теста для медианы одной выборки

Sprent ^[7] дает следующий пример критерия знака для медианы. В клиническом испытании время выживания (недели) собирают для 10 субъектов с неходжкинской лимфомой. Точное время выживания не было известно для одного субъекта, который был еще жив через 362 недели, когда исследование закончилось. Время выживания субъектов было

49, 58, 75, 110, 112, 132, 151, 276, 281, 362+

Знак плюс указывает на то, что субъект все еще жив на момент окончания исследования. Исследователь хотел определить, было ли среднее время выживания меньше или больше 200 недель.

Нулевая гипотеза состоит в том, что медиана выживаемости составляет 200 недель. Альтернативная гипотеза состоит в том, что медиана выживаемости не составляет 200 недель. Это двусторонний тест: альтернативная медиана может быть больше или меньше 200 недель.

Если верна нулевая гипотеза, что средняя выживаемость составляет 200 недель, то в случайной выборке примерно половина субъектов должна выжить менее 200 недель, а половина - более 200 недель. Наблюдениям ниже 200 присваивается минус (-); наблюдениям выше 200 присваивается плюс (+). Что касается времени выживания субъектов, существует 7 наблюдений менее 200 недель (-) и 3 наблюдения более 200 недель (+) для n = 10 субъектов.

Поскольку любое одно наблюдение с одинаковой вероятностью будет выше или ниже медианы популяции, количество положительных оценок будет иметь биномиальное распределение со средним значением = 0,5. Какова вероятность того, что такой экстремальный результат, как у 7 из 10 испытуемых, окажется ниже среднего? Это в точности то же самое, что и вероятность результата, равного 7 ордам за 10 подбрасываний справедливой монеты. Поскольку это двусторонний тест, экстремальный результат может быть как три или меньше, так и семь или больше.

Вероятность увидеть k орлов за 10 подбрасываний честной монеты при p (орлах) = 0,5 определяется биномиальной формулой:

Pr (Количество головок = k) = Выберите (10, k) × 0.5^10

Вероятность для каждого значения k приведено в таблице ниже.

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Pr	0.0010	0.0098	0.0439	0.1172	0.2051	0.2461	0.2051	0.1172	0.0439	0.0098	0.0010

Вероятность выпадения 0, 1, 2, 3, 7, 8, 9 или 10 решек за 10 бросков - это сумма их индивидуальных вероятностей:

0.0010 + 0.0098 + 0.0439 + 0.1172 + 0.1172 + 0.0439 + 0.0098 + 0.0010 = 0.3438.

Таким образом, вероятность наблюдения 3 или менее знаков "плюс" или 7 или более знаков "плюс" в данных о выживаемости, если медиана выживаемости составляет 200 недель, составляет 0,3438. Ожидаемое количество плюсов - 5, если нулевая гипотеза верна. Наблюдение 3 или меньше, или 7 или более плюсов существенно не отличается от 5. Нулевая гипотеза не отклоняется. Из-за чрезвычайно малого размера выборки у этой выборки мало возможностей для обнаружения различий.

Программные реализации

Знаковый тест - это частный случай биномиального теста, где вероятность успеха при нулевой гипотезе равна p = 0,5. Таким образом, знаковый тест может быть выполнен с использованием биномиального теста, который предусмотрен в большинстве статистических программ. Он-лайн калькуляторы для проверки знаков можно найти, выполнив поиск по запросу "калькулятор проверки знаков". Многие веб-сайты предлагают биномиальный тест, но обычно предлагают только двустороннюю версию.

Программа Excel для проверки знаков

Шаблон для проверки знаков с помощью Excel доступен по адресу http://www.real-statistics.com/non-parametric-tests/sign-test/

Программное обеспечение R для проверки знаков

В р, биномиальный тест можно выполнить с помощью функции binom.test ().

Синтаксис функции:

binom.test(Икс, п, п = 0.5, альтернатива = c("двусторонний", "меньше", "больше"), conf.level = 0.95)

где

Икс = количество успехов или вектор длины 2, дающий количество успехов и неудач, соответственно
п = количество испытаний; игнорируется, если x имеет длину 2
п = предполагаемая вероятность успеха
альтернатива = указывает на альтернативную гипотезу и должен иметь одно из двух значений: «двусторонний», «больше» или «меньше».
conf.level = уровень достоверности для возвращенного доверительного интервала.

Примеры проверки знаков с использованием функции R binom.test

Пример знакового теста от Zar ^[5] сравнил длину задних и передних ног оленей. Задняя лапа была длиннее передней у 8 из 10 оленей. Таким образом, в n = 10 испытаниях получено x = 8 успехов. Предполагаемая вероятность успеха (определяемая как задняя лапа длиннее передней) равна п = 0,5 при нулевой гипотезе о том, что задние и передние конечности не различаются по длине. Альтернативная гипотеза состоит в том, что длина задней лапы может быть больше или меньше длины передней лапы, что является двусторонним тестом, определенным как альтернатива = "two.sided".

Команда R binom.test(Икс=8, п=10, п=0.5, альтернатива="двусторонний") дает p = 0,1094, как в примере.

Пример знакового теста в Conover ^[6] изучали предпочтения потребителей продукта A по сравнению с продуктом B. Нулевая гипотеза заключалась в том, что потребители не предпочитают продукт B продукту A. Альтернативная гипотеза заключалась в том, что потребители предпочитают продукт B продукту A, односторонний тест. В исследовании 8 из 9 потребителей, которые выразили предпочтение продукту B, предпочли продукт A.

Команда R binom.test(Икс=8, п=9, п=0.5, альтернатива="больше") дает p = 0,01953, как в примере.

История

Коновер ^[6] и Спрент ^[7] описывать Джон Арбетнот Использование теста знаков в 1710 году. Арбутнот исследовал записи о рождении в Лондоне за каждый из 82 лет с 1629 по 1710 год. Каждый год количество мужчин, рожденных в Лондоне, превышало количество женщин. Если нулевая гипотеза о равном числе рождений верна, вероятность наблюдаемого результата равна 1/2.⁸², что привело Арбутнота к выводу, что вероятность рождения мужского и женского пола не совсем одинакова.

В своих публикациях 1692 и 1710 годов Арбетноту приписывают «… первое использование критериев значимости…» ^[8], первый пример рассуждения о статистической значимости и моральной уверенности, ^[9] и «… возможно, первый опубликованный отчет непараметрического теста…».^[6]

Hald ^[9] далее описывает влияние исследования Арбетнота.

"Николас Бернулли (1710–1713) завершает анализ данных Арбутнота, показывая, что большая часть колебаний годового числа рождений мужского пола может быть объяснена как биномиальная с п = 18/35. Это первый пример подгонки бинома к данным. Следовательно, здесь у нас есть проверка значимости, отвергающая гипотезу п = 0,5, после чего следует оценка p и обсуждение степени соответствия… "

Связь с другими статистическими тестами

Знаковый ранговый тест Вилкоксона

Для проверки знаков требуется только упорядочить наблюдения в паре, например Икс > у. В некоторых случаях наблюдениям для всех субъектов может быть присвоено значение ранга (1, 2, 3, ...). Если наблюдения можно ранжировать, и каждое наблюдение в паре представляет собой случайную выборку из симметричного распределения, тогда Знаковый ранговый тест Вилкоксона является целесообразным. Тест Вилкоксона обычно дает больше возможностей для выявления различий, чем тест знаков. В асимптотическая относительная эффективность теста знаков для знакового рангового теста Уилкоксона в этих условиях составляет 0,67.^[6]

Парный t-тест

Если парные наблюдения представляют собой числовые величины (например, фактическую длину задней и передней конечностей в примере Zar), а различия между парными наблюдениями представляют собой случайные выборки из одного нормального распределения, тогда парный t-тест является целесообразным. Парный t-тест, как правило, имеет большую мощность для обнаружения различий, чем знаковый тест. Асимптотическая относительная эффективность критерия знака по сравнению с парным t-критерием при этих обстоятельствах составляет 0,637. Однако, если распределение различий между парами не является нормальным, а вместо этого является тяжелым (Platykurtic распределение ), знаковый тест может иметь большую мощность, чем парный t-тест, с асимптотическая относительная эффективность 2,0 относительно парного t-критерия и 1,3 относительно знакового рангового критерия Вилкоксона.^[6]

Тест Макнемара

В некоторых приложениях наблюдения в каждой паре могут принимать только значения 0 или 1. Например, 0 может указывать на сбой, а 1 может указывать на успех. Возможны 4 пары: {0,0}, {0,1}, {1,0} и {1,1}. В этих случаях используется та же процедура, что и при проверке знаков, но известная как Тест Макнемара.^[6]

Тест Фридмана

Вместо парных наблюдений, таких как (продукт A, продукт B), данные могут состоять из трех или более уровней (продукт A, продукт B, продукт C). Если отдельные наблюдения можно упорядочить так же, как и для проверки знаков, например, B> C> A, то Тест Фридмана может быть использовано.^[5]

Триномиальный тест

Биан, Макалир и Вонг^[10] предложил в 2011 году непараметрический тест для парных данных, когда есть много связей. Они показали, что их трехчленный тест лучше теста знаков при наличии связей.

Смотрите также

Знаковый ранговый тест Вилкоксона - Более мощный вариант знакового теста, но он также предполагает симметричное распределение и интервальные данные.
Медианный тест - Непарная альтернатива тесту знаков.