U-критерий Манна – Уитни - Mann–Whitney U test

В статистика, то Манн – Уитни U тест (также называемый Манн – Уитни – Уилкоксон (MWW), Критерий суммы рангов Вилкоксона, или же Тест Вилкоксона – Манна – Уитни) это непараметрический тест из нулевая гипотеза что для случайно выбранных значений Икс и Y из двух популяций вероятность Икс быть больше, чем Y равна вероятности Y быть больше, чемИкс.

Аналогичный непараметрический тест, использованный на зависимый образцы Знаковый ранговый тест Вилкоксона.

Предположения и формальное изложение гипотез

Несмотря на то что Манн и Уитни^[1] разработал метод Манна – Уитни U испытание в предположении непрерывный ответы с Альтернативная гипотеза поскольку один дистрибутив стохастически больше чем другой, есть много других способов сформулировать ноль и альтернативные гипотезы, такие что Манна – Уитни U test даст действительный тест.^[2]

Очень общая формулировка предполагает, что:

Все наблюдения обеих групп независимый друг друга,
Ответы порядковый (т. е. можно, по крайней мере, сказать, из любых двух наблюдений, которое больше),
При нулевой гипотезе H₀, распределения обеих популяций равны.^[3]
Альтернативная гипотеза ЧАС₁ в том, что распределения не равны.

По общей формулировке тест только последовательный когда следующее происходит под ЧАС₁:

Вероятность наблюдения со стороны населения Икс превышение наблюдения от населения Y отличается (больше или меньше), чем вероятность наблюдения из Y превышение наблюдения от ИКС; т.е. $П(Икс > Y) \neq P (Y > Икс)$ или же $П(Икс > Y) + 0,5 \cdot P (Икс = Y) \neq 0.5$ .

При более строгих предположениях, чем в общей формулировке, приведенной выше, например, если предполагается, что отклики являются непрерывными, а альтернатива ограничивается изменением местоположения, т. Е. $F 1 (Икс) = F 2 (Икс + δ)$ , мы можем интерпретировать значимое значение Манна – Уитни U тест, показывающий разницу в медианах. При таком предположении о сдвиге местоположения мы также можем интерпретировать уравнение Манна – Уитни. U тест как оценка того, Оценка Ходжеса – Лемана различия в центральной тенденции между двумя популяциями отличны от нуля. В Оценка Ходжеса – Лемана для этой задачи с двумя выборками медиана всех возможных различий между наблюдением в первой выборке и наблюдением во второй выборке.

Манн-Уитни U тест / критерий суммы рангов Вилкоксона - это не то же самое, что Wilcoxon подписанный-ранговый тест, хотя оба они непараметрически и предполагают суммирование рангов. Манн-Уитни U тест применяется к независимым образцам. Знаковый ранговый критерий Вилкоксона применяется к сопоставленным или зависимым выборкам.

Статистика U

Позволять ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ быть i.i.d. образец из ${ displaystyle X}$ , и ${ Displaystyle Y_ {1}, ldots, Y_ {m}}$ i.i.d. образец из ${ displaystyle Y}$ , и оба образца независимы друг от друга. Соответствующая статистика U Манна-Уитни определяется как:

{ displaystyle U = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {m} S (X_ {i}, Y_ {j}),}

с

{ Displaystyle S (X, Y) = { begin {case} 1, & { text {if}} Y X. end {case}}}

Расчеты

Тест включает в себя расчет статистика, обычно называется U, распределение которых под нулевая гипотеза известен. В случае малых выборок распределение табулировано, но для размеров выборки более ~ 20 аппроксимация с использованием нормальное распределение довольно хорошо. В некоторых книгах приводится статистика, эквивалентная U, например, сумма разряды в одном из образцов, а не U сам.

Манн-Уитни U тест включен в самые современные статистические пакеты. Его также легко вычислить вручную, особенно для небольших образцов. Это можно сделать двумя способами.

Метод первый:

Для сравнения двух небольших наборов наблюдений прямой метод является быстрым и дает представление о значении U статистика, которая соответствует количеству побед во всех парных соревнованиях (см. пример с черепахой и зайцем в разделе «Примеры» ниже). Для каждого наблюдения в одном наборе подсчитайте, сколько раз это первое значение побеждает любые наблюдения в другом наборе (другое значение проигрывает, если первое больше). Считайте 0,5 для любых ничьих. Сумма побед и ничей составляет U (то есть: ${ displaystyle U_ {1}}$ ) для первого набора. U для другого набора обратное (то есть: ${ displaystyle U_ {2}}$ ).

Метод второй:

Для образцов большего размера:

Присвойте числовые ранги всем наблюдениям (поместите наблюдения из обеих групп в один набор), начиная с 1 для наименьшего значения. Если есть группы связанных значений, присвойте рейтинг, равный средней точке нескорректированного рейтинга. Например, ряды $(3, 5, 5, 5, 5, 8)$ находятся $(1, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 6)$ (нескорректированный ранг будет $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ).
Теперь сложите ранги для наблюдений, полученных из выборки 1. Сумма рангов в выборке 2 теперь определена, так как сумма всех рангов равна $N (N + 1)/2$ куда N - общее количество наблюдений.
U тогда дается:^[4]

{ Displaystyle U_ {1} = R_ {1} - {n_ {1} (n_ {1} +1) более 2} , !}

куда п₁ - размер выборки 1, а р₁ - сумма рангов в выборке 1.

Обратите внимание, что не имеет значения, какой из двух образцов считается образцом 1. В равной степени допустимая формула для U является

{ Displaystyle U_ {2} = R_ {2} - {n_ {2} (n_ {2} +1) более 2} , !}

Меньшее значение U₁ и U₂ используется при обращении к таблицам значимости. Сумма двух значений определяется как

{ displaystyle U_ {1} + U_ {2} = R_ {1} - {n_ {1} (n_ {1} +1) over 2} + R_ {2} - {n_ {2} (n_ {2 } +1) более 2}. , !}

Знаю это

р 1 + р 2 = N (N + 1)/2

и

N = п 1 + п 2

, и делая некоторые алгебра, находим, что сумма равна

U 1 + U 2 = п 1 п 2

.

Характеристики

Максимальное значение U является произведением размеров выборки для двух выборок (т. е .: ${ displaystyle U_ {i} = n_ {1} n_ {2}}$ ). В таком случае «другой» U будет 0.

Примеры

Иллюстрация методов расчета

Предположим, что Эзоп недоволен своим классический эксперимент в каком черепаха был найден победить одного заяц в гонке и решает провести тест значимости, чтобы выяснить, можно ли распространить результаты на черепах и зайцев в целом. Он собирает образец из 6 черепах и 6 зайцев и заставляет их всех участвовать в его гонке одновременно. Порядок, в котором они достигают финишной стойки (их ранги, от первого до последнего пересечения финишной черты), следующий: буква T означает черепаху, а H - заяц:

Т Ч Ч Ч Ч Ч Т Т Т Т Т Ч

В чем ценность U?

Используя прямой метод, мы берем каждую черепаху по очереди и подсчитываем количество зайцев, которых она бьет, получая 6, 1, 1, 1, 1, 1, что означает, что $U = 11$ . В качестве альтернативы мы могли бы взять каждого зайца по очереди и подсчитать, сколько черепах он бьет. В этом случае мы получаем 5, 5, 5, 5, 5, 0, поэтому U = 25. Обратите внимание, что сумма этих двух значений для $U = 36$ , который $6\times6$ .
Непрямым методом:

ранжируйте животных по времени, необходимому для прохождения курса, поэтому дайте первому домашнему животному ранг 12, второму - 11 и так далее.

сумма рангов черепахи равна

12 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 32

.

Следовательно

U = 32 - (6\times7)/2 = 32 - 21 = 11

(так же, как и первый метод).

сумма рангов зайцев равна

11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 1 = 46

, что приводит к

U = 46 - 21 = 25

.

Пример отчета о результатах

Сообщая о результатах исследования Манна – Уитни U test, важно указать:

Мера центральных тенденций двух групп (средние или медианы; так как метод Манна-Уитни U test - порядковый тест, обычно рекомендуются медианы)
Значение U (возможно, с некоторой мерой величины эффекта, например размер общеязыкового эффекта или же ранг-бисериальная корреляция ).
Размеры выборки
Уровень значимости.

На практике часть этой информации может быть уже предоставлена, и следует руководствоваться здравым смыслом при принятии решения, следует ли ее повторять. Типичный отчет может быть запущен,

«Медиана латентности в группах E и C составляла 153 и 247 мс; распределения в двух группах значительно различались (Mann – Whitney

U = 10.5

,

п 1 = п 2 = 8

,

п < 0.05

двусторонний) ".

Заявление, полностью отражающее статистический статус теста, может выполняться,

«Результаты двух курсов лечения сравнивались с использованием двухвыборочного критерия суммы рангов Вилкоксона-Манна-Уитни. Эффект лечения (разница между видами лечения) оценивался количественно с использованием оценочного показателя Ходжеса-Лемана (HL), который согласуется с критерием Вилкоксона. .^[5] Эта оценка (HLΔ) представляет собой медианное значение всех возможных различий в результатах между субъектом в группе B и субъектом в группе A. Непараметрический доверительный интервал 0,95 для HLΔ сопровождает эти оценки, как и ρ, оценка вероятности того, что Случайно выбранный субъект из популяции B имеет более высокий вес, чем случайно выбранный субъект из популяции A. Средний [квартили] веса субъектов, получающих лечение A и B, соответственно, составляет 147 [121, 177] и 151 [130, 180] кг. Лечение А снижение веса на HLΔ = 5 кг (0,95 CL [2, 9] кг,

2 п = 0.02

,

ρ = 0.58

)."

Однако редко можно найти столь развернутый отчет в документе, основной темой которого не является статистический вывод.

Нормальное приближение и исправление связи

Для больших образцов U примерно нормально распределенный. В этом случае стандартизованное значение

{ displaystyle z = { frac {U-m_ {U}} { sigma _ {U}}}, ,}

куда м_U и σ_U среднее и стандартное отклонение U, является приблизительно стандартным нормальным отклонением, значимость которого можно проверить в таблицах нормального распределения. м_U и σ_U даны

{ displaystyle m_ {U} = { frac {n_ {1} n_ {2}} {2}}, ,}

^[6] и

{ displaystyle sigma _ {U} = { sqrt {n_ {1} n_ {2} (n_ {1} + n_ {2} +1) более 12}}. ,}

^[6]

Формула стандартного отклонения усложняется при наличии равных рангов. Если в рядах есть связи, σ следует исправить следующим образом:

{ displaystyle sigma _ { text {corr}} = { sqrt {{n_ {1} n_ {2} over 12} left ((n + 1) - sum _ {i = 1} ^ { k} {{t_ {i}} ^ {3} -t_ {i} over n (n-1)} right)}} ,}

куда $п = п 1 + п 2$ , т_я количество субъектов, разделяющих ранг я, и k количество (различных) рангов.

Если количество стяжек невелико (и особенно если нет больших стяжек), при выполнении расчетов вручную их можно не учитывать. Пакеты компьютерной статистики будут использовать правильно скорректированную формулу в обычном порядке.

Обратите внимание, что поскольку $U 1 + U 2 = п 1 п 2$ , значение $п 1 п 2 /2$ в нормальном приближении используется среднее из двух значений U. Следовательно, абсолютное значение z вычисленная статистика будет такой же, какое бы значение U используется.

Размеры эффекта

Ученые широко рекомендуют сообщать о размер эффекта для логического теста.^[7]^[8]

Доля конкордантности из всех пар

Следующие три меры эквивалентны.

Размер общеязыкового эффекта

Один из методов представления величины эффекта для модели Манна – Уитни U тест с ж, размер эффекта общего языка.^[9]^[10] В качестве статистической выборки размер общеязыкового эффекта рассчитывается путем формирования всех возможных пар между двумя группами, а затем определения доли пар, поддерживающих направление (скажем, элементы из группы 1 больше, чем элементы из группы 2).^[10] Чтобы проиллюстрировать это, в исследовании с выборкой из десяти зайцев и десяти черепах общее количество упорядоченных пар составляет десять раз по десять или 100 пар зайцев и черепах. Предположим, что результаты показывают, что заяц бежал быстрее черепахи в 90 из 100 пар выборки; в этом случае примерный размер эффекта общеязыкового общения составляет 90%. Это значение выборки является беспристрастной оценкой значения совокупности, поэтому выборка предполагает, что наилучшая оценка величины эффекта общеязыкового общения в совокупности составляет 90%.^[11]

Отношения между ж и Манн-Уитни U (конкретно ${ displaystyle U_ {1}}$ ) как следует:

{ displaystyle f = {U_ {1} over n_ {1} n_ {2}} ,}

Это то же самое, что и площадь под кривой (AUC) для кривой ROC ниже.

ρ статистика

Статистика называется ρ что линейно связано с U и широко используется в исследованиях категоризации (обучение дискриминации с участием концепции ) и в других местах^[12] рассчитывается делением U на максимальное значение для данных размеров выборки, которое просто $п 1 \times п 2$ . ρ Таким образом, является непараметрической мерой перекрытия двух распределений; он может принимать значения от 0 до 1, и это оценка $П(Y > Икс) + 0,5 P (Y = Икс)$ , куда Икс и Y случайным образом выбранные наблюдения из двух распределений. Оба крайних значения представляют собой полное разделение распределений, в то время как ρ 0,5 представляет полное перекрытие. Полезность ρ статистику можно увидеть в случае нечетного примера, использованного выше, где два распределения, которые существенно различались по шкале Манна – Уитни. U Тем не менее, у теста были почти идентичные медианы: значение ρ в этом случае составляет примерно 0,723 в пользу зайцев, правильно отражая тот факт, что даже несмотря на то, что срединная черепаха побеждает среднего зайца, все вместе зайцы добились большего успеха, чем черепахи вместе взятые.^{[нужна цитата ]}

Статистика площади под кривой (AUC) для кривых ROC

В U статистика эквивалентна площадь под рабочая характеристика приемника изгиб (AUC ), которые легко вычислить.^[13]^[14]

{ displaystyle mathrm {AUC} _ {1} = {U_ {1} over n_ {1} n_ {2}}}

Обратите внимание, что это то же определение, что и размер общеязыкового эффекта из раздела выше. то есть: вероятность того, что классификатор оценит случайно выбранный положительный экземпляр выше, чем случайно выбранный отрицательный (при условии, что «положительные» ранги выше, чем «отрицательные»).^[15]

Из-за его вероятностной формы U статистику можно обобщить до меры разделительной способности классификатора для более чем двух классов:^[16]

{ displaystyle M = {1 over c (c-1)} sum mathrm {AUC} _ {k, ell}}

Где c - количество классов, а р_k,ℓ срок AUC_k,ℓ учитывает только рейтинг предметов, принадлежащих классам k и ℓ (т.е. элементы, принадлежащие ко всем другим классам, игнорируются) в соответствии с оценками классификатора вероятности того, что эти элементы принадлежат классу k. AUC_k,k всегда будет нулевым, но, в отличие от случая с двумя классами, обычно $AUC k, ℓ \neq AUC ℓ, k$ , поэтому M измерить суммы по всем (k,ℓ) пары, фактически используя среднее значение AUC_k,ℓ и AUC_ℓ,k.

Рангово-бисериальная корреляция

Метод сообщения величины эффекта для модели Манна – Уитни U тест с мерой ранговая корреляция известная как ранг-бисериальная корреляция. Эдвард Кюретон представил и назвал меру.^[17] Как и другие корреляционные меры, ранг-бисериальная корреляция может варьироваться от минус единицы до плюс один, при этом значение нуля указывает на отсутствие связи.

Существует простая формула разности для вычисления ранг-бисериальной корреляции из величины эффекта общего языка: корреляция - это разница между долей пар, благоприятных для гипотезы (ж) минус его дополнение (т. е .: неблагоприятная пропорция (ты)). Эта простая формула разницы представляет собой разницу в размере эффекта общего языка для каждой группы и выглядит следующим образом:^[9]

{ Displaystyle г = ф-у}

Например, рассмотрим пример, когда зайцы бегают быстрее черепах в 90 парах из 100. Размер общеязыкового эффекта составляет 90%, поэтому ранг-бисериальная корреляция составляет 90% минус 10%, а ранг-бисериальная корреляция $р = 0.80$ .

Альтернативная формула для бисериала ранга может быть использована для его вычисления по формуле Манна – Уитни. U (либо ${ displaystyle U_ {1}}$ или же ${ displaystyle U_ {2}}$ ) и размер выборки каждой группы:^[18]

{ displaystyle r = f- (1-f) = 2f-1 = {2U_ {1} over n_ {1} n_ {2}} - 1 = 1- {2U_ {2} over n_ {1} n_ {2}}}

Эта формула полезна, когда данные недоступны, но есть опубликованный отчет, потому что U и размеры выборки обычно сообщаются. Используя приведенный выше пример с 90 парами, которые предпочитают зайцев, и 10 парами, которые предпочитают черепаху, U₂ меньше из двух, поэтому $U 2 = 10$ . Затем эта формула дает $р = 1 - (2\times10) / (10\times10) = 0.80$ , что является тем же результатом, что и для простой формулы разности выше.

Отношение к другим тестам

Сравнение со студенческим т-тест

Манн-Уитни U test проверяет нулевую гипотезу о том, что вероятность того, что случайно выбранное наблюдение из одной группы больше, чем случайно полученное наблюдение из другой, равна 0,5 против альтернативы, что эта вероятность не равна 0,5 (см. U-критерий Манна – Уитни # Предположения и формальное изложение гипотез ). Напротив, t-тест проверяет нулевую гипотезу о равных средних в двух группах против альтернативы неравных средних. Следовательно, за исключением особых случаев, U-критерий Манна – Уитни и t-критерий не проверяют одни и те же гипотезы и должны сравниваться с этим.

Порядковые данные: Манн-Уитни U тест предпочтительнее т-тест, когда данные порядковый но не масштабируется по интервалу, и в этом случае интервал между соседними значениями шкалы нельзя считать постоянным.
Надежность: Сравнивая суммы рангов,^[19] Манн-Уитни U тест менее вероятен, чем т-тест для ложного указания значимости из-за присутствия выбросы. Однако Манн-Уитни U тест может быть хуже ошибка типа I контролировать, когда данные одновременно гетероскедастичны и ненормальны.^[20]
Эффективность: Когда нормальность сохраняется, метод Манна – Уитни U тест имеет (асимптотический) эффективность из 3 / $π$ или около 0,95 по сравнению с т-тест.^[21] Для распределений, достаточно далеких от нормального, и для достаточно больших размеров выборки, функция Манна – Уитни U тест значительно более эффективен, чем т.^[22] Однако это сравнение эффективности следует интерпретировать с осторожностью, поскольку Манна-Уитни и t-критерий не проверяют одни и те же величины. Если, например, основной интерес представляет разница средних значений группы, тест Манна-Уитни не подходит.^[23]

Манн-Уитни U тест даст очень похожие результаты на выполнение обычного параметрического двухвыборочного т-тест о рейтинге данных.^[24]

Разные дистрибутивы

Если вас интересует только стохастический порядок двух популяций (то есть вероятность согласования $П(Y > Икс))$ , Манн-Уитни U test можно использовать, даже если формы распределений отличаются. Вероятность совпадения в точности равна площади под рабочая характеристика приемника кривая (ROC), которая часто используется в контексте.^{[нужна цитата ]}

Альтернативы

Если кто-то желает простой интерпретации сдвига, метод Манна – Уитни U тест должен нет использоваться, когда распределения двух выборок сильно различаются, поскольку это может дать ошибочную интерпретацию значимых результатов.^[25] В этой ситуации неравные отклонения версия т-тест может дать более надежные результаты.

Точно так же некоторые авторы (например, Коновер^{[требуется полная цитата ]}) предлагаем преобразовать данные в ранги (если они еще не ранжированы), а затем выполнить т-тест на преобразованных данных, версия т-тест используется в зависимости от того, есть ли подозрения на различие дисперсий совокупности. Преобразования рангов не сохраняют дисперсии, но дисперсии пересчитываются из выборок после преобразований рангов.

В Тест Брауна – Форсайта был предложен как подходящий непараметрический эквивалент F-тест для равных отклонений.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также Тест Колмогорова – Смирнова.

Статистика связанных тестов

Тау Кендалла

Манн-Уитни U test относится к ряду других непараметрических статистических процедур. Например, это эквивалентно Тау Кендалла коэффициент корреляции, если одна из переменных является двоичной (то есть может принимать только два значения).^{[нужна цитата ]}

Программные реализации

Во многих программных пакетах алгоритм Манна – Уитни U тест (гипотезы о равных распределениях по сравнению с соответствующими альтернативами) плохо документирован. Некоторые пакеты неправильно обрабатывают связи или не могут задокументировать асимптотические методы (например, поправку на непрерывность). В обзоре 2000 г. обсуждались некоторые из следующих пакетов:^[26]

MATLAB имеет ранксум в его панели инструментов статистики.
р базовый пакет статистики реализует тест Wilcox.test в его пакете "stats".
Пакет R WilcoxonZ вычислит статистику z для двухвыборочного, парного или однократного теста Вилкоксона.
SAS реализует тест в своей процедуре PROC NPAR1WAY.
Python (язык программирования) есть реализация этого теста, предоставленная SciPy^[27]
SigmaStat (SPSS Inc., Чикаго, Иллинойс)
СИСТАТ (SPSS Inc., Чикаго, Иллинойс)
Java (язык программирования) есть реализация этого теста, предоставленная Apache Commons^[28]
Юлия (язык программирования) есть реализации этого теста в нескольких пакетах. В пакете HypothesisTests.jl он находится как pvalue (MannWhitneyUTest (X, Y))^[29]
JMP (SAS Institute Inc., Кэри, Северная Каролина)
S-Plus (MathSoft, Inc., Сиэтл, Вашингтон)
СТАТИСТИКА (StatSoft, Inc., Талса, ОК)
UNISTAT (Unistat Ltd, Лондон)
SPSS (SPSS Inc, Чикаго)
StatsDirect (StatsDirect Ltd, Манчестер, Великобритания) орудия все распространенные варианты.
Stata (Stata Corporation, College Station, TX) внедряет тест в своих ранксум команда.
StatXact (Cytel Software Corporation, Кембридж, Массачусетс)
PSPP реализует тест в своем WILCOXON функция.

История

Статистика появилась в статье 1914 года.^[30] немец Густав Дойхлер (с пропущенным членом в дисперсии).

В одной статье 1945 г. Фрэнк Уилкоксон предложил ^[31] как одновыборочный знаковый ранг, так и двухвыборочный тест суммы рангов, в проверка значимости с точечной нулевой гипотезой против ее дополнительной альтернативы (то есть, равно или не равно). Однако в этой статье он привел только несколько пунктов для случая равного размера выборки (хотя в более поздней статье он привел таблицы большего размера).

Подробный анализ статистики, который включал повторение, позволяющее вычислить хвостовые вероятности для произвольных размеров выборки и таблицы для размеров выборки восьми или меньше, появился в статье Генри Манн и его ученик Дональд Рэнсом Уитни в 1947 году.^[1] В этой статье обсуждались альтернативные гипотезы, в том числе стохастический порядок (где кумулятивные функции распределения выполнено поточечное неравенство $F Икс (т) < F Y (т)$ ). В этой статье также были вычислены первые четыре момента и установлена предельная нормальность статистики при нулевой гипотезе, таким образом установлено, что она асимптотически свободна от распределения.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Манн, Генри Б.; Уитни, Дональд Р. (1947). «О проверке того, является ли одна из двух случайных переменных стохастически большей, чем другая». Анналы математической статистики. 18 (1): 50–60. Дои:10.1214 / aoms / 1177730491. МИСТЕР 0022058. Zbl 0041.26103.
^ Фэй, Майкл П .; Прошан, Майкл А. (2010). "Вилкоксон – Манн – Уитни или т-тест? О допущениях для проверки гипотез и множественной интерпретации решающих правил ». Статистические исследования. 4: 1–39. Дои:10.1214 / 09-SS051. МИСТЕР 2595125. ЧВК 2857732. PMID 20414472.
^ [1] См. Таблицу 2.1 Пратта (1964) «Устойчивость некоторых процедур для задачи размещения двух выборок». Журнал Американской статистической ассоциации. 59 (307): 655–680. Если два распределения являются нормальными с одним и тем же средним значением, но с разными дисперсиями, тогда Pr [X> Y] = Pr [Y Y] = Pr [Y
^ Зар, Джерролд Х. (1998). Биостатистический анализ. Нью-Джерси: Prentice Hall International, INC. Стр. 147. ISBN 978-0-13-082390-8.
^ Майлз Холландер и Дуглас А. Вулф (1999). Непараметрические статистические методы (2-е изд.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0471190455.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
^ ^а ^б Сигал, Сидней. Непараметрическая статистика для наук о поведении. Макгроу-Хилл. п. 121.
^ Уилкинсон, Лиланд (1999). «Статистические методы в психологических журналах: рекомендации и пояснения». Американский психолог. 54 (8): 594–604. Дои:10.1037 / 0003-066X.54.8.594.
^ Накагава, Шиничи; Катхилл, Иннес С. (2007). «Размер эффекта, доверительный интервал и статистическая значимость: практическое руководство для биологов». Биологические обзоры Кембриджского философского общества. 82 (4): 591–605. Дои:10.1111 / j.1469-185X.2007.00027.x. PMID 17944619.
^ ^а ^б Керби, Д.С. (2014). «Формула простой разности: подход к обучению непараметрической корреляции». Комплексная психология. 3: 11.IT.3.1. Дои:10.2466 / 11.IT.3.1.
^ ^а ^б McGraw, K.O .; Вонг, Дж. Дж. (1992). «Общая статистика размера эффекта». Психологический бюллетень. 111 (2): 361–365. Дои:10.1037/0033-2909.111.2.361.
^ Гриссом Р.Дж. (1994). «Статистический анализ порядкового категориального статуса после лечения». Журнал консалтинговой и клинической психологии. 62 (2): 281–284. Дои:10.1037 / 0022-006X.62.2.281.
^ Herrnstein, Ричард Дж .; Loveland, Donald H .; Кабель, Синтия (1976). «Естественные представления у голубей». Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 2 (4): 285–302. Дои:10.1037/0097-7403.2.4.285.
^ Хэнли, Джеймс А .; Макнил, Барбара Дж. (1982). «Значение и использование площади под характеристикой кривой работы приемника (ROC)». Радиология. 143 (1): 29–36. Дои:10.1148 / радиология.143.1.7063747. PMID 7063747.
^ Мейсон, Саймон Дж .; Грэм, Николас Э. (2002). «Области ниже кривых относительных рабочих характеристик (ROC) и относительных рабочих уровней (ROL): статистическая значимость и интерпретация» (PDF). Ежеквартальный журнал Королевского метеорологического общества. 128 (584): 2145–2166. Bibcode:2002QJRMS.128.2145M. CiteSeerX 10.1.1.458.8392. Дои:10.1256/003590002320603584.
^ Фосетт, Том (2006); Введение в ROC-анализ, Письма о распознавании образов, 27, 861–874.
^ Рука, Дэвид Дж .; Тилль, Роберт Дж. (2001). «Простое обобщение площади под кривой ROC для задач классификации нескольких классов». Машинное обучение. 45 (2): 171–186. Дои:10.1023 / А: 1010920819831.
^ Cureton, E.E. (1956). «Рангово-бисериальная корреляция». Психометрика. 21 (3): 287–290. Дои:10.1007 / BF02289138.
^ Wendt, H.W. (1972). «Решение общей проблемы в социальных науках: упрощенный ранг-бисериальный коэффициент корреляции на основе статистики U». Европейский журнал социальной психологии. 2 (4): 463–465. Дои:10.1002 / ejsp.2420020412.
^ Мотульский, Харви Дж .; Руководство по статистике, Сан-Диего, Калифорния: Программное обеспечение GraphPad, 2007 г., стр. 123
^ Циммерман, Дональд В. (1998-01-01). «Признание недействительными параметрических и непараметрических статистических тестов одновременным нарушением двух предположений». Журнал экспериментального образования. 67 (1): 55–68. Дои:10.1080/00220979809598344. ISSN 0022-0973.
^ Lehamnn, Erich L .; Элементы теории больших выборок, Springer, 1999, стр. 176
^ Коновер, Уильям Дж .; Практическая непараметрическая статистика, John Wiley & Sons, 1980 (2-е издание), стр. 225–226.
^ Ламли, Томас; Дир, Паула; Эмерсон, Скотт; Чен, Лу (май 2002 г.). «Важность предположения о нормальности в больших наборах данных общественного здравоохранения». Ежегодный обзор общественного здравоохранения. 23 (1): 151–169. Дои:10.1146 / annurev.publhealth.23.100901.140546. ISSN 0163-7525.
^ Коновер, Уильям Дж .; Иман, Рональд Л. (1981). «Ранговые преобразования как мост между параметрической и непараметрической статистикой». Американский статистик. 35 (3): 124–129. Дои:10.2307/2683975. JSTOR 2683975.
^ Касуя, Эйити (2001). «U-критерий Манна – Уитни при неравных дисперсиях». Поведение животных. 61 (6): 1247–1249. Дои:10.1006 / anbe.2001.1691.
^ Бергманн, Рейнхард; Ладбрук, Джон; Спурен, Уилл П.Дж.М. (2000). «Различные результаты теста Вилкоксона – Манна – Уитни из разных статистических пакетов». Американский статистик. 54 (1): 72–77. Дои:10.1080/00031305.2000.10474513. JSTOR 2685616.
^ "scipy.stats.mannwhitneyu". Справочное руководство SciPy v0.16.0. Сообщество Scipy. 24 июля 2015 г.. Получено 11 сентября 2015. scipy.stats.mannwhitneyu (x, y, use_continuity = True): вычисляет ранговый критерий Манна – Уитни для выборок x и y.
^ "MannWhitneyUTest (API Apache Commons Math 3.3)". commons.apache.org.
^ "JuliaStats / HypothesisTests.jl". GitHub.
^ Крускал, Уильям Х. (сентябрь 1957 г.). «Исторические заметки о непарном двухвыборочном тесте Вилкоксона». Журнал Американской статистической ассоциации. 52 (279): 356–360. Дои:10.2307/2280906. JSTOR 2280906.
^ Вилкоксон, Фрэнк (1945). «Индивидуальные сравнения методами ранжирования». Бюллетень по биометрии. 1 (6): 80–83. Дои:10.2307/3001968. HDL:10338.dmlcz / 135688. JSTOR 3001968.

внешняя ссылка

Таблица критических значений U (pdf)
Интерактивный калькулятор за U и его значение
Краткое руководство экспериментального психолога Карла Л. Вюнша - Непараметрические оценки величины эффекта (Copyright 2015 by Karl L. Weunsch)

[mannwhitney1947-1] а ^б Манн, Генри Б.; Уитни, Дональд Р. (1947). «О проверке того, является ли одна из двух случайных переменных стохастически большей, чем другая». Анналы математической статистики. 18 (1): 50–60. Дои:10.1214 / aoms / 1177730491. МИСТЕР 0022058. Zbl 0041.26103.

[2] Фэй, Майкл П .; Прошан, Майкл А. (2010). "Вилкоксон – Манн – Уитни или т-тест? О допущениях для проверки гипотез и множественной интерпретации решающих правил ». Статистические исследования. 4: 1–39. Дои:10.1214 / 09-SS051. МИСТЕР 2595125. ЧВК 2857732. PMID 20414472.

[3] [1] См. Таблицу 2.1 Пратта (1964) «Устойчивость некоторых процедур для задачи размещения двух выборок». Журнал Американской статистической ассоциации. 59 (307): 655–680. Если два распределения являются нормальными с одним и тем же средним значением, но с разными дисперсиями, тогда Pr [X> Y] = Pr [Y Y] = Pr [Y

[4] Зар, Джерролд Х. (1998). Биостатистический анализ. Нью-Джерси: Prentice Hall International, INC. Стр. 147. ISBN 978-0-13-082390-8.

[5] Майлз Холландер и Дуглас А. Вулф (1999). Непараметрические статистические методы (2-е изд.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0471190455.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)

[auto-6] а ^б Сигал, Сидней. Непараметрическая статистика для наук о поведении. Макгроу-Хилл. п. 121.

[Wilkinson1999-7] Уилкинсон, Лиланд (1999). «Статистические методы в психологических журналах: рекомендации и пояснения». Американский психолог. 54 (8): 594–604. Дои:10.1037 / 0003-066X.54.8.594.

[Nakagawa2007-8] Накагава, Шиничи; Катхилл, Иннес С. (2007). «Размер эффекта, доверительный интервал и статистическая значимость: практическое руководство для биологов». Биологические обзоры Кембриджского философского общества. 82 (4): 591–605. Дои:10.1111 / j.1469-185X.2007.00027.x. PMID 17944619.

[Kerby2014-9] а ^б Керби, Д.С. (2014). «Формула простой разности: подход к обучению непараметрической корреляции». Комплексная психология. 3: 11.IT.3.1. Дои:10.2466 / 11.IT.3.1.

[McGraw1992-10] а ^б McGraw, K.O .; Вонг, Дж. Дж. (1992). «Общая статистика размера эффекта». Психологический бюллетень. 111 (2): 361–365. Дои:10.1037/0033-2909.111.2.361.

[11] Гриссом Р.Дж. (1994). «Статистический анализ порядкового категориального статуса после лечения». Журнал консалтинговой и клинической психологии. 62 (2): 281–284. Дои:10.1037 / 0022-006X.62.2.281.

[H1976-12] Herrnstein, Ричард Дж .; Loveland, Donald H .; Кабель, Синтия (1976). «Естественные представления у голубей». Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 2 (4): 285–302. Дои:10.1037/0097-7403.2.4.285.

[Hanley-13] Хэнли, Джеймс А .; Макнил, Барбара Дж. (1982). «Значение и использование площади под характеристикой кривой работы приемника (ROC)». Радиология. 143 (1): 29–36. Дои:10.1148 / радиология.143.1.7063747. PMID 7063747.

[Mason-14] Мейсон, Саймон Дж .; Грэм, Николас Э. (2002). «Области ниже кривых относительных рабочих характеристик (ROC) и относительных рабочих уровней (ROL): статистическая значимость и интерпретация» (PDF). Ежеквартальный журнал Королевского метеорологического общества. 128 (584): 2145–2166. Bibcode:2002QJRMS.128.2145M. CiteSeerX 10.1.1.458.8392. Дои:10.1256/003590002320603584.

[fawcett-15] Фосетт, Том (2006); Введение в ROC-анализ, Письма о распознавании образов, 27, 861–874.

[16] Рука, Дэвид Дж .; Тилль, Роберт Дж. (2001). «Простое обобщение площади под кривой ROC для задач классификации нескольких классов». Машинное обучение. 45 (2): 171–186. Дои:10.1023 / А: 1010920819831.

[17] Cureton, E.E. (1956). «Рангово-бисериальная корреляция». Психометрика. 21 (3): 287–290. Дои:10.1007 / BF02289138.

[18] Wendt, H.W. (1972). «Решение общей проблемы в социальных науках: упрощенный ранг-бисериальный коэффициент корреляции на основе статистики U». Европейский журнал социальной психологии. 2 (4): 463–465. Дои:10.1002 / ejsp.2420020412.

[Motulsky_2007-19] Мотульский, Харви Дж .; Руководство по статистике, Сан-Диего, Калифорния: Программное обеспечение GraphPad, 2007 г., стр. 123

[20] Циммерман, Дональд В. (1998-01-01). «Признание недействительными параметрических и непараметрических статистических тестов одновременным нарушением двух предположений». Журнал экспериментального образования. 67 (1): 55–68. Дои:10.1080/00220979809598344. ISSN 0022-0973.

[Lehmann_1999-21] Lehamnn, Erich L .; Элементы теории больших выборок, Springer, 1999, стр. 176

[Conover_1980-22] Коновер, Уильям Дж .; Практическая непараметрическая статистика, John Wiley & Sons, 1980 (2-е издание), стр. 225–226.

[23] Ламли, Томас; Дир, Паула; Эмерсон, Скотт; Чен, Лу (май 2002 г.). «Важность предположения о нормальности в больших наборах данных общественного здравоохранения». Ежегодный обзор общественного здравоохранения. 23 (1): 151–169. Дои:10.1146 / annurev.publhealth.23.100901.140546. ISSN 0163-7525.

[24] Коновер, Уильям Дж .; Иман, Рональд Л. (1981). «Ранговые преобразования как мост между параметрической и непараметрической статистикой». Американский статистик. 35 (3): 124–129. Дои:10.2307/2683975. JSTOR 2683975.

[25] Касуя, Эйити (2001). «U-критерий Манна – Уитни при неравных дисперсиях». Поведение животных. 61 (6): 1247–1249. Дои:10.1006 / anbe.2001.1691.

[26] Бергманн, Рейнхард; Ладбрук, Джон; Спурен, Уилл П.Дж.М. (2000). «Различные результаты теста Вилкоксона – Манна – Уитни из разных статистических пакетов». Американский статистик. 54 (1): 72–77. Дои:10.1080/00031305.2000.10474513. JSTOR 2685616.

[27] "scipy.stats.mannwhitneyu". Справочное руководство SciPy v0.16.0. Сообщество Scipy. 24 июля 2015 г.. Получено 11 сентября 2015. scipy.stats.mannwhitneyu (x, y, use_continuity = True): вычисляет ранговый критерий Манна – Уитни для выборок x и y.

[28] "MannWhitneyUTest (API Apache Commons Math 3.3)". commons.apache.org.

[29] "JuliaStats / HypothesisTests.jl". GitHub.

[Kruskal57-30] Крускал, Уильям Х. (сентябрь 1957 г.). «Исторические заметки о непарном двухвыборочном тесте Вилкоксона». Журнал Американской статистической ассоциации. 52 (279): 356–360. Дои:10.2307/2280906. JSTOR 2280906.

[wilcoxon1945-31] Вилкоксон, Фрэнк (1945). «Индивидуальные сравнения методами ранжирования». Бюллетень по биометрии. 1 (6): 80–83. Дои:10.2307/3001968. HDL:10338.dmlcz / 135688. JSTOR 3001968.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]