Z-тест - Z-test

А Z-тест есть ли статистический тест для чего распределение из статистика теста под нулевая гипотеза можно аппроксимировать нормальное распределение. Z-тест проверяет среднее значение распределения. Для каждого уровень значимости в доверительный интервал, то Z-test имеет одно критическое значение (например, 1,96 для 5% двусторонних), что делает его более удобным, чем Студенты т-тест критические значения которых определяются размером выборки (через соответствующие степени свободы ).

Из-за Центральная предельная теорема, многие тестовые статистики примерно нормально распределяются для больших выборок. Поэтому многие статистические тесты могут быть удобно выполнены как приблизительные. Z-тестирует, если размер выборки большой или дисперсия генеральной совокупности известна. Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (и, следовательно, ее необходимо оценивать по самой выборке) и размер выборки невелик (п <30), Студенческий т-тест может быть более подходящим.

Как выполнить Z-тест, когда Т - статистика, которая приблизительно нормально распределена при нулевой гипотезе, выглядит следующим образом:

Сначала оценим ожидаемое значение μ из Т при нулевой гипотезе и получить оценку s из стандартное отклонение из Т.

Во-вторых, определить свойства Т : однохвостый или двухвостый.

Для нулевой гипотезы ЧАС₀: μ≥μ₀ против Альтернативная гипотеза ЧАС₁: μ <μ₀ , это верхний / правый хвост (односторонний).

Для нулевой гипотезы ЧАС₀: μ≤μ₀ против альтернативной гипотезы ЧАС₁: μ> μ₀ , он нижний / левый (односторонний).

Для нулевой гипотезы ЧАС₀: μ = μ₀ против альтернативной гипотезы ЧАС₁: μ ≠ μ₀ , он двусторонний.

В-третьих, рассчитайте стандартная оценка  :

${ displaystyle Z = { frac {({ bar {X}} - mu _ {0})} {s}}}$ ,

который односторонний и двусторонний п-значения можно вычислить как Φ (Z) (для тестов с верхним / правым хвостом), Φ (-Z) (для тестов с нижним / левым хвостом) и 2Φ (- |Z|) (для двусторонних тестов), где Φ - стандартная нормальный кумулятивная функция распределения.

Использование в тестировании местоположения

1. Период, термин "Z-test »часто используется для обозначения одинарный тест местоположения сравнение среднего значения набора измерений с заданной константой, когда дисперсия выборки известна. Например, если наблюдаемые данные Икс₁, ..., Икс_п являются (i) независимыми, (ii) имеют общее среднее значение μ и (iii) имеют общую дисперсию σ², то выборочное среднее Икс имеет среднее значение μ и дисперсию ${ displaystyle { frac { sigma ^ {2}} {n}}}$.
2. Нулевая гипотеза состоит в том, что среднее значение X является заданным числом μ₀. Мы можем использовать Икс как тест-статистика, отклоняя нулевую гипотезу, если Икс - μ₀ большой.
3. Для расчета стандартизированной статистики ${ displaystyle Z = { frac {({ bar {X}} - mu _ {0})} {s}}}$, нам нужно либо знать, либо иметь приблизительное значение для σ², из которого мы можем вычислить ${ displaystyle s ^ {2} = { frac { sigma ^ {2}} {n}}}$ . В некоторых приложениях σ² известно, но это редко.
4. Если размер выборки средний или большой, мы можем заменить выборочная дисперсия для σ², давая плагин тест. Полученный тест не будет точным Z-тест, поскольку неопределенность в дисперсии выборки не учитывается, однако это будет хорошее приближение, если размер выборки не мал.
5. А т-тест может использоваться для учета неопределенности дисперсии выборки, когда данные точно соответствуют нормальный.
6. Разница между Z-тестом и t-тестом: Z-тест используется, когда размер выборки большой (n> 50) или известна дисперсия генеральной совокупности. t-критерий используется, когда размер выборки небольшой (n <50) и дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
7. Не существует универсальной константы, при которой размер выборки обычно считается достаточно большим, чтобы оправдать использование подключаемого теста. Типичные практические правила: размер выборки должен составлять 50 или более наблюдений.
8. Для больших размеров выборки т-процедура тестирования дает практически идентичные п-значения как Z-тестовая процедура.
9. Другие тесты местоположения, которые могут быть выполнены как Z-тесты - это двухвыборочный локационный тест и тест парных различий.

Условия

Для Z-испытания на применимость должны выполняться определенные условия.

• Мешающие параметры должны быть известны или оценены с высокой точностью (примером мешающего параметра может быть стандартное отклонение в тесте на одном месте). Z-тесты фокусируются на одном параметре и рассматривают все остальные неизвестные параметры как фиксированные на их истинных значениях. На практике из-за Теорема Слуцкого, "подключение" последовательный оценки мешающих параметров могут быть обоснованы. Однако, если размер выборки недостаточно велик для того, чтобы эти оценки были достаточно точными, Z-тест может не работать.
• Статистика теста должна соответствовать нормальное распределение. Обычно апеллируют к Центральная предельная теорема чтобы обосновать предположение, что статистика теста обычно изменяется. Существует множество статистических исследований по вопросу о том, когда тестовая статистика изменяется примерно нормально. Если изменение тестовой статистики сильно ненормально, Z-test не следует использовать.

Если оценки мешающих параметров подключены, как описано выше, важно использовать оценки, соответствующие способу получения данных. отобранный. В частном случае Z-тестов для задачи размещения одной или двух выборок, обычное стандартное отклонение выборки подходит только в том случае, если данные были собраны как независимая выборка.

В некоторых ситуациях можно разработать тест, который должным образом учитывает различия в оценках дополнительных параметров мешающих параметров. В случае проблем с размещением одного и двух образцов т-тест Является ли это.

Пример

Предположим, что в конкретном географическом регионе среднее значение и стандартное отклонение результатов теста чтения составляют 100 и 12 баллов соответственно. Нас интересуют оценки 55 учащихся в конкретной школе, которые получили средний балл 96. Мы можем спросить, значительно ли этот средний балл значительно ниже, чем средний региональный, то есть сопоставимы ли учащиеся в этой школе с простым случайным выборка из 55 студентов из региона в целом, или их оценки на удивление низкие?

Сначала рассчитайте стандартная ошибка среднего:

${ displaystyle mathrm {SE} = { frac { sigma} { sqrt {n}}} = { frac {12} { sqrt {55}}} = { frac {12} {7.42}} = 1,62 , !}$

куда ${ displaystyle { sigma}}$ стандартное отклонение генеральной совокупности.

Затем рассчитайте z-счет, которое представляет собой расстояние от выборочного среднего до среднего по генеральной совокупности в единицах стандартной ошибки:

${ displaystyle z = { frac {M- mu} { mathrm {SE}}} = { frac {96-100} {1.62}} = - 2,47 , !}$

В этом примере мы рассматриваем среднее значение и дисперсию совокупности как известные, что было бы целесообразно, если бы все учащиеся в регионе были протестированы. Если параметры популяции неизвестны, вместо этого следует провести t-тест.

Средний балл в классе составляет 96, что составляет −2,47 единиц стандартной ошибки от среднего значения для генеральной совокупности, равного 100. Поиск zоценка в таблице стандарта нормальное распределение кумулятивная вероятность, мы находим, что вероятность наблюдения стандартного нормального значения ниже -2,47 составляет приблизительно 0,5 - 0,4932 = 0,0068. Это односторонний п-ценить для нулевой гипотезы о том, что 55 студентов сопоставимы с простой случайной выборкой из совокупности всех тестируемых. Двусторонний п-значение примерно 0,014 (вдвое больше одностороннего п-ценить).

Другими словами, с вероятностью 1 - 0,014 = 0,986 у простой случайной выборки из 55 студентов средний балл за тест будет в пределах 4 единиц от среднего значения генеральной совокупности. Можно также сказать, что с вероятностью 98,6% мы отвергаем нулевая гипотеза что 55 тестируемых сопоставимы с простой случайной выборкой из популяции тестируемых.

В Z-test сообщает нам, что 55 интересующих студентов имеют необычно низкий средний результат теста по сравнению с большинством простых случайных выборок аналогичного размера из популяции тестируемых. Недостатком этого анализа является то, что он не учитывает, размер эффекта из 4 баллов имеет смысл. Если бы вместо классной комнаты мы рассматривали субрегион с 900 учениками, средний балл которых был 99, почти столько же z-оценка и п-значение будет соблюдаться. Это показывает, что если размер выборки достаточно велик, очень небольшие отличия от нулевого значения могут быть статистически значимыми. Видеть статистическая проверка гипотез для дальнейшего обсуждения этого вопроса.

Z-тесты кроме локационных тестов

Тесты местоположения - самые знакомые Z-тесты. Другой класс Z-тест возникает в максимальная вероятность оценка параметры в параметрический статистическая модель. Оценки максимального правдоподобия являются приблизительно нормальными при определенных условиях, и их асимптотическая дисперсия может быть рассчитана на основе информации Фишера. Оценка максимального правдоподобия, деленная на ее стандартную ошибку, может использоваться в качестве тестовой статистики для нулевой гипотезы о том, что значение параметра в генеральной совокупности равно нулю. В более общем смысле, если ${ displaystyle { hat { theta}}}$ оценка максимального правдоподобия параметра θ, а θ₀ - значение θ при нулевой гипотезе,

${ displaystyle ({ hat { theta}} - theta _ {0}) / { rm {SE}} ({ hat { theta}})}$

может использоваться как Z-тестовая статистика.

При использовании Z-тест для оценок максимального правдоподобия, важно знать, что нормальное приближение может быть плохим, если размер выборки недостаточно велик. Хотя не существует простого универсального правила, устанавливающего, насколько большим должен быть размер выборки для использования Z-тест, симуляция может дать хорошее представление о том, Z-тест уместен в данной ситуации.

Z-тесты используются всякий раз, когда можно утверждать, что статистика теста следует нормальному распределению при интересующей нулевой гипотезе. Много непараметрический статистика тестов, например Статистика U, являются приблизительно нормальными для достаточно больших размеров выборки и, следовательно, часто выполняются как Z-тесты.

Смотрите также

• Нормальное распределение
• Стандартный нормальный стол
• Стандартный балл
• Студенты т-тест

Рекомендации

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Май 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Спринтхолл, Р. К. (2011). Базовый статистический анализ (9-е изд.). Pearson Education. ISBN  978-0-205-05217-2.
• Казелла, Г., Бергер, Р.Л. (2002). Статистические выводы. Duxbury Press. ISBN  0-534-24312-6.
• Дуглас Монтгомери, Джордж Рангер (2014). Прикладная статистика и вероятность для инженеров. (6-е изд.). John Wiley & Sons, inc. ISBN  9781118539712, 9781118645062.