Модель с первым попаданием - First-hitting-time model

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Октябрь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

События часто запускаются, когда случайный или случайный процесс впервые встречает порог. Порог может быть барьером, границей или заданным состоянием системы. Количество времени, необходимое для случайный процесс, начиная с некоторого начального состояния, столкнуться с порогом в первый раз называется по-разному как время первого удара. В статистика, первые модели являются подклассом модели выживания. Время первого удара, также называемое время первого прохождения, барьерного набора ${displaystyle B}$ по отношению к экземпляру случайного процесса - это время, пока стохастический процесс впервые не войдет в ${displaystyle B}$.

Говоря проще, время первого прохождения в стохастической системе - это время, необходимое переменной состояния для достижения определенного значения. Понимание этой метрики позволяет глубже понять наблюдаемую физическую систему, и как таковая является темой исследований в самых разных областях, начиная с экономика к экология.^[1]

Идея о том, что момент первого достижения случайного процесса может описывать время до наступления события, имеет долгую историю, начиная с интереса к времени первого прохождения процессов диффузии Винера в экономике, а затем в физике в начале 1900-х годов.^[2][3][4] Моделирование вероятности финансового краха в первый раз было одним из первых применений в области страхования.^[5] Интерес к математическим свойствам времени первого попадания и статистическим моделям и методам анализа данных о выживаемости неуклонно проявлялся между серединой и концом 20 века.^{[6][7][8][9][10]}

Примеры

Типичный пример модели первого попадания - это проблема разорения, Такие как Разорение игрока. В этом примере у организации (часто описываемой как игрок или страховая компания) есть денежная сумма, которая случайным образом изменяется со временем, возможно, с некоторыми дрейф. Модель рассматривает событие, когда сумма денег достигает 0, что означает банкротство. Модель может ответить на такие вопросы, как вероятность того, что это произойдет в течение конечного времени, или среднее время, до которого это произойдет.

Модели времени первого обращения могут быть применены к ожидаемому сроку службы пациентов или механических устройств. Когда процесс впервые достигает неблагоприятного порогового состояния, пациент умирает или устройство выходит из строя.

Время первого прохождения одномерной броуновской частицы

Одна из простейших и вездесущих стохастических систем - это система Броуновская частица в одном измерении. Эта система описывает движение частицы, которая движется стохастически в одномерном пространстве, с равной вероятностью движения влево или вправо. Учитывая, что броуновское движение часто используется как инструмент для понимания более сложных явлений, важно понимать вероятность того, что во время первого прохождения броуновская частица достигнет некоторой позиции, удаленной от своего начального местоположения. Это делается следующими способами.

В функция плотности вероятности (PDF) для частицы в одном измерении находится путем решения одномерного уравнение диффузии. (Это уравнение утверждает, что плотность вероятности положения со временем распространяется наружу. Это аналогично утверждению, что сливки в чашке кофе изначально содержались в каком-то небольшом месте. Через долгое время сливки распространились по всему напитку равномерно.) А именно,

${displaystyle {frac {partial p (x, tmid x_ {0})} {partial t}} = D {frac {partial ^ {2} p (x, tmid x_ {0})} {partial x ^ {2} }},}$

учитывая начальное состояние ${displaystyle p (x, t = {0} mid x_ {0}) = delta (x-x_ {0})}$; куда ${displaystyle x (t)}$ - положение частицы в определенный момент времени, ${displaystyle x_ {0}}$ - начальное положение помеченной частицы, а ${displaystyle D}$ - постоянная диффузии в единицах S.I. ${displaystyle m ^ {2} s ^ {- 1}}$ (косвенная мера скорости частицы). Полоса в аргументе мгновенной вероятности относится к условной вероятности. Уравнение диффузии утверждает, что скорость изменения во времени вероятности обнаружения частицы ${displaystyle x (t)}$ положение зависит от замедления на расстоянии с такой вероятностью в этом положении.

Можно показать, что одномерная PDF

${displaystyle p (x, t; x_ {0}) = {frac {1} {sqrt {4pi Dt}}} exp left (- {frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {4Dt} } ight).}$

Это говорит о том, что вероятность нахождения частицы на ${displaystyle x (t)}$ является гауссовым, а ширина гауссиана зависит от времени. В частности, полная ширина на половине максимума (FWHM) - технически это на самом деле полная Продолжительность на половине максимума, поскольку независимой переменной является время - масштаб, подобный

${displaystyle {m {FWHM}} sim {sqrt {t}}.}$

Используя PDF, можно получить среднее значение заданной функции, ${displaystyle L}$, вовремя ${displaystyle t}$:

${displaystyle langle L (t) Angle Equiv int _ {- infty} ^ {infty} L (x, t) p (x, t), dx,}$

где среднее значение берется по всему пространству (или любой применимой переменной).

В Плотность времени первого прохождения (FPTD) - вероятность того, что частица первый достиг точки ${displaystyle x_ {c}}$ в точное время ${displaystyle t}$ (не в какой-то момент в интервале до ${displaystyle t}$). Эта плотность вероятности вычисляется из Вероятность выживания (более распространенная мера вероятности в статистике). Рассмотрим поглощающее граничное условие ${displaystyle p (x_ {c}, t) = 0}$ (Индекс c для точки поглощения ${displaystyle x_ {c}}$ это сокращение от Утес используется во многих текстах как аналог точки поглощения). PDF, удовлетворяющий этому граничному условию, определяется выражением

${displaystyle p (x, t; x_ {0}, x_ {c}) = {frac {1} {sqrt {4pi Dt}}} влево (exp left (- {frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {4Dt}} ight) -exp left (- {frac {(x- (2x_ {c} -x_ {0})) ^ {2}} {4Dt}} ight) ight),}$

за ${displaystyle x$.Вероятность выживания, вероятность того, что частица осталась на месте. ${displaystyle x$ на все времена до ${displaystyle t}$, дан кем-то

${displaystyle S (t) Equiv int _ {- infty} ^ {x_ {c}} p (x, t; x_ {0}, x_ {c}), dx = operatorname {erf} left ({frac {x_ { c} -x_ {0}} {2 {sqrt {Dt}}}} ight),}$

куда ${displaystyle operatorname {erf}}$ это функция ошибки. Связь между вероятностью выживания и FPTD следующая: вероятность того, что частица достигла точки поглощения между временами ${displaystyle t}$ и ${displaystyle t + dt}$ является ${displaystyle f (t), dt = S (t) -S (t + dt)}$. Если использовать приближение Тейлора первого порядка, определение FPTD следует):

${displaystyle f (t) = - {frac {partial S (t)} {partial t}}.}$

Используя уравнение диффузии и интегрирование, явный FPTD имеет вид

${displaystyle f (t) Equiv {frac {| x_ {c} -x_ {0} |} {sqrt {4pi Dt ^ {3}}}} exp left (- {frac {(x_ {c} -x_ {0) }) ^ {2}} {4Dt}} ight).}$

Таким образом, время первого прохождения броуновской частицы следует за Распределение Леви.

За ${displaystyle tgg {frac {(x_ {c} -x_ {0}) ^ {2}} {4D}}}$, из вышесказанного следует, что

${displaystyle f (t) = {frac {Delta x} {sqrt {4pi Dt ^ {3}}}} sim t ^ {- 3/2},}$

куда ${displaystyle Delta xequiv | x_ {c} -x_ {0} |}$. Это уравнение гласит, что вероятность того, что броуновская частица совершит первый проход в течение некоторого длительного времени (определенного в параграфе выше), становится все меньше и меньше, но всегда конечный.

Первый момент FPTD расходится (так называемый хвостатый распределения), поэтому нельзя вычислить среднее FPT, поэтому вместо этого можно вычислить типичный time, время, когда FPTD находится на максимуме (${displaystyle partial f / partial t = 0}$), т.е.

${displaystyle au _ {m {ty}} = {frac {Delta x ^ {2}} {6D}}.}$

Приложения с первыми ударами во многих семействах случайных процессов

Время первого срабатывания является центральным элементом многих семейств случайных процессов, включая Пуассоновские процессы, Винеровские процессы, гамма-процессы, и Цепи Маркова, чтобы назвать лишь некоторые из них. Состояние стохастического процесса может представлять, например, силу физической системы, здоровье человека или финансовое состояние коммерческой фирмы. Когда процесс впервые достигает порогового состояния, система, частное лицо или фирма выходит из строя или испытывает другую критическую конечную точку. Критическим событием может быть неблагоприятное событие (например, отказ оборудования, сердечная недостаточность или рак легких) или положительное событие (например, восстановление после болезни, выписка из больницы, рождение ребенка или возвращение к работе после травмы). Время, прошедшее до наступления этого критического события, обычно интерпретируется как «время выживания». В некоторых приложениях порог представляет собой набор из нескольких состояний, поэтому для достижения первого порога в наборе учитываются конкурирующие времена первого попадания, как это имеет место при рассмотрении конкурирующих причин отказа оборудования или смерти пациента.

Пороговая регрессия: регрессия первого попадания

Практическое применение теоретических моделей для определения времени первого срабатывания часто связано с регресс конструкции. Когда модели времени первого обращения оснащены регрессионными структурами, содержащими ковариативные данные, мы называем такую ​​регрессионную структуру пороговая регрессия.^[11] Пороговое состояние, параметры процесса и даже временной масштаб могут зависеть от соответствующих ковариат. Пороговая регрессия применительно к данным о времени до события появилась с начала этого века и быстро растет, как описано в обзорной статье 2006 года. ^[12] и его ссылки. Связь между пороговыми моделями регрессии, полученными на основе времени первого попадания, и повсеместной регрессионной моделью пропорциональных рисков Кокса ^[13] был исследован в.^[14] Применение пороговой регрессии распространяется во многих областях, включая физические и естественные науки, инженерию, социальные науки, экономику и бизнес, сельское хозяйство, здравоохранение и медицину.^{[15][16][17][18][19]}

Скрытый против наблюдаемого

Во многих реальных приложениях модель первого удара (FHT) состоит из трех основных компонентов: (1) родительский случайный процесс ${displaystyle {X (t)} ,,}$, который может быть скрытым, (2) a порог (или барьер) и (3) a шкала времени. Время первого достижения определяется как время, когда случайный процесс впервые достигает порога. Очень важно различать, является ли путь выборки родительского процесса скрытым (т. Е. Ненаблюдаемым) или наблюдаемым, и такое различие является характеристикой модели FHT. Безусловно, наиболее распространены скрытые процессы. В качестве примера мы можем использовать винеровский процесс ${displaystyle {X (t), tgeq 0,},}$ как родительский случайный процесс. Такой винеровский процесс можно определить с помощью среднего параметра ${displaystyle {mu} ,,}$, параметр дисперсии ${displaystyle {sigma ^ {2}} ,,}$, а начальное значение ${displaystyle X (0) = x_ {0}> 0,}$.

Операционная или аналитическая шкала времени

Временной масштаб стохастического процесса может быть календарным или часовым временем или какой-либо другой оперативной мерой изменения времени, такой как пробег автомобиля, накопленный износ компонентов машины или накопленное воздействие токсичных паров. Во многих приложениях стохастический процесс, описывающий состояние системы, является скрытым или ненаблюдаемым, и его свойства должны выводиться косвенно из цензурированных данных о времени до события и / или показаний, снятых с течением времени для коррелированных процессов, таких как процессы маркеров. Слово «регрессия» в пороговой регрессии относится к моделям первого обращения, в которых одна или несколько регрессионных структур вставляются в модель, чтобы связать параметры модели с независимыми переменными или ковариатами. Параметры, заданные регрессионными структурами, могут быть параметрами случайного процесса, пороговым состоянием и / или самой шкалой времени.

Смотрите также

• Анализ выживаемости
• Модели пропорциональных опасностей

Рекомендации

• Уитмор, Г. А. (1986). «Модели времени первого прохождения для структур регрессии данных продолжительности и конкурирующих рисков». Статистик. 35: 207–219. Дои:10.2307/2987525. JSTOR  2987525.
• Уитмор, Г. А. (1995). «Оценка деградации процесса диффузии Винера с учетом ошибки измерения». Анализ данных за все время. 1 (3): 307–319. Дои:10.1007 / BF00985762.
• Whitmore, G.A .; Краудер, М. Дж .; Лоулесс, Дж. Ф. (1998). «Вывод о неудаче из процесса маркера на основе двумерной модели Винера». Анализ данных за все время. 4 (3): 229–251. Дои:10.1023 / А: 1009617814586.
• Реднер, С. (2001). Руководство по процессам первого прохождения. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-65248-0.
• Ли, М.-Л. Т .; Уитмор, Г. А. (2006). «Пороговая регрессия для анализа выживаемости: моделирование времени событий с помощью стохастического процесса». Статистическая наука. 21 (4): 501–513. arXiv:0708.0346. Дои:10.1214/088342306000000330.
• Башелье, Л. (1900). "Теория де ла Спекуляция". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 3 (17): 21–86.
• Шредингер, Э. (1915). "Zur Theorie der Fall-und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung". Physikalische Zeitschrift. 16: 289–295.
• Смолуховский, М. В. (1915). "Notiz über die Berechning der Brownschen Molkularbewegung bei des Ehrenhaft-millikanchen Versuchsanordnung". Physikalische Zeitschrift. 16: 318–321.
• Лундберг, Ф. (1903). Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker. Альмквист и Викселл, Упсала.
• Твиди, М. К. К. (1945). «Обратные статистические переменные». Природа. 155: 453. Bibcode:1945Натура.155..453Т. Дои:10.1038 / 155453a0.
• Твиди, М. К. К. (1957). «Статистические свойства обратных гауссовских распределений - I». Анналы математической статистики. 28: 362–377. Дои:10.1214 / aoms / 1177706964.
• Твиди, М. К. К. (1957). «Статистические свойства обратных гауссовских распределений - II». Анналы математической статистики. 28: 696–705. Дои:10.1214 / aoms / 1177706881.
• Whitmore, G.A .; Нойфельдт, А. Х. (1970). «Применение статистических моделей в исследованиях психического здоровья». Бык. Математика. Биофизы. 32: 563–579.
• Ланкастер, Т. (1972). «Стохастическая модель на время забастовки». Дж. Рой. Статист. Soc. Сер. А. 135: 257–271.
• Кокс, Д. Р. (1972). «Регрессионные модели и таблицы дожития (с обсуждением)». J R Stat Soc Ser B. 187: 187–230.
• Ли, М.-Л. Т .; Уитмор, Г. А. (2010). «Пороговые пропорциональные опасности и пороговая регрессия: их теоретическая и практическая связь». Анализ данных за все время. 16: 196–214. Дои:10.1007 / s10985-009-9138-0. ЧВК  6447409. PMID  19960249.
• Aaron, S.D .; Ramsay, T .; Vandemheen, K .; Уитмор, Г. А. (2010). «Модель пороговой регрессии для рецидивирующих обострений хронической обструктивной болезни легких». Журнал клинической эпидемиологии. 63: 1324–1331. Дои:10.1016 / j.jclinepi.2010.05.007.
• Chambaz, A .; Чоудат, Д .; Huber, C .; Pairon, J .; Ван дер Ланн, М. Дж. (2014). «Анализ профессионального воздействия асбеста на основе моделирования пороговой регрессии данных случай-контроль». Биостатистика. 15: 327–340. Дои:10.1093 / биостатистика / kxt042.
• Aaron, S.D .; Stephenson, A. L .; Cameron, D.W .; Уитмор, Г.А. (2015). «Статистическая модель для прогнозирования однолетнего риска смерти у пациентов с муковисцидозом». Журнал клинической эпидемиологии. 68: 1336–1345. Дои:10.1016 / j.jclinepi.2014.12.010.
• Он, X .; Whitmore, G.A .; Loo, G. Y .; Hochberg, M.C .; Ли, М.-Л. Т. (2015). «Модель времени до перелома с ударным потоком, наложенным на прогрессирующую деградацию: исследование остеопоротических переломов». Статистика в медицине. 34: 652–663. Дои:10.1002 / sim.6356. ЧВК  4314426. PMID  25376757.
• Hou, W.-H .; Chuang, H.-Y .; Ли, М.-Л. Т. (2016). «Модель пороговой регрессии для прогнозирования возвращения к работе после травмы конечности». Травма, повреждение. 47: 483–489. Дои:10.1016 / j.injury.2015.11.032.