Тест Вальда - Wald test

В статистика, то Тест Вальда (названный в честь Авраам Вальд ) оценивает ограничения на статистические параметры на основе взвешенного расстояния между неограниченная оценка и его предполагаемое значение при нулевая гипотеза, где вес точность оценки.^[1][2] Интуитивно понятно, что чем больше это взвешенное расстояние, тем меньше вероятность того, что ограничение истинно. В то время конечные выборочные распределения тестов Вальда вообще неизвестны,^[3] он имеет асимптотику χ²-распространение при нулевой гипотезе факт, который можно использовать для определения Статистическая значимость.^[4]

Вместе с Множитель Лагранжа и критерий отношения правдоподобия, тест Вальда - один из трех классических подходов к проверка гипотезы. Преимущество теста Вальда перед двумя другими заключается в том, что он требует только оценки неограниченной модели, что снижает вычислительная нагрузка по сравнению с тестом отношения правдоподобия. Однако основным недостатком является то, что (в конечных выборках) он не инвариантен к изменениям в представлении нулевой гипотезы; другими словами, алгебраически эквивалентные выражения ограничения нелинейного параметра могут привести к разным значениям тестовой статистики.^[5][6] Это потому, что статистика Вальда выводится из Расширение Тейлора,^[7] а различные способы записи эквивалентных нелинейных выражений приводят к нетривиальным различиям в соответствующих коэффициентах Тейлора.^[8] Другая аберрация, известная как эффект Хаука – Доннера, может возникать в биномиальные модели когда оцениваемый (безусловный) параметр близок к граница из пространство параметров - например, подобранная вероятность очень близка к нулю или единице - в результате чего тест Вальда больше не монотонно возрастающий в расстоянии между параметром без ограничений и параметром ограничения.^[9][10]

Математические детали

По тесту Вальда оценочная ${ displaystyle { hat { theta}}}$ это было найдено как максимизация аргумента неограниченного функция правдоподобия сравнивается с предполагаемым значением ${ displaystyle theta _ {0}}$. В частности, квадрат разности ${ displaystyle { hat { theta}} - theta _ {0}}$ взвешивается по кривизне функции логарифмического правдоподобия.

Тест по одному параметру

Если гипотеза включает ограничение только на один параметр, то статистика Вальда принимает следующий вид:

${ displaystyle W = { frac {({ widehat { theta}} - theta _ {0}) ^ {2}} { operatorname {var} ({ hat { theta}})}}}$

которое при нулевой гипотезе следует асимптотике χ²-распределение с одной степенью свободы. Квадратный корень из статистики Вальда с одним ограничением можно понимать как (псевдо) т-отношение это, однако, не совсем т-распределенный за исключением особого случая линейной регрессии с нормально распределенный ошибки.^[11] В общем случае следует асимптотика z распространение.^[12]

${ displaystyle { sqrt {W}} = { frac {{ widehat { theta}} - theta _ {0}} { operatorname {se} ({ hat { theta}})}}}$

где ${ displaystyle operatorname {se} ({ widehat { theta}})}$ это стандартная ошибка оценки максимального правдоподобия (MLE), квадратного корня из дисперсии. Есть несколько способов последовательно оценивать то матрица отклонений что в конечных выборках приводит к альтернативным оценкам стандартных ошибок и связанной с ними тестовой статистики и п-ценности.^[13]

Тест (ы) по нескольким параметрам

Тест Вальда можно использовать для проверки одной гипотезы по нескольким параметрам, а также для совместной проверки нескольких гипотез по одному / нескольким параметрам. Позволять ${ displaystyle { hat { theta}} _ {n}}$ наша выборочная оценка параметров P (т. е. ${ displaystyle { hat { theta}} _ {n}}$ это P ${ displaystyle times}$ 1 вектор), который должен асимптотически следовать нормальному распределению с ковариационная матрица V, ${ displaystyle { sqrt {n}} ({ hat { theta}} _ {n} - theta) { xrightarrow { mathcal {D}}} N (0, V)}$.Проверка гипотез Q о параметрах P выражается с помощью Q ${ displaystyle times}$ P матрица R:

${ displaystyle H_ {0}: R theta = r}$

${ displaystyle H_ {1}: R theta neq r}$

Статистика теста:

${ displaystyle (R { hat { theta}} _ {n} -r) ^ {'} [R ({ hat {V}} _ {n} / n) R ^ {'}] ^ {- 1} (R { hat { theta}} _ {n} -r) quad { xrightarrow { mathcal {D}}} quad chi _ {Q} ^ {2}}$

где ${ displaystyle { hat {V}} _ {n}}$ является оценкой ковариационной матрицы.^[14]

Нелинейная гипотеза

В стандартной форме тест Вальда используется для проверки линейных гипотез, которые могут быть представлены одной матрицей R. Если кто-то желает проверить нелинейную гипотезу формы:

${ displaystyle H_ {0}: с ( theta) = 0}$

${ displaystyle H_ {1}: с ( theta) neq 0}$

Статистика теста становится:

${ displaystyle c left ({ hat { theta}} _ {n} right) ' left [c' left ({ hat { theta}} _ {n} right) left ({ hat {V}} _ {n} / n right) c ' left ({ hat { theta}} _ {n} right)' right] ^ {- 1} c left ({ шляпа { theta}} _ {n} right) quad { xrightarrow { mathcal {D}}} quad chi _ {Q} ^ {2}}$

где ${ Displaystyle с '({ шляпа { theta}} _ {п})}$ это производная of c оценивается в оценщике выборки. Этот результат получен с использованием дельта-метод, в котором используется первое приближение дисперсии.

Неинвариантность к повторным параметризациям

Тот факт, что кто-то использует аппроксимацию дисперсии, имеет недостаток, заключающийся в том, что статистика Вальда не инвариантна по отношению к нелинейному преобразованию / репараметризации гипотезы: она может давать разные ответы на один и тот же вопрос, в зависимости от того, как вопрос сформулирован. .^[15][5] Например, спрашивая, р = 1 - это то же самое, что спросить,р = 0; но статистика Вальда для р = 1 не то же самое, что статистика Вальда для журналар = 0 (потому что, как правило, нет четкой связи между стандартными ошибками р и журналр, поэтому его нужно приблизить).^[16]

Альтернативы тесту Вальда

Существует несколько альтернатив тесту Вальда, а именно: критерий отношения правдоподобия и Тест множителя Лагранжа (также известный как оценочный тест). Роберт Ф. Энгл показали, что эти три теста, тест Вальда, критерий отношения правдоподобия и Тест множителя Лагранжа находятся асимптотически эквивалентный.^[17] Хотя они асимптотически эквивалентны, в конечных выборках они могут достаточно расходиться, чтобы привести к различным выводам.

Есть несколько причин, чтобы предпочесть тест отношения правдоподобия или множитель Лагранжа тесту Вальда:^[18][19][20]

• Неинвариантность: как указывалось выше, тест Вальда не инвариантен к репараметризации, тогда как тесты отношения правдоподобия дадут точно такой же ответ, работаем ли мы с р, журналр или любой другой монотонный преобразованиер.^[5]
• Другая причина заключается в том, что в тесте Вальда используются два приближения (мы знаем стандартную ошибку и что распределение χ² ), тогда как в тесте отношения правдоподобия используется одно приближение (распределение χ²).^{[нужна цитата ]}
• Тест Вальда требует оценки альтернативной гипотезы, соответствующей «полной» модели. В некоторых случаях модель проще при нулевой гипотезе, поэтому можно предпочесть использовать оценка теста (также называемый тестом множителя Лагранжа), преимущество которого состоит в том, что его можно сформулировать в ситуациях, когда вариативность трудно оценить; например то Тест Кокрана – Мантеля – Хензеля это оценочный тест.^[21]

Смотрите также

• Чау-тест
• Тест последовательного отношения вероятностей
• Тест Суп-Вальда
• Ученики т-тестовое задание
• Велча т-тестовое задание

использованная литература

дальнейшее чтение

• Грин, Уильям Х. (2012). Эконометрический анализ (Седьмое международное изд.). Бостон: Пирсон. стр.155 –161. ISBN  978-0-273-75356-8.
• Кмента, Ян (1986). Элементы эконометрики (Второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр.492–493. ISBN  0-02-365070-2.
• Томас, Р. Л. (1993). Вводная эконометрика: теория и применение (Второе изд.). Лондон: Лонгман. С. 73–77. ISBN  0-582-07378-2.

внешние ссылки

• Тест Вальда на Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики