Асимптотическое распределение - Asymptotic distribution

В математика и статистика, асимптотическое распределение это распределение вероятностей это в некотором смысле «ограничивающее» распределение последовательности распределений. Одним из основных применений идеи асимптотического распределения является обеспечение приближения к кумулятивные функции распределения статистических оценщики.

Определение

Последовательность распределений соответствует последовательность из случайные переменные Z_я за я = 1, 2, ..., I. В простейшем случае асимптотическое распределение существует, если распределение вероятностей Z_я сходится к распределению вероятностей (асимптотическому распределению) как я увеличивается: см. конвергенция в распределении. Частный случай асимптотического распределения - это когда последовательность случайных величин всегда равна нулю или Z_я = 0 как я приближается к бесконечности. Здесь асимптотическое распределение есть вырожденное распределение, соответствующее нулевому значению.

Однако наиболее обычный смысл использования термина асимптотическое распределение возникает там, где случайные величины Z_я изменяются двумя последовательностями неслучайных значений. Таким образом, если

${ displaystyle Y_ {i} = { frac {Z_ {i} -a_ {i}} {b_ {i}}}}$

сходится по распределению к невырожденному распределению для двух последовательностей {а_я} и {б_я} тогда Z_я считается, что это распределение является его асимптотическим распределением. Если функция распределения асимптотического распределения равна F затем для больших п, справедливы следующие приближения

${ displaystyle P left ({ frac {Z_ {n} -a_ {n}} {b_ {n}}} leq x right) приблизительно F (x),}$

${ Displaystyle P (Z_ {n} leq z) приблизительно F left ({ frac {z-a_ {n}} {b_ {n}}} right).}$

Если существует асимптотическое распределение, не обязательно верно, что любой результат последовательности случайных величин является сходящейся последовательностью чисел. Сходится последовательность вероятностных распределений.

Центральная предельная теорема

Возможно, наиболее распространенным распределением, которое возникает как асимптотическое распределение, является нормальное распределение. В частности, Центральная предельная теорема дает пример, где асимптотическое распределение является нормальное распределение.

Центральная предельная теорема

Предполагать {Икс₁, Икс₂, ...} - последовательность i.i.d. случайные величины с E [Икс_я] = µ и Var [Икс_я] = σ² <∞. Позволять S_п быть средним из {Икс₁, ..., Икс_п}. Тогда как п стремится к бесконечности, случайные величины √п(S_п - µ) сходиться в распределении к нормальный N(0, σ²):^[1]

Центральная предельная теорема дает только асимптотическое распределение. В качестве приближения для конечного числа наблюдений оно обеспечивает разумное приближение только тогда, когда оно близко к пику нормального распределения; требуется очень большое количество наблюдений, чтобы простираться до хвоста.

Локальная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность - это обобщение центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистические модели, что позволяет асимптотически аппроксимировать эту последовательность модель нормального местоположения, после изменения масштаба параметра. Важный пример, когда выполняется локальная асимптотическая нормальность, - это случай независимые и одинаково распределенные выборка из регулярная параметрическая модель; это просто центральная предельная теорема.

Барндорф-Нильсон и Кокс дают прямое определение асимптотической нормальности.^[2]

Смотрите также

• Асимптотический анализ
• Асимптотическая теория (статистика)
• Теорема де Муавра – Лапласа
• Предельная плотность дискретных точек
• Дельта-метод

Рекомендации