Ограничение (математика) - Constraint (mathematics)

В математика, а ограничение это условие оптимизация проблема, которой должно удовлетворять решение. Есть несколько типов ограничений, в первую очередь равенство ограничения, неравенство ограничения и целочисленные ограничения. Набор возможные решения удовлетворяющие всем ограничениям, называется возможный набор.^[1]

Пример

Ниже приводится простая задача оптимизации:

{displaystyle min f (mathbf {x}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {4}}

при условии

{displaystyle x_ {1} geq 1}

и

{displaystyle x_ {2} = 1,}

куда ${displaystyle mathbf {x}}$ обозначает вектор (x₁, Икс₂).

В этом примере первая строка определяет минимизируемую функцию (называемую целевая функция, функция потерь или функция стоимости). Вторая и третья строки определяют два ограничения, первое из которых является ограничением неравенства, а второе - ограничением равенства. Эти два ограничения жесткие ограничения, то есть требуется, чтобы они были удовлетворены; они определяют возможный набор возможных решений.

Без ограничений решение было бы (0,0), где ${displaystyle f (mathbf {x})}$ имеет самое низкое значение. Но это решение не удовлетворяет ограничениям. Решение ограниченная оптимизация указанная выше проблема ${displaystyle mathbf {x} = (1,1)}$ , то есть точка с наименьшим значением ${displaystyle f (mathbf {x})}$ который удовлетворяет двум ограничениям.

Терминология

Если выполняется ограничение неравенства с равенство в оптимальной точке ограничение называется привязка, как точка не можешь изменяться в направлении ограничения, даже если это улучшит значение целевой функции.
Если ограничение неравенства выполняется как строгое неравенство в оптимальной точке (т. е. не выполняется с равенством) ограничение называется необязательный, как точка мог варьироваться в направлении ограничения, хотя это было бы не оптимально. При определенных условиях, как, например, при выпуклой оптимизации, если ограничение не является обязательным, проблема оптимизации будет иметь такое же решение даже в отсутствие этого ограничения.
Если ограничение не выполняется в данной точке, точка называется невыполнимый.

Жесткие и мягкие ограничения

Если проблема требует, чтобы ограничения были удовлетворены, как в вышеупомянутом обсуждении, ограничения иногда упоминаются как жесткие ограничения. Однако в некоторых задачах, называемых проблемы удовлетворения гибких ограничений, предпочтительно, но не обязательно, чтобы выполнялись определенные ограничения; такие необязательные ограничения известны как мягкие ограничения. Мягкие ограничения возникают, например, в планирование на основе предпочтений. В MAX-CSP В задаче допускается нарушение ряда ограничений, а качество решения измеряется количеством выполненных ограничений.

Глобальные ограничения

Глобальные ограничения^[2] являются ограничениями, представляющими конкретное отношение к ряду переменных, взятых вместе. Некоторые из них, например все по-разному ограничение, может быть переписано как соединение атомарных ограничений на более простом языке: все по-разному ограничение держится на п переменные ${displaystyle x_ {1} ... x_ {n}}$ , и выполняется, если переменные принимают значения, которые попарно различны. Он семантически эквивалентен конъюнкции неравенств ${displaystyle x_ {1} eq x_ {2}, x_ {1} eq x_ {3} ..., x_ {2} eq x_ {3}, x_ {2} eq x_ {4} ... x_ {n -1} экв. X_ {n}}$ . Другие глобальные ограничения расширяют выразительность структуры ограничений. В этом случае они обычно фиксируют типичную структуру комбинаторных задач. Например, обычный ограничение выражает, что последовательность переменных принимается детерминированный конечный автомат.

Используются глобальные ограничения^[3] упростить моделирование проблемы удовлетворения ограничений, чтобы расширить выразительность языков ограничений, а также улучшить разрешение ограничений: действительно, рассматривая все переменные вместе, недопустимые ситуации можно увидеть раньше в процессе решения. Многие глобальные ограничения упоминаются в онлайн-каталог.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Beveridge, Gordon S.G .; Шехтер, Роберт С. (1970). «Основные возможности оптимизации». Оптимизация: теория и практика. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 5–8. ISBN 0-07-005128-3.

внешняя ссылка

[1] Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п.61. ISBN 0-521-31498-4.

[2] Росси, Франческа; Ван Бик, Питер; Уолш, Тоби (2006). «7». Справочник по программированию в ограничениях (1-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 9780080463643. OCLC 162587579.

[3] Росси, Франческа (2003). Принципы и практика программирования ограничений CP 2003 00: 9-я Международная конференция, CP 2003, Кинсейл, Ирландия, 29 сентября 3 октября 2003 г. Протоколы. Берлин: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 9783540451938. OCLC 771185146.

[1]

[2]

[3]