Плоскость вращения

В геометрия, а плоскость вращения абстрактный объект, используемый для описания или визуализации вращения в космосе. В три измерения это альтернатива ось вращения, но в отличие от оси вращения его можно использовать в других измерениях, например два, четыре или больше размеров.

Математически такие плоскости можно описать разными способами. Их можно описать с точки зрения самолеты и углы поворота. Они могут быть связаны с бивекторы из геометрическая алгебра. Они связаны с собственные значения и собственные векторы из матрица вращения. И в частности размеры они связаны с другими алгебраическими и геометрическими свойствами, которые затем могут быть обобщены на другие измерения.

Плоскости вращения мало используются в двух и трех измерениях, поскольку в двух измерениях есть только одна плоскость, поэтому определение плоскости вращения тривиально и редко выполняется, в то время как в трех измерениях ось вращения служит той же цели и тем более установленный подход. В основном они используются для описания более сложных вращений в высшие измерения, где их можно использовать для разбивки поворотов на более простые части. Это можно сделать с помощью геометрическая алгебра, с плоскостями вращения, связанными с простые бивекторы в алгебре.^[1]

Определения

Самолет

В этой статье все самолеты самолеты через источник, то есть они содержат нулевой вектор. Такой самолет в $п$ -мерное пространство является двумерным линейное подпространство пространства. Он полностью определяется любыми двумя ненулевыми и непараллельными векторами, лежащими в плоскости, то есть любыми двумя векторами $а$ и $б$ , так что

{ Displaystyle mathbf {а} клин mathbf {b} neq 0,}

куда $\land$ это внешний продукт от внешняя алгебра или же геометрическая алгебра (в трех измерениях перекрестное произведение может быть использован). Точнее количество $а \land б$ это бивектор, связанный с плоскостью, заданной $а$ и $б$ , и имеет величину $| а | | б | грех φ$ , куда $φ$ - угол между векторами; отсюда требование, чтобы векторы были ненулевыми и непараллельными.^[2]

Если бивектор $а \land б$ написано $B$ , то условие, что точка лежит на плоскости, связанной с $B$ просто^[3]

{ displaystyle mathbf {x} wedge mathbf {B} = 0.}

Это верно во всех измерениях и может быть принято как определение на плоскости. В частности, по свойствам внешнего вида продукт удовлетворяет как $а$ и $б$ , а значит, любым вектором вида

{ displaystyle mathbf {c} = lambda mathbf {a} + mu mathbf {b},}

с $λ$ и $μ$ действительные числа. В качестве $λ$ и $μ$ диапазон по всем действительным числам, $c$ распространяется по всей плоскости, поэтому это можно рассматривать как другое определение плоскости.

А плоскость вращения для конкретного вращение это самолет, который нанесенный на карту к себе вращением. Плоскость не является фиксированной, но все векторы в плоскости отображаются на другие векторы в той же плоскости посредством вращения. Это преобразование плоскости в себя всегда представляет собой поворот вокруг начала координат на угол, который является угол поворота для самолета.

Каждый оборот, кроме личность вращение (с матрицей единичная матрица ) имеет хотя бы одну плоскость вращения, и до

{ displaystyle left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor}

плоскости вращения, где $п$ это измерение. Максимальное количество плоскостей до восьми размеров показано в этой таблице:

Измерение	2	3	4	5	6	7	8
Количество самолетов	1	1	2	2	3	3	4

Когда вращение имеет несколько плоскостей вращения, они всегда ортогональный друг к другу, имея общее только происхождение. Это более сильное условие, чем сказать, что самолеты находятся на прямые углы; вместо этого это означает, что плоскости не имеют общих ненулевых векторов и что каждый вектор в одной плоскости ортогонален каждому вектору в другой плоскости. Это может происходить только в четырех или более измерениях. В двух измерениях существует только одна плоскость, в то время как в трех измерениях все плоскости имеют по крайней мере один общий ненулевой вектор вдоль их линия пересечения.^[4]

В более чем трех измерениях плоскости вращения не всегда уникальны. Например, негатив единичная матрица в четырех измерениях ( центральная инверсия ),

{ displaystyle { begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {pmatrix}},}

описывает вращение в четырех измерениях, в котором каждая плоскость, проходящая через начало координат, является плоскостью вращения на угол $π$ , поэтому любая пара ортогональных плоскостей генерирует вращение. Но для общего вращения по крайней мере теоретически возможно идентифицировать уникальный набор ортогональных плоскостей, в каждой из которых точки повернуты на угол, так что набор плоскостей и углов полностью характеризует вращение.^[5]

Два измерения

В двумерное пространство есть только одна плоскость вращения, плоскость самого пространства. В Декартова система координат это декартова плоскость, в сложные числа это комплексная плоскость. Следовательно, любое вращение касается всей плоскости, то есть пространства, сохраняя только источник фиксированный. Он полностью определяется указанным углом поворота, например в диапазоне - $π$ к $π$ . Итак, если угол $θ$ вращение в комплексной плоскости определяется выражением Формула Эйлера:

{ Displaystyle е ^ {я тета} = соз { тета} + я грех { тета}, ,}

в то время как вращение в декартовой плоскости задается 2 × 2 матрица вращения:^[6]

{ displaystyle { begin {pmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {pmatrix}}.}

Три измерения

Трехмерное вращение с осью вращения вдоль

z

-оси и плоскости вращения в

ху

-самолет

В трехмерное пространство существует бесконечное количество плоскостей вращения, только одна из которых участвует в любом данном вращении. То есть для общего вращения существует ровно одна плоскость, которая связана с ним или в которой происходит вращение. Единственным исключением является тривиальное вращение, соответствующее единичной матрице, в котором вращения не происходит.

В любом вращении в трех измерениях всегда есть фиксированная ось, ось вращения. Вращение можно описать, задав для этой оси угол, на который вращение поворачивается вокруг нее; это угол оси представление вращения. Плоскость вращения - это плоскость, ортогональная этой оси, поэтому ось представляет собой нормальная поверхность самолета. Затем вращение поворачивает эту плоскость на тот же угол, что и она вращается вокруг оси, то есть все в плоскости вращается на тот же угол относительно начала координат.

Один пример показан на диаграмме, где вращение происходит вокруг $z$ -ось. Плоскость вращения - это $ху$ -плоскость, поэтому все в этой плоскости удерживается в плоскости вращением. Это можно описать с помощью матрицы, подобной следующей, с поворотом на угол $θ$ (относительно оси или в плоскости):

{ displaystyle { begin {pmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}.}

Земля показывает свою ось и плоскость вращения, как склонный относительно плоскости и перпендикуляра Орбита Земли

Другой пример - Вращение Земли. Ось вращения - это линия, соединяющая Северный полюс и Южный полюс а плоскость вращения - это плоскость, проходящая через экватор между Северный и Южный Полушария. Другие примеры включают механические устройства, такие как гироскоп или же маховик какой магазин вращательная энергия по массе обычно по плоскости вращения.

В любом трехмерном вращении плоскость вращения определяется однозначно. Вместе с углом поворота он полностью описывает поворот. Или в непрерывно вращающемся объекте свойства вращения, такие как скорость вращения, могут быть описаны в терминах плоскости вращения. Она перпендикулярна оси вращения и, таким образом, определяется ею, поэтому любое описание вращения в терминах плоскости вращения может быть описано в терминах оси вращения, и наоборот. Но в отличие от оси вращения плоскость обобщается в другие, в частности, более высокие измерения.^[7]

Четыре измерения

Общая ротация в четырехмерное пространство имеет только одну фиксированную точку - начало координат. Следовательно, ось вращения не может использоваться в четырех измерениях. Но можно использовать плоскости вращения, и каждое нетривиальное вращение в четырех измерениях имеет одну или две плоскости вращения.

Простые вращения

Вращение только с одной плоскостью вращения является простое вращение. В простом вращении есть фиксированная плоскость, и можно сказать, что вращение происходит вокруг этой плоскости, поэтому точки, когда они вращаются, не меняют своего расстояния от этой плоскости. Плоскость вращения ортогональна этой плоскости, и можно сказать, что вращение происходит в этой плоскости.

Например, следующая матрица исправляет $ху$ -plane: точки в этой плоскости и только в этой плоскости не изменяются. Плоскость вращения - это $zw$ -плоскость, точки в этой плоскости повернуты на угол $θ$ . Общая точка вращается только в $zw$ -самолет, то есть он вращается вокруг $ху$ -самолет, изменив только его $z$ и $ш$ координаты.

{ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & cos theta & - sin theta 0 & 0 & sin theta & cos theta end {pmatrix}}}

В двух и трех измерениях все вращения просты, поскольку имеют только одну плоскость вращения. Только в четырех и более измерениях есть вращения, которые не являются простыми вращениями. В частности, в четырех измерениях также существуют двойные и изоклинические вращения.

Двойные вращения

В двойное вращение есть две плоскости вращения, неподвижных плоскостей нет, и единственная фиксированная точка - это начало координат. Можно сказать, что вращение происходит в обеих плоскостях вращения, поскольку точки в них вращаются внутри плоскостей. Эти плоскости ортогональны, то есть у них нет общих векторов, поэтому каждый вектор в одной плоскости находится под прямым углом к каждому вектору в другой плоскости. Две плоскости вращения охватывают четырехмерное пространство, поэтому каждая точка в пространстве может быть указана двумя точками, по одной на каждой из плоскостей.

Двойное вращение имеет два угла поворота, по одному для каждой плоскости вращения. Вращение задается двумя плоскостями и двумя ненулевыми углами, $α$ и $β$ (если любой из углов равен нулю, поворот выполняется просто). Точки в первой плоскости вращаются на $α$ , а точки во второй плоскости поворачиваются на $β$ . Все остальные точки поворачиваются на угол между $α$ и $β$ , поэтому в некотором смысле они вместе определяют величину вращения. Для обычного двойного вращения плоскости вращения и углы уникальны, и для общего вращения они могут быть рассчитаны. Например, поворот $α$ в $ху$ -самолет и $β$ в $zw$ -плоскость задается матрицей

{ displaystyle { begin {pmatrix} cos alpha & - sin alpha & 0 & 0 sin alpha & cos alpha & 0 & 0 0 & 0 & cos beta & - sin beta 0 & 0 & sin beta & cos beta end {pmatrix}}.}

Изоклинические вращения

Проекция тессеракт с изоклинным вращением.

Частный случай двойного вращения - это когда углы равны, то есть если $α = β \neq 0$ . Это называется изоклиническое вращение, и он отличается от обычного двойного вращения во многих отношениях. Например, при изоклиническом вращении все ненулевые точки вращаются на один и тот же угол, $α$ . Самое главное, плоскости вращения не идентифицируются однозначно. Вместо этого существует бесконечное количество пар ортогональных плоскостей, которые можно рассматривать как плоскости вращения. Например, можно взять любую точку, и плоскость, в которой она вращается, вместе с плоскостью, ортогональной ей, можно использовать как две плоскости вращения.^[8]

Высшие измерения

Как уже отмечалось, максимальное количество плоскостей вращения в $п$ размеры

{ displaystyle left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor,}

поэтому сложность быстро увеличивается с более чем четырьмя измерениями, и категоризация поворотов, как указано выше, становится слишком сложным, чтобы быть практичным, но некоторые наблюдения можно сделать.

Простые вращения можно идентифицировать во всех измерениях, как вращения только с одной плоскостью вращения. Простое вращение в $п$ размеры имеют место примерно (то есть на фиксированном расстоянии от) $(п - 2)$ -мерное подпространство, ортогональное плоскости вращения.

Обычное вращение не является простым и имеет максимальное количество плоскостей вращения, как указано выше. В общем случае углы поворота в этих плоскостях различны и плоскости определены однозначно. Если любой из углов одинаков, то плоскости не уникальны, как в четырех измерениях с изоклиническим вращением.

В четных размерах ( $п = 2, 4, 6...$ ) есть до $п / 2$ плоскости вращения охватывают пространство, поэтому при общем вращении вращаются все точки, кроме исходной точки, которая является единственной фиксированной точкой. В нечетных размерах ( $п = 3, 5, 7, ...$ ) Существуют $п - 1 / 2$ плоскости и углы поворота такие же, как и у четного размера на один меньший. Они не охватывают пространство, а оставляют линию, которая не вращается, как ось вращения в трех измерениях, за исключением того, что повороты происходят не вокруг этой линии, а в нескольких плоскостях, ортогональных ей.^[1]

Математические свойства

Приведенные выше примеры были выбраны как ясные и простые примеры поворотов с плоскостями, обычно параллельными осям координат в трех и четырех измерениях. Но это обычно не так: плоскости обычно не параллельны осям, и матрицы не могут быть просто записаны. Во всех измерениях вращения полностью описываются плоскостями вращения и соответствующими углами, поэтому полезно иметь возможность определять их или, по крайней мере, находить способы их математического описания.

Размышления

Два разных отражения в двух измерениях, создающие вращение.

Каждое простое вращение может быть произведено двумя размышления. Отражения можно указать в $п$ размеры, давая $(п - 1)$ -мерное подпространство для отражения, так что двумерное отражение находится в линии, трехмерное отражение находится в плоскости и так далее. Но это становится все труднее применять в более высоких измерениях, поэтому вместо этого лучше использовать векторы, как показано ниже.

Отражение в $п$ размер задается вектором, перпендикулярным к $(п - 1)$ -мерное подпространство. Для создания простых вращений необходимы только отражения, фиксирующие начало координат, поэтому вектор не имеет положения, только направление. Также не имеет значения, в какую сторону он обращен: его можно заменить на его негатив, не меняя результата. по аналогии единичные векторы можно использовать для упрощения расчетов.

Итак, отражение в $(п - 1)$ -мерное пространство задается перпендикулярным ему единичным вектором, $м$ , таким образом:

{ Displaystyle mathbf {x} '= - mathbf {mxm} ,}

где произведение - геометрическое произведение из геометрическая алгебра.

Если $Икс'$ отражается в другом, отличном, $(п - 1)$ -мерное пространство, описываемое единичным вектором $п$ перпендикулярно ему, результат

{ displaystyle mathbf {x} '' = - mathbf {nx} ' mathbf {n} = - mathbf {n} (- mathbf {mxm}) mathbf {n} = mathbf {nmxmn}}

Это простой поворот в $п$ размеров, через удвоенный угол между подпространствами, который также является углом между векторами м и $п$ . С помощью геометрической алгебры можно проверить, что это вращение, и что он вращает все векторы, как ожидалось.

Количество $мин$ это ротор, и $нм$ является его обратным как

{ Displaystyle ( mathbf {mn}) ( mathbf {nm}) = mathbf {mnnm} = mathbf {мм} = 1}

Итак, вращение можно записать

{ Displaystyle mathbf {x} '' = R mathbf {x} R ^ {- 1}}

куда $р = мин$ это ротор.

Плоскость вращения - это плоскость, содержащая $м$ и $п$ , которые должны быть различны, иначе отражения будут одинаковыми и вращения не произойдет. Поскольку любой вектор может быть заменен на отрицательный, угол между ними всегда может быть острым или не более $π$ /2. Вращение происходит через дважды угол между векторами, до $π$ или пол-оборота. Смысл вращения - вращать от $м$ к $п$ : геометрическое произведение не коммутативный так продукт $нм$ - обратное вращение со смыслом от $п$ к $м$ .

И наоборот, все простые вращения могут быть сгенерированы таким образом, с двумя отражениями, двумя единичными векторами в плоскости вращения, разделенными половиной желаемого угла поворота. Их можно составить для более общих вращений, используя до $п$ отражения, если размер $п$ даже, $п - 2$ если $п$ является нечетным, выбирая пары отражений, заданных двумя векторами в каждой плоскости вращения.^[9]^[10]

Бивекторы

Бивекторы количества от геометрическая алгебра, алгебра Клиффорда и внешняя алгебра, которые обобщают идею векторов в двух измерениях. Как векторы относятся к линиям, так и бивекторы относятся к плоскостям. Таким образом, каждая плоскость (в любом измерении) может быть связана с бивектором, и каждый простой бивектор связан с самолетом. Это делает их удобными для описания плоскостей вращения.

С каждой плоскостью вращения во вращении связан простой бивектор. Он параллелен плоскости и имеет величину, равную углу поворота в плоскости. Эти бивекторы суммируются, чтобы получить один, как правило, непростой бивектор для всего вращения. Это может вызвать ротор сквозь экспоненциальная карта, который можно использовать для поворота объекта.

Бивекторы связаны с роторами через экспоненциальную карту (которая применяется к бивекторам, роторы и вращения генерируются с использованием Формула де Муавра ). В частности с учетом любого бивектора $B$ связанный с ним ротор

{ displaystyle R _ { mathbf {B}} = e ^ { frac { mathbf {B}} {2}}.}

Это простое вращение, если бивектор простой, и более общее вращение в противном случае. В квадрате

{ displaystyle {R _ { mathbf {B}}} ^ {2} = e ^ { frac { mathbf {B}} {2}} e ^ { frac { mathbf {B}} {2}} = e ^ { mathbf {B}},}

это дает ротор, который вращается на угол вдвое больший. Если $B$ прост, то это такое же вращение, как и при двух отражениях, так как произведение $мин$ дает поворот на удвоенный угол между векторами. Их можно приравнять:

{ Displaystyle mathbf {mn} = е ^ { mathbf {B}},}

откуда следует, что бивектор, связанный с плоскостью вращения, содержащей $м$ и $п$ что вращается $м$ к $п$ является

{ displaystyle mathbf {B} = log ( mathbf {mn}).}

Это простой бивектор, связанный с описанным простым вращением. Более общие вращения в четырех или более измерениях связаны с суммами простых бивекторов, по одному для каждой плоскости вращения, рассчитываемых, как указано выше.

Примеры включают два поворота в четырех измерениях, приведенные выше. Простое вращение в $zw$ -плоскость под углом $θ$ имеет бивектор $е 34 θ$ , простой бивектор. Двойное вращение $α$ и $β$ в $ху$ -самолет и $zw$ -самолеты имеют бивектор $е 12 α + е 34 β$ , сумма двух простых бивекторов $е 12 α$ и $е 34 β$ которые параллельны двум плоскостям вращения и имеют величины, равные углам поворота.

Для данного ротора связанный с ним бивектор может быть восстановлен путем логарифма ротора, который затем может быть разделен на простые бивекторы для определения плоскостей вращения, хотя на практике для всех, кроме простейших случаев, это может быть непрактично. Но учитывая простые бивекторы, геометрическая алгебра является полезным инструментом для изучения плоскостей вращения с использованием алгебры, подобной приведенной выше.^[1]^[11]

Собственные значения и собственные плоскости

Плоскости поворотов для конкретного вращения с помощью собственные значения. Учитывая общую матрицу вращения в $п$ размеры его характеристическое уравнение имеет один (в нечетной размерности) или ноль (в четной размерности) действительный корень. Остальные корни находятся в комплексно сопряженных парах, ровно

{ displaystyle left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor,}

такие пары. Они соответствуют плоскостям вращения, собственные плоскости матрицы, которую можно вычислить с помощью алгебраических методов. Кроме того аргументы комплексных корней - это величины бивекторов, связанных с плоскостями вращения. Форма характеристического уравнения связана с плоскостями, что позволяет связать его алгебраические свойства, такие как повторяющиеся корни, с бивекторами, где повторяющиеся величины бивекторов имеют особую геометрическую интерпретацию.^[1]^[12]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d Лаунесто (2001), стр. 222–223.
^ Лунесто (2001) стр. 38
^ Hestenes (1999) стр. 48
^ Лунесто (2001) стр. 222
^ Лунесто (2001) стр.87
^ Лаунесто (2001), стр. 27–28
^ Hestenes (1999), стр. 280–284
^ Лаунесто (2001), стр. 83–89.
^ Лунесто (2001) стр. 57–58
^ Hestenes (1999) стр. 278–280
^ Дорст, Доран, Ласенби (2002), стр. 79–89
^ Дорст, Доран, Ласенби (2002), стр. 145–154

Измерение
Размерные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое многообразие Пространство-время
Другие размеры	Krull Покрытие Лебега Индуктивный Хаусдорф Минковский Фрактал Степени свободы
Многогранники и формы	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперсфера Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Кросс-многогранник Симплекс
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь 8 9 п-размеры Отрицательные размеры
Категория

Плоскость вращения - Plane of rotation

Содержание

Определения

Самолет