Магма (алгебра) - Magma (algebra)

Алгебраические структуры между магмами и группы.

В абстрактная алгебра, а магма, бинар^[1] или же группоид это основной вид алгебраическая структура. В частности, магма состоит из набор оборудован одноместным бинарная операция это должно быть закрыто по определению. Никаких других свойств не налагается.

История и терминология

Период, термин группоид был представлен в 1927 году Генрих Брандт описывая его Группоид Брандта (перевод с немецкого Группоид). Затем термин был присвоен Б. А. Хаусманном и Øystein Ore (1937)^[2] в смысле (набора с бинарной операцией), используемом в этой статье. В паре обзоров последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласен с такой перегруженностью терминологией. Группоид Брандта - это группоид в том смысле, который используется в теории категорий, но не в смысле, используемом Хаусманном и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, включая Клиффорд и Престон (1961) и Хауи (1995) используют группоид в смысле Хаусмана и Оре. Холлингс (2014) пишет, что термин группоид "возможно, наиболее часто используется в современной математике" в том смысле, который ему дан в теории категорий.^[3]

Согласно Бергману и Хаускнехту (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с необязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты по теории категорий и смежным областям категорически возражают против этого использования, потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Период, термин магма использовался Серр [Алгебры Ли и группы Ли, 1965] ".^[4] Он также появляется в Бурбаки с Éléments de mathématique, Algèbre, главы 1–3, 1970.^[5]

Определение

Магма - это набор M сочетается с операция, •, который отправляет любые два элементы а, б ∈ M к другому элементу, а • б. Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы квалифицировать как магму, набор и действие (M, •) должен удовлетворять следующему требованию (известному как магма или аксиома замыкания):

Для всех а, б в M, результат операции а • б также в M.

И в математической записи:

{ displaystyle a, b in M ​​ подразумевает a cdot b in M}

.

Если • вместо частичная операция, тогда $S$ называется частичная магма^[6] или чаще частичный группоид.^[6]^[7]

Морфизм магм

А морфизм магмы - функция, ж : M → N, картографирование магмы M к магме N, который сохраняет бинарную операцию:

ж (Икс •_M у) = ж(Икс) •_N ж(у)

куда •_M и •_N обозначают бинарную операцию на M и N соответственно.

Обозначения и комбинаторика

Операция с магмой может применяться многократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который обозначен круглыми скобками. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается противопоставлением:

(а • (б • c)) • d = (а (до н.э)) d

Сокращение часто используется для уменьшения количества круглых скобок, в которых самые внутренние операции и пары скобок опускаются, заменяются просто сопоставлением, $ху • z = (Икс • у) • z$ . Например, приведенное выше сокращено до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:

(а • до н.э) d

.

Способ полностью избежать использования скобок: префиксная запись, в котором было бы записано то же выражение $•• а • bcd$ . Другой способ, знакомый программистам, - постфиксная запись (Обратная польская запись ), в котором было бы записано то же выражение $abc •• d •$ , в котором порядок выполнения просто слева направо (нет Каррирование ).

Набор всех возможных струны состоящий из символов, обозначающих элементы магмы, и набора сбалансированных скобок, называется Язык Дайка. Общее количество разных способов написания $п$ приложения оператора магмы представлены Каталонский номер, $C п$ . Так, например, $C 2 = 2$ , это просто утверждение, что $(ab) c$ и $а (до н.э)$ это единственные два способа соединения трех элементов магмы с двумя операциями. Менее банально, $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $(а (до н.э)) d$ , $(ab)(CD)$ , $а ((до н.э) d)$ , и $а (б (CD))$ .

Есть ${ Displaystyle п ^ {п ^ {2}}}$ магмы с ${ displaystyle n}$ элементы, поэтому есть 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (последовательность A002489 в OEIS ) магмы с 0, 1, 2, 3, 4, ... элементами. Соответствующие количества не-изоморфный магмы 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (последовательность A001329 в OEIS ) и количества одновременно неизоморфных и неизоморфныхантиизоморфный магмы 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (последовательность A001424 в OEIS ).^[8]

Свободная магма

А свободная магма, M_Икс, на съемочной площадке, Икс, это «наиболее общая возможная» магма, образованная Икс (т.е. на генераторы не накладываются никакие соотношения или аксиомы; см. свободный объект ). Его можно описать как набор неассоциативных слов на Икс с сохраненными круглыми скобками.^[9]

Его также можно просмотреть в терминах, знакомых в Информатика, как магма бинарные деревья с листьями, помеченными элементами Икс. Операция заключается в соединении деревьев в корне. Таким образом, он играет основную роль в синтаксис.

Свободная магма имеет универсальная собственность так что, если ж : Икс → N это функция от Икс к любой магме, N, то существует единственное продолжение ж морфизму магм, ж ′

ж ′ : M_Икс → N.

Типы магмы

Магмы не часто изучаются как таковые; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, каким аксиомам должна удовлетворять операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:

Квазигруппа: Магма, где разделение всегда возможно
Петля: Квазигруппа с элемент идентичности
Полугруппа: Магма, в которой действует ассоциативный
Обратная полугруппа: Полугруппа с инверсией.
Полурешетка: Полугруппа, в которой операция коммутативный и идемпотент
Моноид: Полугруппа с элемент идентичности
Группа: Моноид с обратные элементы, или, что то же самое, ассоциативная петля или непустая ассоциативная квазигруппа
Абелева группа: Группа, в которой операция коммутативна

Обратите внимание, что каждое из делимости и обратимости подразумевает аннулирование собственности.

Классификация по свойствам

Групповые структуры
	Тотальность^α	Ассоциативность	Личность	Обратимость	Коммутативность
Полугрупоидный	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Единичная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Обратная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
^ α Закрытие, который используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной совокупности, хотя и по-другому.

Магма $(S, •)$ , с $Икс, у, ты, z$ ∈ $S$ , называется

Медиальный: Если он удовлетворяет тождеству, $ху • уз \equiv xu • yz$
Левый полумедиальный: Если он удовлетворяет тождеству, $хх • yz \equiv ху • xz$
Правый полусредний: Если он удовлетворяет тождеству, $yz • хх \equiv yx • zx$
Полумедиальный: Если это и левый, и правый полумедиальный
Левый распределительный: Если он удовлетворяет тождеству, $Икс • yz \equiv ху • xz$
Правый дистрибутив: Если он удовлетворяет тождеству, $yz • Икс \equiv yx • zx$
Автораспределение: Если это и левый, и правый распределительный
Коммутативный: Если он удовлетворяет тождеству, $ху \equiv yx$
Идемпотентный: Если он удовлетворяет тождеству, $хх \equiv Икс$
Унипотентный: Если он удовлетворяет тождеству, $хх \equiv гг$
Нулевой потенциал: Если он удовлетворяет тождествам, $хх • у \equiv хх \equiv у • хх$ ^[10]
Альтернатива: Если он удовлетворяет тождествам $хх • у \equiv Икс • ху$ и $Икс • гг \equiv ху • у$
Властно-ассоциативный: Если подмагма, порожденная каким-либо элементом, ассоциативна
Гибкий: если $ху • Икс \equiv Икс • yx$
А полугруппа, или же ассоциативный: Если он удовлетворяет тождеству, $Икс • yz \equiv ху • z$
Левый унар: Если он удовлетворяет тождеству, $ху \equiv xz$
Правый унар: Если он удовлетворяет тождеству, $yx \equiv zx$
Полугруппа с нулевым умножением, или нулевая полугруппа: Если он удовлетворяет тождеству, $ху \equiv УФ$
Unital: Если в нем есть элемент идентичности
Оставили-отменяющий: Если для всех $Икс, у$ , и, $z$ , $ху = xz$ подразумевает $у = z$
Право-отменяющий: Если для всех $Икс, у$ , и, $z$ , $yx = zx$ подразумевает $у = z$
Отменяющий: Если это одновременно правая отменяющая и левая отменяющая
А полугруппа с левыми нулями: Если это полугруппа и для всех $Икс$ , личность, $Икс \equiv ху$ , держит
А полугруппа с правыми нулями: Если это полугруппа и для всех $Икс$ , личность, $Икс \equiv yx$ , держит
Тримедиал: Если любая тройка (не обязательно различных) элементов порождает медиальную подмагму
Энтропийный: Если это гомоморфный образ медиального отмена магма.^[11]

Категория магм

Категория магм, обозначенная Mag, это категория чьими объектами являются магмы, а чьи морфизмы находятся гомоморфизмы магмы. Категория Mag имеет прямые продукты, и есть функтор включения: Набор → Med ↪ Mag как тривиальные магмы, с операции данный проекция: $Икс Т у = у$ .

Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм можно расширить до автоморфизм магмы расширение, только копредел из (постоянный последовательность) эндоморфизм.

Поскольку одиночка $({*}, *)$ это нулевой объект из Mag, и потому что Mag является алгебраический, Mag указал и полный.^[12]

Обобщения

Видеть п-арная группа.

Смотрите также

Категория магмы
Объект авто магмы
Универсальная алгебра
Система компьютерной алгебры Magma, названный в честь объекта этой статьи.
Коммутативные неассоциативные магмы
Алгебраические структуры, аксиомы которых являются тождествами
Группоидная алгебра
Набор для прихожей

дальнейшее чтение

Брук, Ричард Хуберт (1971), Обзор бинарных систем (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3

[1] Бергман, Клиффорд, Универсальная алгебра: основы и избранные темы

[2] Hausmann, B.A .; Оре, Эйстейн (октябрь 1937 г.), "Теория квазигрупп", Американский журнал математики, 59 (4): 983–1004, Дои:10.2307/2371362, JSTOR 2371362

[Hollings2014-3] Холлингс, Кристофер (2014), Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп, Американское математическое общество, стр. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1

[BergmanHausknecht1996-4] Бергман, Джордж М .; Хаускнехт, Адам О. (1996), Когруппы и ко-кольца в категориях ассоциативных колец, Американское математическое общество, стр. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7

[Bourbaki1998-5] Бурбаки, Н. (1998) [1970], "Алгебраические структуры: §1.1 Законы композиции: определение 1", Алгебра I: главы 1–3, Springer, стр. 1, ISBN 978-3-540-64243-5

[Müller-HoissenPallo2012-6] а ^б Мюллер-Хойссен, Фолкерт; Палло, Жан Марсель; Сташеф, Джим, ред. (2012), Associahedra, Tamari Lattices и родственные структуры: Tamari Memorial Festschrift, Springer, стр. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9

[Silver-7] Евсеев А.Е. (1988), "Обзор частичных группоидов", в Silver, Ben (ed.), Девятнадцать статей по алгебраическим полугруппам, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3115-1

[8] Вайсштейн, Эрик В. "Группоид". MathWorld.

[9] Роуэн, Луи Галле (2008), «Определение 21B.1»., Алгебра выпускников: некоммутативный взгляд, Аспирантура по математике, Американское математическое общество, п. 321, ISBN 0-8218-8408-5

[10] Кепка, Т .; Немец, П. (1996), «Простые сбалансированные группоиды» (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60

[11] Ежек, Ярослав; Кепка, Томаш (1981), «Свободные энтропийные группоиды» (PDF), Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae, 22 (2): 223–233, МИСТЕР 0620359.

[12] Борсё, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории. Springer. С. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

α

[10]

[11]

[12]