Обратная полугруппа - Википедия - Inverse semigroup

Алгебраические структуры между магмы и группы. An инверсная полугруппа это полугруппа с обратимостью.

В группа теория, инверсная полугруппа (иногда называемый полугруппа инверсии^[1]) S это полугруппа в котором каждый элемент Икс в S имеет уникальный обратный у в S в том смысле, что х = ху и y = yxy, т.е. регулярная полугруппа в котором каждый элемент имеет уникальную инверсию. Обратные полугруппы появляются в самых разных контекстах; например, их можно использовать при изучении частичные симметрии.^[2]

(В этой статье будет использоваться соглашение о написании функции справа от ее аргумента, например x f скорее, чем f (x), и составление функций слева направо - соглашение, часто наблюдаемое в теории полугрупп.)

Происхождение

Обратные полугруппы были введены независимо Виктор Владимирович Вагнер^[3] в Советский союз в 1952 г.,^[4] и по Гордон Престон в объединенное Королевство в 1954 г.^[5] Оба автора пришли к инверсным полугруппам благодаря изучению частичные отклонения из набор: а частичное преобразование α набора Икс это функция из А к B, куда А и B являются подмножествами Икс. Позволять α и β быть частичными преобразованиями множества Икс; α и β можно составить (слева направо) на наибольшем домен на которых "имеет смысл" их составить:

${ displaystyle operatorname {dom} alpha beta = [ operatorname {im} alpha cap operatorname {dom} beta] alpha ^ {- 1} ,}$

куда α⁻¹ обозначает прообраз подα. Частные превращения уже изучались в контексте псевдогруппы.^[6] Однако именно Вагнер был первым, кто заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем состав бинарных отношений.^[7] Он также признал, что область композиции двух частичных преобразований может быть пустой набор, поэтому он представил пустое преобразование принять это во внимание. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится повсюду определенным ассоциативный бинарная операция. Под этой композицией коллекция ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {X}}$ всех частичных однозначных преобразований множества Икс образует инверсную полугруппу, называемую симметричная инверсная полугруппа (или моноид) на Икс, с обратным функциональным обратным, определенным от изображения к области (эквивалентно, обратное отношение ).^[8] Это «архетипическая» обратная полугруппа, точно так же, как симметричная группа архетипический группа. Например, как и каждый группа может быть встроен в симметричная группа, каждая инверсная полугруппа вкладывается в симметричную инверсную полугруппу (см. § Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп ниже).

Основы

Обратный элемент Икс обратной полугруппы S обычно пишется Икс⁻¹. Обратные в обратной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и обратные в полугруппе. группа, Например, (ab)⁻¹ = б⁻¹а⁻¹. В обратном моноид, хх⁻¹ и Икс⁻¹Икс не обязательно равны идентичности, но они оба идемпотент.^[9] Обратный моноид S в котором хх⁻¹ = 1 = Икс⁻¹Икс, для всех Икс в S (а всесильный обратный моноид), конечно группа.

Существует ряд эквивалентных характеристик обратной полугруппы S:^[10]

• Каждый элемент S имеет единственный обратный в указанном выше смысле.
• Каждый элемент S имеет хотя бы один обратный (S это регулярная полугруппа ) и идемпотенты коммутируют (то есть идемпотенты из S сформировать полурешетка ).
• Каждый ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$-класс и каждый ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$-класс содержит ровно один идемпотент, куда ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ два из Отношения Грина.

В идемпотент в ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$-класс s является s⁻¹s, в то время как идемпотент в ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$-класс s является SS⁻¹. Следовательно, существует простая характеристика Отношения Грина в инверсной полугруппе:^[11]

${ displaystyle a , { mathcal {L}} , b Longleftrightarrow a ^ {- 1} a = b ^ {- 1} b, quad a , { mathcal {R}} , b Longleftrightarrow aa ^ {- 1} = bb ^ {- 1}}$

Если не указано иное, E (S) будет обозначать полурешетку идемпотентов обратной полугруппы S.

Примеры инверсных полугрупп

• Если Икс это набор и ${ Displaystyle { mathcal {B}} (X)}$ это собрание однородные отношения на Икс с состав отношений как бинарная операция, тогда ${ Displaystyle { mathcal {B}} (X)}$ образует инверсную полугруппу, поскольку каждое отношение имеет обратное отношение, который служит обратным.
• Каждый группа обратная полугруппа.
• В бициклическая полугруппа обратное, с (а,б)⁻¹ = (б,а).
• Каждый полурешетка обратное.
• В Полугруппа Брандта обратное.
• В Полугруппа Манна обратное.

Пример таблицы умножения. Он ассоциативен, и каждый элемент имеет свой собственный обратный в соответствии с aba = a, bab = b. Он не имеет идентичности и не коммутативен.

Естественный частичный порядок

Обратная полугруппа S обладает естественный частичный заказ отношение ≤ (иногда обозначается ω), которое определяется следующим образом:^[12]

${ displaystyle a leq b Longleftrightarrow a = eb,}$

для некоторых идемпотент е в S. Эквивалентно,

${ displaystyle a leq b Longleftrightarrow a = bf,}$

для некоторых (в общем, разных) идемпотент ж в S. Фактически, е можно принять за аа⁻¹ и ж быть а⁻¹а.^[13]

Естественный частичный заказ совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть^[14]

${ displaystyle a leq b, c leq d Longrightarrow ac leq bd}$

и

${ displaystyle a leq b Longrightarrow a ^ {- 1} leq b ^ {- 1}.}$

В группа, это частичный заказ просто сводится к равенству, так как тождество является единственным идемпотент. В симметричной обратной полугруппе частичный заказ сводится к ограничению отображений, то есть α ≤ β тогда и только тогда, когда область определения α содержится в области определения β и Иксα = Иксβ, для всех Икс в области α.^[15]

Естественный частичный порядок на обратной полугруппе взаимодействует с Отношения Грина следующим образом: если s ≤ т и s${ Displaystyle , { mathcal {L}} ,}$т, тогда s = т. Аналогично, если s${ Displaystyle , { mathcal {R}} ,}$т.^[16]

На E (S), естественный частичный заказ становится:

${ displaystyle e leq f Longleftrightarrow e = ef,}$

Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку под действием изделия, изделия на E (S) дают точные оценки сверху по ≤.

Если E (S) конечна и образует цепь (т.е. E (S) является полностью заказанный на ≤), то S это союз из группы.^[17] Если E (S) бесконечный цепь аналогичный результат можно получить при дополнительных гипотезах о S и E (S).^[18]

Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп

А гомоморфизм (или же морфизм) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любой другой полугруппы: для инверсных полугрупп S и Т, а функция θ из S к Т является морфизмом, если (sθ)(tθ) = (ул)θ, для всех s,т в S. Определение морфизма инверсных полугрупп можно дополнить включением условия (sθ)⁻¹ = s⁻¹θоднако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения с помощью следующей теоремы:

Теорема. Гомоморфный изображение инверсной полугруппы - инверсная полугруппа; обратный элемент всегда отображается на обратный элемент изображение этого элемента.^[19]

Одним из первых доказанных результатов об инверсных полугруппах было исследование Теорема Вагнера – Престона., который является аналогом Теорема Кэли за группы:

Теорема Вагнера – Престона. Если S инверсная полугруппа, то функция φ из S к ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {S}}$, данный

дом (аφ) = Сб⁻¹ и Икс(аφ) = ха

это верный представление из S.^[20]

Таким образом, любая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу и с замкнутым образом относительно обратной операции над частичными биекциями. Наоборот, любая подполугруппа симметрической обратной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметрической обратной полугруппы, замкнутой относительно обратных, тогда и только тогда, когда S обратная полугруппа.

Конгруэнции на инверсных полугруппах

Сравнения определены на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: a соответствие ρ является отношение эквивалентности что совместимо с полугрупповым умножением, т. е.

${ Displaystyle a , rho , b, quad c , rho , d Longrightarrow ac , rho , bd.}$^[21]

Особый интерес представляет соотношение ${ displaystyle sigma}$, определенная на обратной полугруппе S к

${ displaystyle a , sigma , b Longleftrightarrow}$ существует ${ displaystyle c in S}$ с ${ displaystyle c leq a, b.}$^[22]

Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, это групповая конгруэнтность, что означает, что фактор-полугруппа S/σ это группа. На множестве всех групповых конгруэнций на полугруппе Sминимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В конкретном случае, когда S инверсная полугруппа σ это самый маленький соответствие на S такой, что S/σ группа, т. е. если τ есть ли какое-либо другое совпадение с S с S/τ группа, тогда σ содержится в τ. Соответствие σ называется минимальная групповая конгруэнтность на S.^[23] Минимальная групповая конгруэнтность может быть использована для характеристики E-унитарные инверсные полугруппы (см. ниже).

Конгруэнтность ρ на обратной полугруппе S называется идемпотентный чистый если

${ displaystyle a in S, e in E (S), a , rho , e Longrightarrow a in E (S).}$^[24]

E-унитарные инверсные полугруппы

Один из классов инверсных полугрупп, который широко изучался на протяжении многих лет, - это класс инверсных полугрупп. E-унитарные инверсные полугруппы: инверсная полугруппа S (с полурешетка E из идемпотенты ) является E-унитарный если для всех е в E и все s в S,

${ displaystyle es in E Longrightarrow s in E.}$

Эквивалентно,

${ displaystyle se in E Rightarrow s in E.}$^[25]

Еще одна характеристика E-унитарная инверсная полугруппа S следующее: если е в E и е ≤ s, для некоторых s в S, тогда s в E.^[26]

Теорема. Позволять S - инверсная полугруппа с полурешетка E идемпотентов и минимальная групповая конгруэнтность σ. Тогда следующие эквиваленты:^[27]

• S является E-уникальный;
• σ идемпотентно чистое;
• ${ displaystyle sim}$ = σ,

куда ${ displaystyle sim}$ это отношение совместимости на S, определяется

${ displaystyle a sim b Longleftrightarrow ab ^ {- 1}, a ^ {- 1} b}$ идемпотентны.

Теорема Макалистера о покрытии. Каждая обратная полугруппа S имеет E-унитарное покрытие; то есть существует идемпотент, отделяющий сюръективный гомоморфизм от некоторой E-унитарной полугруппы T на S.^[28]

Центральное место в изучении E-унитарные инверсные полугруппы - это следующая конструкция.^[29] Позволять ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ быть частично заказанный набор, с порядком ≤, и пусть ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ быть подмножество из ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ со свойствами, которые

• ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ это нижняя полурешетка, то есть каждая пара элементов А, B в ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ имеет наибольшая нижняя граница А ${ displaystyle wedge}$ B в ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ (относительно ≤);
• ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ является заказать идеальный из ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, то есть для А, B в ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, если А в ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ и B ≤ А, тогда B в ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$.

Теперь позвольте грамм быть группа который действует на ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ (слева) такая, что

• для всех грамм в грамм и все А, B в ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, gA = ГБ если и только если, А = B;
• для каждого грамм в грамм и каждый B в ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, существует А в ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ такой, что gA = B;
• для всех А, B в ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, А ≤ B если и только если, gA ≤ ГБ;
• для всех грамм, час в грамм и все А в ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, грамм(га) = (gh)А.

Тройка ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ также предполагается, что он обладает следующими свойствами:

• для каждого Икс в ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, существует грамм в грамм и А в ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ такой, что gA = Икс;
• для всех грамм в грамм, грамм${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ имеют непустое пересечение.

Такая тройка ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ называется Макалистер тройной. Тройка Макалистера используется для определения следующего:

${ Displaystyle P (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}}) = {(A, g) in { mathcal {Y}} times G: g ^ {- 1} А ин { mathcal {Y}} }}$

вместе с умножением

${ Displaystyle (A, g) (B, h) = (A клин gB, gh)}$.

потом ${ Displaystyle P (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ является обратной полугруппой относительно этого умножения, причем (А,грамм)⁻¹ = (грамм⁻¹А, грамм⁻¹). Один из основных результатов исследования E-унитарные инверсные полугруппы P-теорема Макалистера:

P-теорема Макалистера. Позволять ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ быть тройкой Макалистера. потом ${ Displaystyle P (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ является E-унитарная инверсная полугруппа. И наоборот, каждые E-унитарная обратная полугруппа изоморфный к одному из этого типа.^[30]

F-инверсные полугруппы

Обратной полугруппой называется F-инверсия, если каждый элемент имеет уникальный максимальный элемент над ним в естественном частичном порядке, т.е. каждый σ-класс имеет максимальный элемент. Каждый F-обратная полугруппа - это E-унитарный моноид. Теорема Макалистера о покрытии была уточнена М.В. Лоусон к:

Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F-обратная крышка.^[31]

Макалистера п-теорема была использована для характеристики F-инверсные полугруппы. Тройной McAlister ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ является F-обратная полугруппа тогда и только тогда, когда ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ главный идеал ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ является полурешеткой.

Свободные инверсные полугруппы

Конструкция, похожая на свободная группа возможно для инверсных полугрупп. А презентация свободной обратной полугруппы на множестве Икс можно получить, рассмотрев свободная полугруппа с инволюцией, где инволюция - это взятие обратного, и тогда брать частное посредством Сравнение Вагнера

${ displaystyle {(xx ^ {- 1} x, x), ; (xx ^ {- 1} yy ^ {- 1}, yy ^ {- 1} xx ^ {- 1}) ; | ; x, y in (X cup X ^ {- 1}) ^ {+} }.}.$

В проблема со словом для свободных инверсных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области благодаря В. Д. Манн который показал, что элементы свободной обратной полугруппы можно естественно рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на Деревья Манна, который по сути состоит из перекрывающихся общих частей деревьев. (подробнее см. Lawson 1998)

Любая свободная обратная полугруппа F-инверсия.^[31]

Связь с теорией категорий

Приведенная выше композиция частичных преобразований множества порождает симметричную обратную полугруппу. Существует еще один способ составления частичных преобразований, более ограничительный, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составлены тогда и только тогда, когда образ α равен области определения β; в противном случае состав αβ не определен. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных однозначных преобразований множества образует не инверсную полугруппу, а индуктивный группоид, в смысле теория категорий. Эта тесная связь между инверсными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в Теорема Эресмана – Шейна – Намбоорипада., который утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из обратной полугруппы, и наоборот.^[32] Более точно, инверсная полугруппа - это в точности группоид в категории множеств, этальный группоид относительно его (двойственного) Топология Александрова и чей набор объектов является встречной полурешеткой.

Обобщения инверсных полугрупп

Как отмечалось выше, обратная полугруппа S можно определить условиями (1) S это регулярная полугруппа, и (2) идемпотенты в S ездить; это привело к двум различным классам обобщений обратной полугруппы: полугруппы, в которых (1) выполняется, а (2) - нет, и наоборот.

Примеры регулярных обобщений обратной полугруппы:^[33]

• Регулярные полугруппы: а полугруппа S является обычный если у каждого элемента есть хотя бы один обратный; эквивалентно, для каждого а в S, существует Икс в S такой, что акса = а.
• Локально инверсные полугруппы: а регулярная полугруппа S является локально обратный если eSe инверсная полугруппа, для каждого идемпотент е.
• Православные полугруппы: а регулярная полугруппа S является православный если его подмножество идемпотенты образует подполугруппу.
• Обобщенные инверсные полугруппы: а регулярная полугруппа S называется обобщенная обратная полугруппа если это идемпотенты образуют нормальную полосу, т.е. xyzx = xzyx, для всех идемпотенты Икс, у, z.

В учебный класс обобщенных обратных полугрупп - это пересечение класса локально инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп.^[34]

Среди нерегулярных обобщений обратной полугруппы:^[35]

• (Левая, правая, двусторонняя) адекватные полугруппы.
• (Левая, правая, двусторонняя) обильные полугруппы.
• (Левая, правая, двусторонняя) полуадекватные полугруппы.
• Слабо (левая, правая, двусторонняя) обильные полугруппы.

Обратная категория

Это понятие инверсии также легко обобщается на категории. An обратная категория просто категория, в которой каждый морфизм ж : Икс → Y имеет обобщенно обратный грамм : Y → Икс такой, что fgf = ж и gfg = грамм. Обратная категория - это самодвойственный. Категория наборов и частичные отклонения является ярким примером.^[36]

Обратные категории нашли различное применение в теоретическая информатика.^[37]

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

• Клиффорд, А. Х .; Престон, Г. Б. (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Математические обзоры Американского математического общества. 7. ISBN  978-0-8218-0272-4.
• Фонтан, Дж. Б. (1979). «Адекватные полугруппы». Труды Эдинбургского математического общества. 22 (2): 113–125. Дои:10.1017 / S0013091500016230.
• Голаб, ул. (1939). Псевдогруппа "Über den Begriff der" фон Transformationen"". Mathematische Annalen (на немецком). 116: 768–780. Дои:10.1007 / BF01597390.
• Exel, R. (1998). «Частичные действия групп и действия инверсных полугрупп». Труды Американского математического общества. 126 (12): 3481–4. arXiv:funct-an / 9511003. Дои:10.1090 / S0002-9939-98-04575-4.
• Гулд, В. "(Слабо) E-обильные слева полугруппы". Архивировано из оригинал (Постскриптум) на 2005-08-26. Получено 2006-08-28.
• Хауи, Дж. М. (1995). Основы теории полугрупп. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0198511949.
• Лоусон, М. В. (1998). Обратные полугруппы: теория частных симметрий. World Scientific. ISBN  9810233167.
• Макалистер, Д. Б. (1974a). «Группы, полурешетки и инверсные полугруппы». Труды Американского математического общества. 192: 227–244. Дои:10.2307/1996831. JSTOR  1996831.
• Макалистер, Д. Б. (1974b). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы II». Труды Американского математического общества. 196: 351–370. Дои:10.2307/1997032. JSTOR  1997032.
• Петрич, М. (1984). Обратные полугруппы. Вайли. ISBN  0471875457.
• Престон, Г. Б. (1954a). «Обратные полугруппы». Журнал Лондонского математического общества. 29 (4): 396–403. Дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.396.
• Престон, Г. Б. (1954b). «Обратные полугруппы с минимальными правыми идеалами». Журнал Лондонского математического общества. 29 (4): 404–411. Дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.404.
• Престон, Г. Б. (1954c). «Представления обратных полугрупп». Журнал Лондонского математического общества. 29 (4): 411–9. Дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.411.
• Шейн, Б.М. (1981). «Некролог: Виктор Владимирович Вагнер (1908–1981)». Полугруппа Форум. 28: 189–200. Дои:10.1007 / BF02676643.
• Шейн, Б.М. (2002). «Рецензия на книгу:« Обратные полугруппы: теория частных симметрий »Марка В. Лоусона». Полугруппа Форум. 65: 149–158. Дои:10.1007 / s002330010132.
• Вагнер, В.В. (1952). «Обобщенные группы». Известия АН СССР. (на русском). 84: 1119–1122. английский перевод (PDF)
• Вагнер, В. В. (1953). «Теория обобщенных куч и обобщенных групп». Математический сборник. Новая серия. 32 (74): 545–632.

дальнейшее чтение

• Краткое введение в инверсные полугруппы см. Клиффорд и Престон 1967, Глава 7 или Хауи 1995, Глава 5.
• Более подробные сведения можно найти в Петрич 1984 и Лоусон 1998.
• Линкельманн, М. (2012). «Об обратных категориях и переносе в когомологиях» (PDF). Труды Эдинбургского математического общества. 56: 187. Дои:10.1017 / S0013091512000211. Препринт открытого доступа