Представление моноида - Presentation of a monoid

В алгебра, а представление моноида (или представление полугруппы) является описанием моноид (или полугруппа ) в терминах множества $Σ$ генераторов и набор соотношений на свободный моноид $Σ *$ (или свободная полугруппа $Σ +$ ) создано $Σ$ . Тогда моноид представляется как частное свободного моноида (или свободной полугруппы) этими соотношениями. Это аналог групповая презентация в теория групп.

Как математическая структура моноидное представление идентично система перезаписи строк (также известная как система полу-Туэ). Каждый моноид может быть представлен полу-системой Туэ (возможно, над бесконечным алфавитом).^[1]

А презентация не следует путать с представление.

Строительство

Отношения задаются в виде (конечного) бинарное отношение $р$ на $Σ *$ . Для образования фактор-моноида эти соотношения распространяются на моноидные сравнения следующее:

Сначала берется симметричное замыкание $р \cup р -1$ из $р$ . Затем это расширяется до симметричного отношения $E \subset Σ * \times Σ *$ определяя $Икс ~ E у$ если и только если $Икс$ = $сут$ и $у$ = $свт$ для некоторых струн $ты, v, s, т \in Σ *$ с $(ты, v) \in р \cup р -1$ . Наконец, мы берем рефлексивное и транзитивное замыкание $E$ , которая тогда является моноидной конгруэнцией.

В типичной ситуации отношение $р$ просто задается как система уравнений, так что ${displaystyle R = {u_ {1} = v_ {1}, ldots, u_ {n} = v_ {n}}}$ . Так, например,

{displaystyle langle p, q, vert; pq = 1angle}

является эквациональным представлением для бициклический моноид, и

{displaystyle langle a, b, vert; aba = baa, bba = babangle}

это пластический моноид степени 2 (имеет бесконечный порядок). Элементы этого пластического моноида можно записать как ${displaystyle a ^ {i} b ^ {j} (ba) ^ {k}}$ для целых чисел я, j, k, поскольку соотношения показывают, что ба ездит с обоими а и б.

Обратные моноиды и полугруппы

Представления инверсных моноидов и полугрупп могут быть определены аналогичным образом с помощью пары

{displaystyle (X; T)}

куда

${displaystyle (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*}}$

это свободный моноид с инволюцией на ${displaystyle X}$ , и

{displaystyle Tsubseteq (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*} Время (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*}}

это двоичный отношение между словами. Обозначим через ${displaystyle T ^ {mathrm {e}}}$ (соответственно ${displaystyle T ^ {mathrm {c}}}$ ) отношение эквивалентности (соответственно соответствие ) создано Т.

Мы используем эту пару объектов для определения обратного моноида

{displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} langle X | Tangle.}

Позволять ${displaystyle ho _ {X}}$ быть Сравнение Вагнера на ${displaystyle X}$ , определим обратный моноид

{displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} langle X | Клубок}

представлен к ${displaystyle (X; T)}$ в качестве

{displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} langle X | Tangle = (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*} / (Tcup ho _ {X}) ^ {mathrm {c}}.}

Если в предыдущем обсуждении заменить везде ${displaystyle ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {*}}$ с ${displaystyle ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {+}}$ получаем представление (для обратной полугруппы) ${displaystyle (X; T)}$ и инверсная полугруппа ${displaystyle mathrm {Inv} langle X | Клубок}$ представлен к ${displaystyle (X; T)}$ .

Тривиальный, но важный пример - свободный обратный моноид (или же свободная инверсная полугруппа) на ${displaystyle X}$ , который обычно обозначают ${displaystyle mathrm {FIM} (X)}$ (соответственно ${displaystyle mathrm {FIS} (X)}$ ) и определяется