Регулярная полугруппа - Regular semigroup

В математике регулярная полугруппа это полугруппа S в котором каждый элемент обычный, т.е. для каждого элемента а, существует элемент Икс такой, что акса = а.^[1] Регулярные полугруппы - один из наиболее изученных классов полугрупп, и их структура особенно удобна для изучения с помощью Отношения Грина.^[2]

История

Регулярные полугруппы были введены Дж. А. Грин в его влиятельной статье 1951 г. «О строении полугрупп»; это была также статья, в которой Отношения Грина были представлены. Концепция чего-либо регулярность в полугруппе адаптирован из аналогичного условия для кольца, уже рассмотренный Джон фон Нейман.^[3] Именно изучение Грина регулярных полугрупп привело его к определению своего знаменитого связи. Согласно сноске в Green 1951, предложение о применении понятия регулярности к полугруппы был впервые сделан Дэвид Рис.

Период, термин инверсивная полугруппа (Французский: demi-groupe inversif) исторически использовался как синоним в статьях Габриэль Тьеррин (студент Поль Дюбрей ) в 1950-х,^[4]^[5] и он до сих пор иногда используется.^[6]

Основы

Есть два эквивалентных способа определить регулярную полугруппу S:

(1) для каждого а в S, существует Икс в S, который называется псевдообратный,^[7] с акса = а;

(2) каждый элемент а имеет по крайней мере один обратный б, в том смысле, что аба = а и бабушка = б.

Чтобы увидеть эквивалентность этих определений, сначала предположим, что S определяется формулой (2). потом б служит необходимым Икс в 1). Наоборот, если S определяется формулой (1), то xax является обратным для а, поскольку а(xax)а = акса(ха) = акса = а и (xax)а(xax) = Икс(акса)(xax) = ха(xax) = Икс(акса)Икс = xax.^[8]

Множество инверсий (в указанном выше смысле) элемента а в произвольном полугруппа S обозначается V(а).^[9] Таким образом, другой способ выразить определение (2) выше - сказать, что в регулярной полугруппе V(а) непусто, для каждого а в S. Произведение любого элемента а с любым б в V(а) всегда идемпотент: Abab = ab, поскольку аба = а.^[10]

Примеры регулярных полугрупп

Каждый группа - регулярная полугруппа.
Каждый группа (идемпотентная полугруппа) является регулярной в смысле этой статьи, хотя это не то, что подразумевается под регулярная группа.
В бициклическая полугруппа регулярно.
Любой полугруппа полного преобразования регулярно.
А Полугруппа матриц Риса регулярно.
В гомоморфный образ регулярной полугруппы регулярна.^[11]

Уникальные обратные и уникальные псевдообратные

Регулярная полугруппа, в которой коммутируют идемпотенты, называется инверсная полугруппа, или, что эквивалентно, каждый элемент имеет уникальный обратный. Чтобы увидеть это, позвольте S - регулярная полугруппа, в которой коммутируют идемпотенты. Тогда каждый элемент S имеет по крайней мере один обратный. Предположим, что а в S имеет две инверсии б и c, т.е.

аба = а, бабушка = б, ака = а и cac = c. Также ab, ба, ac и ок являются идемпотентами, как указано выше.

потом

б = бабушка = б(ака)б = бак(а)b =бак(ака)b = бак(ac)(ab) = бак(ab)(ac) = ба(ок)бак = ок(ба)бак = c(аба)бак = Cabac = cac = c.

Итак, коммутируя пары идемпотентов ab & ac и ба & ок, обратное а оказывается уникальным. Наоборот, можно показать, что любой инверсная полугруппа - регулярная полугруппа, в которой коммутируют идемпотенты.^[12]

Существование уникальной псевдообратной матрицы подразумевает существование единственной обратной, но обратное неверно. Например, в симметричная инверсная полугруппа, пустое преобразование Ø не имеет единственной псевдообратной матрицы, поскольку Ø = ØжØ для любой трансформации ж. Обратное к Ø уникально, потому что только один ж удовлетворяет дополнительному ограничению, что ж = жØж, а именно ж = Ø. Это замечание справедливо в более общем смысле для любой полугруппы с нулем. Кроме того, если каждый элемент имеет уникальную псевдообратную форму, то полугруппа является группа, а единственный псевдообратный элемент совпадает с групповым обратным.^[13]

Отношения Грина

Напомним, что главные идеалы полугруппы S определены в терминах S¹, то полугруппа с присоединенной единицей; это необходимо для того, чтобы элемент а принадлежит к главному правому, левому и двустороннему идеалы который он генерирует. В регулярной полугруппе Sоднако элемент а = акса автоматически принадлежит этим идеалам, не прибегая к примыканию к идентичности. Отношения Грина следовательно, можно переопределить для обычных полугрупп следующим образом:

{displaystyle a, {mathcal {L}}, b}

если и только если, Сб = Sb;

{displaystyle a, {mathcal {R}}, b}

если и только если, в качестве = bS;

{displaystyle a, {mathcal {J}}, b}

если и только если, SaS = SbS.^[14]

В регулярной полугруппе S, каждый ${displaystyle {mathcal {L}}}$ - и ${displaystyle {mathcal {R}}}$ -класс содержит хотя бы один идемпотент. Если а любой элемент S а α - любое обратное к а, тогда а является ${displaystyle {mathcal {L}}}$ -относится к αa и ${displaystyle {mathcal {R}}}$ -относится к аа.^[15]

Теорема. Позволять S - регулярная полугруппа, и пусть а и б быть элементами S. потом

${displaystyle a, {mathcal {L}}, b}$ тогда и только тогда, когда существует α в V(а) и β в V(б) такие, что αа = βб;
${displaystyle a, {mathcal {R}}, b}$ тогда и только тогда, когда существует α в V(а) и β в V(б) такие, что аα = бβ.^[16]

Если S является инверсная полугруппа, то идемпотент в каждом ${displaystyle {mathcal {L}}}$ - и ${displaystyle {mathcal {R}}}$ -класс уникален.^[12]

Специальные классы регулярных полугрупп

Некоторые специальные классы регулярных полугрупп:^[17]

Локально инверсные полугруппы: регулярная полугруппа S является локально обратный если eSe инверсная полугруппа, для каждого идемпотент е.
Православные полугруппы: регулярная полугруппа S является православный если его подмножество идемпотенты образует подполугруппу.
Обобщенные инверсные полугруппы: регулярная полугруппа S называется обобщенная обратная полугруппа если это идемпотенты образуют нормальную полосу, т.е. xyzx = xzyx, для всех идемпотенты Икс, у, z.

В учебный класс обобщенных обратных полугрупп - это пересечение класса локально инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп.^[18]

Все инверсные полугруппы ортодоксальны и локально обратны. Обратные утверждения неверны.

Обобщения

Смотрите также

Примечания

^ Хауи 1995: 54.
^ Хауи 2002.
^ фон Нейман 1936.
^ Кристофер Холлингс (16 июля 2014 г.). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп. Американское математическое общество. п. 181. ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ http://www.csd.uwo.ca/~gab/pubr.html
^ Джонатан С. Голан (1999). Степенные алгебры над полукольцами: с приложениями в математике и информатике. Springer Science & Business Media. п. 104. ISBN 978-0-7923-5834-3.
^ Клип, Кнауэр и Михалев: с. 33
^ Клиффорд и Престон, 1961: лемма 1.14.
^ Хауи 1995: стр. 52.
^ Клиффорд и Престон 1961: стр. 26.
^ Хауи 1995: Лемма 2.4.4.
^ ^а ^б Хауи 1995: Теорема 5.1.1.
^ Доказательство: https://planetmath.org/acharacterizationofgroups
^ Хауи 1995: 55.
^ Клиффорд и Престон, 1961: лемма 1.13.
^ Хауи 1995: Предложение 2.4.1.
^ Хауи 1995: Раздел 2.4 и Глава 6.
^ Хауи 1995: 222.