Обратное отношение - Википедия - Converse relation

В математика, то обратное отношение, или же транспонировать, из бинарное отношение - это отношение, которое возникает при переключении порядка элементов в отношении. Например, отношение «дочерний элемент», обратное отношению «родительский элемент». Формально, если Икс и Y наборы и L ⊆ Икс × Y это отношение из Икс к Y, тогда L^Т отношение, определенное так, что y L^Т Икс если и только если x L y. В обозначение построителя множеств, L^Т = {(у, х) ∈ Y × Икс | (х, у) ∈ L}.

Обозначения аналогичны обозначениям для обратная функция. Хотя многие функции не имеют обратного, каждое отношение имеет уникальное обратное. В унарная операция который отображает отношение в обратное отношение, является инволюция, поэтому он индуцирует структуру полугруппа с инволюцией на бинарные отношения на множестве, или, в более общем смысле, индуцирует категория кинжала на категория отношений в качестве подробно описано ниже. Как унарная операция, взяв обратное (иногда называемое преобразование или же транспозиция) коммутирует с порядковыми операциями исчисления отношений, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Обратное отношение также называется или транспонировать отношение- последний ввиду его сходства с транспонировать матрицы.^[1] Его также называли противоположный или же двойной исходного отношения,^[2] или обратный исходного отношения,^[3][4][5] или взаимный L° отношения L.^[6]

Другие обозначения для обратного отношения включают L^C, L^–1, L^~, ${ displaystyle { breve {L}}}$, L°, или же L^∨.

Примеры

Для обычного (возможно строгого или частичного) порядковые отношения, обратное - это наивно ожидаемый «противоположный» порядок, например, ${ displaystyle { leq ^ { mathsf {T}}} = { geq}, quad {<^ { mathsf {T}}} = {>}.}$

Отношение может быть представлено логическая матрица Такие как

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Тогда обратное соотношение представляется своим транспонировать матрицу:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Обратное родство отношения называются: "А ребенок B"имеет беседу"B является родителем А". "А это племянник или племянница из B"имеет беседу"B является дядя или же тетя из А". Соотношение "А это брат или сестра из B"является собственной противоположностью, поскольку это симметричное отношение.

В теории множеств предполагается, что вселенная U дискурса и фундаментальные отношения установить членство Икс ∈ А когда А это подмножество U. В набор мощности всех подмножеств U является областью обратного ${ displaystyle { ni} = { in ^ { mathsf {T}}}.}$

Характеристики

в моноид двоичного эндореляции на съемочной площадке (с бинарная операция по отношениям состав отношений ) обратное соотношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, т. е. если L произвольное отношение на Икс, тогда ${ Displaystyle L circ L ^ { mathsf {T}}}$ делает нет равно отношение идентичности на Икс в целом. Обратное соотношение удовлетворяет (более слабым) аксиомам полугруппа с инволюцией: ${ Displaystyle влево (L ^ { mathsf {T}} right) ^ { mathsf {T}} = L}$ и ${ displaystyle left (L circ R right) ^ { mathsf {T}} = R ^ { mathsf {T}} circ L ^ { mathsf {T}}}$.^[7]

Поскольку обычно можно рассматривать отношения между различными наборами (которые образуют категория а не моноид, а именно категория отношений Rel), в этом контексте обратное соотношение соответствует аксиомам категория кинжала (иначе говоря, категория с инволюцией).^[7] Отношение, равное обратному, есть симметричное отношение; на языке категорий кинжалов это самосопряженный.

Более того, полугруппа эндореляций на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным квант. Точно так же категория разнородные отношения, Rel также является упорядоченной категорией.^[7]

в исчисление отношений, преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнение а также с принятием супрема и инфима. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.^[1]

Если отношение рефлексивный, иррефлексивный, симметричный, антисимметричный, асимметричный, переходный, общий, трихотомический, а частичный заказ, общий заказ, строгий слабый порядок, общий предварительный заказ (слабый порядок) или отношение эквивалентности, обратное тоже.

Перевернутые

Если я представляет отношение тождества, тогда отношение р может иметь обратный следующее:

Отношение р называется обратимым справа, если существует отношение Икс с ${ Displaystyle R circ X = I}$, и обратимым слева, если существует Y с ${ Displaystyle Y circ R = I}$. потом Икс и Y называются правым и левым обратным р, соответственно. Право- и левообратимые отношения называются обратимый. Для обратимых однородных отношений все обратные справа и слева совпадают; понятие обратный р^–1 используется. потом р^–1 = р^Т держит.^[1]:79

Обратное соотношение функции

А функция является обратимый тогда и только тогда, когда его обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное соотношение функции ${ displaystyle f: от X до Y}$ это отношение ${ displaystyle f ^ {- 1}: от Y до X}$ определяется ${ displaystyle operatorname {graph} , f ^ {- 1} = left {(y, x) mid y = f (x) right }}$.

Это не обязательно функция: одним из необходимых условий является то, что ж быть инъективный, так как иначе ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ является многозначный. Этого условия достаточно для ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ быть частичная функция, и ясно, что ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ тогда является (полной) функцией если и только если ж является сюръективный. В этом случае, т.е. если ж является биективный, ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ можно назвать обратная функция из ж.

Например, функция ${ displaystyle f (x) = 2x + 2}$ имеет обратную функцию ${ displaystyle f ^ {- 1} (x) = { frac {x} {2}} - 1}$.

Однако функция ${ Displaystyle г (х) = х ^ {2}}$ имеет обратное соотношение ${ displaystyle g ^ {- 1} (x) = pm x ^ { frac {1} {2}}}$, которая не является функцией, будучи многозначной.

Смотрите также

• Биекция
• Транспонировать график

Рекомендации

• Халмос, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств, п.40, ISBN  978-0-387-90092-6