Обозначение конструктора множеств - Set-builder notation

{ Displaystyle {п в mathbb {Z} mid ( существует к в mathbb {Z}) [п = 2к] }}

Набор всех даже целые числа,
выражается в обозначениях конструктора множеств.

В теория множеств и его приложения к логика, математика, и Информатика, обозначение построителя множеств это математическая запись для описания набор перечислив ее элементы или указание свойств, которым должны удовлетворять его члены.^[1]

Определение наборов по свойствам также известно как установить понимание, установить абстракцию или как определение набора интенция.

Наборы, определяемые перечислением

А набор можно описать напрямую, перечислив все его элементы в фигурных скобках, как в следующих двух примерах:

${ displaystyle {7,3,15,31 }}$ - это набор, содержащий четыре числа 3, 7, 15 и 31 и ничего больше.
${ Displaystyle {а, с, Ь } = {а, б, с }}$ это набор, содержащий $а$ , $б$ , и $c$ , и ничего больше (порядок между элементами набора отсутствует).

Иногда это называют «методом составления списка» для определения набора.^[2]

Когда требуется обозначить набор, содержащий элементы из регулярной последовательности, эллипсы могут использоваться обозначения, как показано в следующих примерах:

${ Displaystyle {1,2,3, ldots, 100 }}$ представляет собой набор целых чисел от 1 до 100 включительно.
${ Displaystyle {1,2,3, ldots }}$ это набор натуральные числа.
${ Displaystyle { ldots, -2, -1,0,1,2, ldots } = {0,1, -1,2, -2, ldots }}$ - это набор всех целых чисел.

Между элементами набора нет порядка (это объясняет и подтверждает равенство последнего примера), но с обозначением эллипсов мы используем упорядоченную последовательность до (или после) многоточия в качестве удобного средства обозначения для объяснения того, какие элементы находятся в комплекте. Показаны первые несколько элементов последовательности, затем эллипсы указывают, что для продолжения последовательности следует применить простейшую интерпретацию. Если справа от эллипсов нет конечного значения, то последовательность считается неограниченной.

В целом, ${ Displaystyle {1, точки, п }}$ обозначает множество всех натуральных чисел ${ displaystyle i}$ такой, что ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$ . Другое обозначение для ${ Displaystyle {1, точки, п }}$ это скобка ${ Displaystyle [п]}$ . Тонкий особый случай: ${ displaystyle n = 0}$ , в котором ${ Displaystyle [0] = {1, точки, 0 }}$ равно пустой набор ${ displaystyle emptyset}$ . По аналогии, ${ Displaystyle {а_ {1}, точки, а_ {п} }}$ обозначает множество всех ${ displaystyle a_ {i}}$ за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$ .

В каждом предыдущем примере каждый набор описывается перечислением его элементов. Не все наборы могут быть описаны таким образом, или, если они могут, их перечисление может быть слишком длинным или слишком сложным, чтобы быть полезным. Следовательно, многие наборы определяются свойством, характеризующим их элементы. Эта характеристика может быть сделана неформально с использованием общей прозы, как в следующем примере.

${ displaystyle {}$ адреса на Pine Street ${ displaystyle }}$ - это набор всех адресов на Pine Street.

Однако прозаический подход может быть недостаточно точным или двусмысленным. Таким образом, нотация создателя множеств часто используется с предикатом, характеризующим элементы определяемого множества, как описано в следующем разделе.

Множества, определяемые предикатом

Нотация создателя множеств может использоваться для описания множеств, которые определяются предикатом, а не явно перечисляются.^[3] В этой форме нотация создателя множеств состоит из трех частей: переменной, двоеточие или же вертикальная полоса разделитель и логический предикат. Таким образом, слева от разделителя находится переменная, а справа - правило. Эти три части заключены в фигурные скобки:

{ Displaystyle {х середина фи (х) }}

или же

{ displaystyle {x: Phi (x) }.}

Вертикальная черта (или двоеточие) - это разделитель, который можно читать как "такой, что",^[4] «за что» или «с тем свойством». Формула $Φ (Икс)$ считается правило или предикат. Все ценности Икс для которых предикат имеет место (истинно), принадлежат определяемому множеству. Все ценности $Икс$ для которых предикат не выполняется, не принадлежат множеству. Таким образом ${ Displaystyle {х середина фи (х) }}$ - множество всех значений $Икс$ которые удовлетворяют формуле $Φ$ .^[5] Это может быть пустой набор, если нет значения $Икс$ удовлетворяет формуле.

Указание домена

Домен $E$ может появиться слева от вертикальной полосы:^[6]

{ Displaystyle {х ин Е середина фи (х) },}

или добавив его к сказуемому:

{ displaystyle {x mid x in E { text {and}} Phi (x) } quad { text {or}} quad {x mid x in E land Phi (Икс)}.}

Символ ∈ здесь означает установить членство, в то время как ${ displaystyle land}$ символ обозначает логический оператор "и", известный как логическое соединение. Это обозначение представляет собой набор всех значений $Икс$ которые принадлежат некоторому заданному набору $E$ для которого предикат истинен (см. "Установить аксиому существования "ниже). Если ${ Displaystyle Phi (х)}$ соединение ${ Displaystyle Phi _ {1} (x) land Phi _ {2} (x)}$ , тогда ${ Displaystyle {х ин Е мид фи (х) }}$ иногда пишется ${ displaystyle {x in E mid Phi _ {1} (x), Phi _ {2} (x) }}$ , используя запятую вместо символа ${ displaystyle land}$ .

В общем, не рекомендуется рассматривать наборы без определения домена, поскольку это будет представлять подмножество из все возможные вещи, которые могут существовать для которого предикат истинен. Это легко может привести к противоречиям и парадоксам. Например, Парадокс Рассела показывает, что выражение ${ Displaystyle {х ~ | ~ х not в х },}$ хотя и выглядит хорошо сформированным как выражение построителя множеств, не может определять множество, не вызывая противоречия.^[7]

В случаях, когда набор E ясно из контекста, это может быть не указано явно. В литературе принято, что автор заранее указывает домен, а затем не указывает его в нотации создателя множеств. Например, автор может сказать что-то вроде: «Если не указано иное, переменные следует рассматривать как натуральные числа».

Примеры

Следующие ниже примеры иллюстрируют конкретные множества, определенные с помощью нотации создателя множеств через предикаты. В каждом случае домен указывается слева от вертикальной полосы, а правило указывается справа.

${ displaystyle {x in mathbb {R} mid x> 0 }}$ это набор всех строго положительный действительные числа, который можно записать в обозначениях интервалов как ${ displaystyle (0, infty)}$ .
${ Displaystyle {х в mathbb {R} mid | x | = 1 }}$ это набор ${ displaystyle {- 1,1 }}$ . Этот набор также можно определить как ${ displaystyle {x in mathbb {R} mid x ^ {2} = 1 }}$ ; видеть эквивалентные предикаты дают равные множества ниже.
Для каждого целого числа м, мы можем определить ${ displaystyle G_ {m} = {x in mathbb {Z} mid x geq m } = {m, m + 1, m + 2, ldots }}$ . В качестве примера, ${ Displaystyle G_ {3} = {x in mathbb {Z} mid x geq 3 } = {3,4,5, ldots }}$ и ${ Displaystyle G _ {- 2} = {- 2, -1,0, ldots }}$ .
${ displaystyle {(x, y) in mathbb {R} times mathbb {R} mid 0$ - это множество пар действительных чисел таких, что у больше 0 и меньше ж(Икс), для данного функция ж. Здесь декартово произведение ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R}}$ обозначает набор упорядоченных пар действительных чисел.
${ Displaystyle {п in mathbb {N} mid ( существует k) [к in mathbb {N} land n = 2k] }}$ это набор всех даже натуральные числа. В ${ displaystyle land}$ знак означает "и", который известен как логическое соединение. Знак ∃ означает «существует», что известно как экзистенциальная количественная оценка. Так, например, ${ Displaystyle ( существует х) п (х)}$ читается как "существует Икс такой, что п(Икс)".
${ Displaystyle {п мид ( существует к в mathbb {N}) [п = 2к] }}$ вариант записи того же набора четных натуральных чисел. Нет необходимости указывать, что $п$ является натуральным числом, как следует из формулы справа.
${ Displaystyle {а в mathbb {R} mid ( существует п в mathbb {Z}) ( существует q в mathbb {Z}) [q not = 0 land aq = p ] }}$ это набор рациональное число; то есть действительные числа, которые можно записать как отношение двух целые числа.

Более сложные выражения в левой части записи

Расширение нотации конструктора множеств заменяет единственную переменную $Икс$ с выражение. Так что вместо ${ Displaystyle {х середина фи (х) }}$ , у нас может быть ${ Displaystyle { Psi (x) mid Phi (x) },}$ который следует прочитать

{ Displaystyle { Psi (x) mid Phi (x) } = {y mid exists (x), y = Psi (x) { text {and}} Phi (x) }}

.

Например:

${ displaystyle {2n mid n in mathbb {N} }}$ , куда ${ Displaystyle mathbb {N}}$ - это набор всех натуральных чисел, - это набор всех четных натуральных чисел.
${ displaystyle {p / q mid p, q in mathbb {Z}, q not = 0 }}$ , куда ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ это набор всех целых чисел, $ℚ$ , множество всех рациональных чисел.
${ displaystyle {2t + 1 mid t in mathbb {Z} }}$ - множество нечетных целых чисел.
${ Displaystyle {(т, 2t + 1) середина т в mathbb {Z} }}$ создает набор пар, где каждая пара ставит в соответствие целое число с нечетным целым числом.

Когда обратные функции могут быть указаны явно, выражение слева можно исключить с помощью простой замены. Рассмотрим набор примеров ${ displaystyle {2t + 1 mid t in mathbb {Z} }}$ . Сделайте замену ${ displaystyle u = 2t + 1}$ , то есть ${ Displaystyle т = (и-1) / 2}$ , затем замените т в обозначении конструктора множеств, чтобы найти

{ displaystyle {2t + 1 mid t in mathbb {Z} } = {u mid (u-1) / 2 in mathbb {Z} }.}

Эквивалентные предикаты дают равные наборы

Два набора равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы. Множества, определенные нотацией построителя множеств, равны тогда и только тогда, когда их правила компоновщика множеств, включая спецификаторы домена, эквивалентны. То есть

{ Displaystyle {х in A mid P (x) } = {x in B mid Q (x) }}

если и только если

{ Displaystyle ( forall т) [(т в А земля Р (т)) Leftrightarrow (т в В земля Q (т))]}

.

Поэтому, чтобы доказать равенство двух множеств, определенных нотацией построителя множеств, достаточно доказать эквивалентность их предикатов, включая квалификаторы предметной области.

Например,

{ Displaystyle {х in mathbb {R} mid x ^ {2} = 1 } = {x in mathbb {Q} mid | x | = 1 }}

потому что два предиката правила логически эквивалентны:

{ displaystyle (x in mathbb {R} land x ^ {2} = 1) Leftrightarrow (x in mathbb {Q} land | x | = 1).}

Эта эквивалентность имеет место, потому что для любого действительного числа Икс, у нас есть ${ displaystyle x ^ {2} = 1}$ если и только если Икс рациональное число с ${ Displaystyle | х | = 1}$ . В частности, оба набора равны множеству ${ displaystyle {- 1,1 }}$ .

Установить аксиому существования

Во многих формальных теориях множеств, таких как Теория множеств Цермело – Френкеля, нотация построителя множеств не является частью формального синтаксиса теории. Вместо этого есть установить схему аксиом существования, который гласит, что если $E$ это набор и $Φ (Икс)$ - формула на языке теории множеств, то существует множество $Y$ члены которого в точности являются элементами $E$ это удовлетворяет $Φ$ :

{ Displaystyle ( forall E) ( существует Y) ( forall x) [x in Y Leftrightarrow x in E land Phi (x)].}

Набор $Y$ полученный из этой аксиомы - это в точности набор, описанный в обозначениях конструктора множеств как ${ Displaystyle {х ин Е мид фи (х) }}$ .

Параллели в языках программирования

Аналогичные обозначения доступны в ряде языки программирования (особенно Python и Haskell ) это понимание списка, который объединяет карта и фильтр операции над одним или несколькими списки.

В Python фигурные скобки конструктора множеств заменены квадратными скобками, скобками или фигурными скобками, давая список, генератор, и установить объекты соответственно. Python использует синтаксис на основе английского языка. Haskell заменяет фигурные скобки конструктора множеств квадратными скобками и использует символы, включая стандартную вертикальную черту конструктора множеств.

То же самое может быть достигнуто в Scala с использованием последовательностей, где ключевое слово "for" возвращает список полученных переменных с использованием ключевого слова "yield".^[8]

Рассмотрим эти примеры нотации конструктора множеств на некоторых языках программирования:

	Пример 1	Пример 2
Набор-строитель	${ Displaystyle {л \| л в L }}$	${ Displaystyle {(к, х) \| к в К клин х в Икс клин Р (х) }}$
Python	{л за л в L}	{(k, Икс) за k в K за Икс в Икс если п(Икс)}
Haskell	[л \| л <- ls]	[(k, Икс) \| k <- кс, Икс <- хз, п Икс]
Scala	за (л <- L) урожай л	за (k <- K; Икс <- Икс если п(Икс)) урожай (k,Икс)
SQL	ВЫБРАТЬ л ИЗ L_set	ВЫБРАТЬ k, Икс ИЗ K_set, X_set КУДА п(Икс)

Нотация конструктора множеств и нотация понимания списка являются экземплярами более общей нотации, известной как монадные понимания, что позволяет выполнять операции, подобные карте / фильтру, над любым монада с нулевой элемент.

Смотрите также

Глоссарий теории множеств

Примечания

^ Розен, Кеннет (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 111–112. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ Ричард Ауфманн, Вернон С. Баркер и Джоан Локвуд, 2007 г., Промежуточная алгебра с приложениями, Брукс Коул, стр. 6.
^ Майкл Дж. Куллинан, 2012, Переход к математике с доказательствами, Jones & Bartlett, стр. 44 и далее.
^ «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 11 апреля 2020 г.. Получено 20 августа 2020.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Набор". mathworld.wolfram.com. Получено 20 августа 2020.
^ «Обозначение конструктора множеств». mathsisfun.com. Получено 20 августа 2020.
^ Ирвин, Эндрю Дэвид; Дойч, Гарри (9 октября 2016 г.) [1995]. "Парадокс Рассела". Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 6 августа 2017.
^ «Последовательность понимания». Scala. Получено 6 августа 2017.

[1] Розен, Кеннет (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 111–112. ISBN 978-0-07-288008-3.

[2] Ричард Ауфманн, Вернон С. Баркер и Джоан Локвуд, 2007 г., Промежуточная алгебра с приложениями, Брукс Коул, стр. 6.

[3] Майкл Дж. Куллинан, 2012, Переход к математике с доказательствами, Jones & Bartlett, стр. 44 и далее.

[4] «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 11 апреля 2020 г.. Получено 20 августа 2020.

[5] Вайсштейн, Эрик В. "Набор". mathworld.wolfram.com. Получено 20 августа 2020.

[6] «Обозначение конструктора множеств». mathsisfun.com. Получено 20 августа 2020.

[7] Ирвин, Эндрю Дэвид; Дойч, Гарри (9 октября 2016 г.) [1995]. "Парадокс Рассела". Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 6 августа 2017.

[8] «Последовательность понимания». Scala. Получено 6 августа 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]