Коммутативная магма - Commutative magma

В математика, существуют магмы которые коммутативный но нет ассоциативный. Простой пример такой магмы может быть получен из детской игры в камень ножницы Бумага. Такие магмы дают начало неассоциативные алгебры.

Коммутативная неассоциативная магма, полученная из игры "камень, ножницы, бумага"

Позволять ${displaystyle M: = {r, p, s}}$ , обозначающие жесты "камень", "бумага" и "ножницы" соответственно, и рассмотрим бинарная операция ${displaystyle cdot: M imes M o M}$ вытекает из правил игры следующим образом:

Для всех

{displaystyle x, yin M}

:

Если ${displaystyle xeq y}$ и ${displaystyle x}$ удары ${displaystyle y}$ в игре, то ${displaystyle xcdot y = ycdot x = x}$
${displaystyle xcdot x = x}$ Т.е. каждый ${displaystyle x}$ является идемпотент.

Так что например:

${displaystyle rcdot p = pcdot r = p}$ «бумага бьет камень»;
${displaystyle scdot s = s}$ "ножницы завяжите ножницами".

Это приводит к Стол Кэли:

{displaystyle {egin {array} {c | ccc} cdot & r & p & s hline r & r & p & r p & p & p & s s & r & s & send {array}}}

По определению магма ${displaystyle (M, cdot)}$ коммутативен, но также не ассоциативен, как показано:

{displaystyle rcdot (pcdot s) = rcdot s = r}

но

{displaystyle (rcdot p) cdot s = pcdot s = s}

т.е.

{displaystyle rcdot (pcdot s) eq (rcdot p) cdot s}

Другие примеры

"иметь в виду "операция ${displaystyle xoplus y = (x + y) / 2}$ на рациональное число (или любая замкнутая коммутативная система счисления) также коммутативна, но не в общем ассоциативна, например

{displaystyle -4oplus (0oplus +4) = - 4oplus + 2 = -1}

но

{displaystyle (-4oplus 0) oplus + 4 = -2oplus + 4 = + 1}

Как правило, означает операции изучаемые в топологии не обязательно должны быть ассоциативными.

Конструкция, примененная в предыдущем разделе к «камень-ножницы-бумага», легко применима к вариантам игры с другим количеством жестов, как описано в разделе Вариации, пока есть два игрока и условия между ними симметричны; более абстрактно, это может быть применено к любому трихотомический бинарное отношение (как "биты" в игре). Результирующая магма будет ассоциативной, если отношение транзитивно и, следовательно, является (строгим) общий заказ; в противном случае, если он конечен, он содержит направленные циклы (например, камень-ножницы-бумага-камень), и магма не ассоциативна. Чтобы увидеть последнее, рассмотрите возможность объединения всех элементов в цикле в обратном порядке, то есть так, чтобы каждый объединенный элемент превосходил предыдущий; результатом является последний объединенный элемент, в то время как ассоциативность и коммутативность будут означать, что результат зависит только от набора элементов в цикле.

Нижний ряд в Диаграмма Карно выше приведены дополнительные примеры операций, определенных на целые числа (или любой коммутативное кольцо ).

Производные коммутативные неассоциативные алгебры

Используя пример камень-ножницы-бумага, можно построить коммутативный неассоциативный алгебра над полем ${displaystyle K}$ : брать ${displaystyle A}$ быть трехмерным векторное пространство над ${displaystyle K}$ элементы которого записываются в виде

{displaystyle (x, y, z) = xr + yp + zs,}

за ${displaystyle x, y, zin K}$ . Сложение векторов и скалярное умножение определены составная часть -в смысле, а векторы умножаются с использованием приведенных выше правил умножения элементов ${displaystyle r, p, s}$ .Набор

{displaystyle {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}}

т.е.

{displaystyle {r, p, s}}

образует основа для алгебры ${displaystyle A}$ . Как и раньше, векторное умножение в ${displaystyle A}$ коммутативен, но не ассоциативен.

Та же процедура может быть использована для получения любой коммутативной магмы. ${displaystyle M}$ коммутативная алгебра над ${displaystyle K}$ на ${displaystyle K ^ {M}}$ , который будет неассоциативным, если ${displaystyle M}$ является.