Свойство отмены - Cancellation property
 | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, понятие отменяющий является обобщением понятия обратимый.
Элемент а в магма (M, ∗) имеет осталось свойство отмены (или есть лево-отменяющий) если для всех б и c в M, а ∗ б = а ∗ c всегда подразумевает, что б = c.
Элемент а в магме (M, ∗) имеет право аннулирования собственности (или есть право-отменяющий) если для всех б и c в M, б ∗ а = c ∗ а всегда подразумевает, что б = c.
Элемент а в магме (M, ∗) имеет свойство двусторонней отмены (или есть отменяющий), если оно является одновременно левым и правым отменяющим.
Магма (M, ∗) имеет свойство отмены слева (или является отменяющим слева), если все а в магме являются левыми компенсирующими, и аналогичные определения применимы к правым компенсирующим или двусторонним компенсирующим свойствам.
Элемент, обратимый слева, является сокращающим слева, и аналогично для правого и двустороннего.
Например, каждый квазигруппа, а значит, каждый группа, является отменным.
Интерпретация
Сказать, что элемент а в магме (M, ∗) с левым сокращением, это означает, что функция грамм : Икс ↦ а ∗ Икс является инъективный.[1] Что функция грамм инъективно означает, что при некотором равенстве вида а * Икс = б, где единственное неизвестное Икс, есть только одно возможное значение Икс удовлетворяющие равенству. Точнее, мы можем определить некоторую функцию ж, обратное грамм, так что для всех Икс ж(грамм(Икс)) = ж(а ∗ Икс) = Икс. Другими словами, для всех Икс и у в M, если а * Икс = а * у, тогда Икс = у.[2]
Примеры сокращаемых моноидов и полугрупп
Положительные (равно неотрицательные) целые числа образуют сокращение полугруппа под дополнением. Неотрицательные целые числа образуют сокращение моноид под дополнением.
Фактически, любая свободная полугруппа или моноид подчиняется закону сокращения, и в общем случае любая полугруппа или моноид, встраиваемая в группу (как это явно делают приведенные выше примеры), будет подчиняться закону сокращения.
С другой стороны, (подполугруппа) мультипликативная полугруппа элементов звенеть которые не являются делителями нуля (что представляет собой просто набор всех ненулевых элементов, если рассматриваемое кольцо является домен, как и целые числа) имеет свойство отмены. Обратите внимание, что это остается в силе, даже если рассматриваемое кольцо некоммутативно и / или неединично.
Неконтактные алгебраические структуры
Хотя закон отмены справедлив для сложения, вычитания, умножения и деления настоящий и сложные числа (за единственным исключением умножения на нуль и деление нуля на другое число), существует ряд алгебраических структур, в которых закон отмены не действует.
В перекрестное произведение двух векторов не подчиняется закону сокращения. Если а × б = а × c, то из этого не следует, что б = c даже если а ≠ 0.
Умножение матриц также не обязательно подчиняется закону об отмене. Если AB = AC и А ≠ 0, то нужно показать, что матрица А является обратимый (т.е. имеет Det (А) ≠ 0) прежде, чем можно будет сделать вывод, что B = C. Если det (А) = 0, тогда B может не равняться C, поскольку матрица уравнение ТОПОР = B не будет иметь единственного решения для необратимой матрицы А.
Также обратите внимание, что если AB = CA и А ≠ 0 и матрица А является обратимый (т.е. имеет Det (А) ≠ 0) не обязательно верно, что B = C. Отмена действует только для AB = AC и BA = CA (при условии, что матрица А является обратимый) а не для AB = CA и BA = AC.