Медиальная магма - Medial magma

В абстрактная алгебра, а средняя магма или же медиальный группоид это магма или же группоид (это набор с бинарная операция ) который удовлетворяет личность

, или проще

для всех Икс, у, ты и v, используя соглашение, согласно которому сопоставление обозначает ту же операцию, но имеет более высокий приоритет. Эту личность по-разному называли медиальный, абелевский, чередование, транспозиция, обмен, бикоммутативный, бисимметричный, суркоммутативный, энтропийный и Т. Д.[1]

Любой коммутативная полугруппа является средней магмой, а средняя магма имеет элемент идентичности если и только если это коммутативный моноид. Другой класс полугрупп, образующих средние магмы, - это нормальные группы.[2] Медиальные магмы не обязательно должны быть ассоциативными: для любых нетривиальных абелева группа с операцией + и целые числа мп, новая бинарная операция, определяемая дает среднюю магму, которая в целом не является ни ассоциативной, ни коммутативной.

С использованием категоричный значение товар, для магмы M, можно определить Декартов квадрат магмаM × M с операцией

(Икс, у) ∙ (ты, v) = (Иксты, уv) .

Бинарная операция изM, рассматриваемое как отображение из M × M к M, карты (Икс, у) к Иксу, (ты, v) к тыv, и (Иксты, уv)  к (Иксты) ∙ (уv) Следовательно, магмаM является медиальным тогда и только тогда, когда его бинарная операция является магмой гомоморфизм изM × M кM. Это легко выразить через коммутативная диаграмма, что приводит к понятию медиальный объект магмы в категория с декартовым произведением. (См. Обсуждение в объект авто магмы.)

Если ж и грамм находятся эндоморфизмы средней магмы, то отображениежграмм определяется поточечным умножением

сам по себе является эндоморфизмом. Отсюда следует, что множество End (M) всех эндоморфизмов средней магмы M сама по себе является средней магмой.

Теорема Брука – Мердока – Тойоды.

В Теорема Брука-Мердока-Тойоды дает следующую характеристику медиального квазигруппы. Дана абелева группа А и две поездки автоморфизмы φ и ψ А, определите операцию на А к

Икс ∗ у = φ (Икс) + ψ (у) + c,

куда c какой-то фиксированный элементА. Нетрудно доказать, что А образует медиальную квазигруппу при этой операции. Теорема Брука – Тойоды утверждает, что каждая медиальная квазигруппа имеет этот вид, т.е. изоморфный к квазигруппе, определенной таким образом из абелевой группы.[3] В частности, каждая медиальная квазигруппа является изотопический в абелеву группу.

Результат был независимо получен в 1941 г. Д. К. Мердоком и К. Тойодой. Затем он был повторно открыт Бруком в 1944 году.

Обобщения

Период, термин медиальный или (чаще) энтропийный также используется для обобщения на несколько операций. An алгебраическая структура энтропийная алгебра[4] если каждые две операции удовлетворяют обобщению медиального тождества. Позволять ж и грамм быть операциями арность м и п, соответственно. потом ж и грамм необходимы для удовлетворения

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Исторические комментарии В архиве 2011-07-18 на Wayback Machine J.Jezek и T.Kepka: Medial groupoids Rozpravy CSAV, Rada mat. Прир. вед 93/2 (1983), 93 с.
  2. ^ Ямада, Миюки (1971), "Замечание об исключительных полугруппах", Полугруппа Форум, 3 (1): 160–167, Дои:10.1007 / BF02572956.
  3. ^ Кузьмин, Э. Н., Шестаков, И. П. (1995). «Неассоциативные структуры». Алгебра VI. Энциклопедия математических наук. 6. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 197–280. ISBN  978-3-540-54699-3.
  4. ^ Davey, B.A .; Дэвис, Г. (1985). «Тензорные произведения и энтропийные разновидности». Универсальная алгебра. 21: 68–88. Дои:10.1007 / BF01187558.