Медиальная магма - Medial magma
В абстрактная алгебра, а средняя магма или же медиальный группоид это магма или же группоид (это набор с бинарная операция ) который удовлетворяет личность
- , или проще
для всех Икс, у, ты и v, используя соглашение, согласно которому сопоставление обозначает ту же операцию, но имеет более высокий приоритет. Эту личность по-разному называли медиальный, абелевский, чередование, транспозиция, обмен, бикоммутативный, бисимметричный, суркоммутативный, энтропийный и Т. Д.[1]
Любой коммутативная полугруппа является средней магмой, а средняя магма имеет элемент идентичности если и только если это коммутативный моноид. Другой класс полугрупп, образующих средние магмы, - это нормальные группы.[2] Медиальные магмы не обязательно должны быть ассоциативными: для любых нетривиальных абелева группа с операцией + и целые числа м ≠ п, новая бинарная операция, определяемая дает среднюю магму, которая в целом не является ни ассоциативной, ни коммутативной.
С использованием категоричный значение товар, для магмы M, можно определить Декартов квадрат магмаM × M с операцией
- (Икс, у) ∙ (ты, v) = (Икс ∙ ты, у ∙ v) .
Бинарная операция ∙ изM, рассматриваемое как отображение из M × M к M, карты (Икс, у) к Икс ∙ у, (ты, v) к ты ∙ v, и (Икс ∙ ты, у ∙ v) к (Икс ∙ ты) ∙ (у ∙ v) Следовательно, магмаM является медиальным тогда и только тогда, когда его бинарная операция является магмой гомоморфизм изM × M кM. Это легко выразить через коммутативная диаграмма, что приводит к понятию медиальный объект магмы в категория с декартовым произведением. (См. Обсуждение в объект авто магмы.)
Если ж и грамм находятся эндоморфизмы средней магмы, то отображениеж∙грамм определяется поточечным умножением
сам по себе является эндоморфизмом. Отсюда следует, что множество End (M) всех эндоморфизмов средней магмы M сама по себе является средней магмой.
Теорема Брука – Мердока – Тойоды.
В Теорема Брука-Мердока-Тойоды дает следующую характеристику медиального квазигруппы. Дана абелева группа А и две поездки автоморфизмы φ и ψ А, определите операцию ∗ на А к
- Икс ∗ у = φ (Икс) + ψ (у) + c,
куда c какой-то фиксированный элементА. Нетрудно доказать, что А образует медиальную квазигруппу при этой операции. Теорема Брука – Тойоды утверждает, что каждая медиальная квазигруппа имеет этот вид, т.е. изоморфный к квазигруппе, определенной таким образом из абелевой группы.[3] В частности, каждая медиальная квазигруппа является изотопический в абелеву группу.
Результат был независимо получен в 1941 г. Д. К. Мердоком и К. Тойодой. Затем он был повторно открыт Бруком в 1944 году.
Обобщения
Период, термин медиальный или (чаще) энтропийный также используется для обобщения на несколько операций. An алгебраическая структура энтропийная алгебра[4] если каждые две операции удовлетворяют обобщению медиального тождества. Позволять ж и грамм быть операциями арность м и п, соответственно. потом ж и грамм необходимы для удовлетворения
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Исторические комментарии В архиве 2011-07-18 на Wayback Machine J.Jezek и T.Kepka: Medial groupoids Rozpravy CSAV, Rada mat. Прир. вед 93/2 (1983), 93 с.
- ^ Ямада, Миюки (1971), "Замечание об исключительных полугруппах", Полугруппа Форум, 3 (1): 160–167, Дои:10.1007 / BF02572956.
- ^ Кузьмин, Э. Н., Шестаков, И. П. (1995). «Неассоциативные структуры». Алгебра VI. Энциклопедия математических наук. 6. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 197–280. ISBN 978-3-540-54699-3.
- ^ Davey, B.A .; Дэвис, Г. (1985). «Тензорные произведения и энтропийные разновидности». Универсальная алгебра. 21: 68–88. Дои:10.1007 / BF01187558.
- Мердок, округ Колумбия (май 1941 г.), "Структура абелевых квазигрупп", Пер. Амер. Математика. Soc., 49 (3): 392–409, Дои:10.1090 / с0002-9947-1941-0003427-2, JSTOR 1989940
- Тойода, К. (1941), «Об аксиомах линейных функций», Proc. Imp. Акад. Токио, 17 (7): 221–7, Дои:10.3792 / pia / 1195578751
- Брук, Р.Х. (январь 1944 г.), "Некоторые результаты теории квазигрупп", Пер. Амер. Математика. Soc., 55 (1): 19–52, Дои:10.1090 / с0002-9947-1944-0009963-х, JSTOR 1990138
- Ježek, J .; Кепка, Т. (1983), "Медиальные группоиды", Rozpravy Československé Akad. Věd Řada Mat. Přírod. Věd, 93 (2): 93 стр.