Изотопия петель

в математический поле абстрактная алгебра, изотопия - это отношение эквивалентности используется для классификации алгебраического понятия петля.

Изотопия петель и квазигрупп была введена Альберт (1943 ), основываясь на его несколько более раннем определении изотопия алгебр, который, в свою очередь, был вдохновлен работами Стинрода.

Изотопия квазигрупп

Каждая квазигруппа изотопна петле.

Позволять ${ Displaystyle (Q, cdot)}$ и ${ displaystyle (P, circ)}$ быть квазигруппы. А квазигрупповая гомотопия из Q к п это тройка (α, β, γ) карт из Q к п такой, что

{ Displaystyle альфа (х) цирку бета (у) = гамма (х CDOT у) ,}

для всех Икс, у в Q. Гомоморфизм квазигрупп - это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

An изотопия является гомотопией, для которой каждое из трех отображений (α, β, γ) это биекция. Две квазигруппы изотопический если между ними есть изотопия. С точки зрения Латинские квадраты, изотопия (α, β, γ) дается перестановкой строк α, перестановка столбцов β, и перестановка базового набора элементов γ.

An автотопия изотопия квазигруппы ${ Displaystyle (Q, cdot)}$ себе. Множество всех автотопий квазигруппы образуют группу с группа автоморфизмов как подгруппа.

А основная изотопия изотопия, для которой γ тождественная карта на Q. В этом случае базовые наборы квазигрупп должны быть одинаковыми, но умножения могут отличаться.

Позволять ${ Displaystyle (L, cdot)}$ и ${ Displaystyle (К, circ)}$ быть петлями и пусть ${ Displaystyle ( альфа, бета, гамма): от L до K}$ быть изотопией. Тогда это произведение основной изотопии ${ displaystyle ( alpha _ {0}, beta _ {0}, id)}$ из ${ Displaystyle (L, cdot)}$ и ${ displaystyle (L, *)}$ и изоморфизм ${ displaystyle gamma}$ между ${ displaystyle (L, *)}$ и ${ Displaystyle (К, circ)}$ . Действительно, положим ${ displaystyle alpha _ {0} = gamma ^ {- 1} alpha}$ , ${ displaystyle beta _ {0} = gamma ^ {- 1} beta}$ и определим операцию ∗ как ${ Displaystyle х * у = альфа (х) CDOT бета (у)}$ .

Позволять ${ Displaystyle (L, cdot)}$ и ${ Displaystyle (L, circ)}$ быть петлями и пусть е быть нейтральный элемент из ${ Displaystyle (L, cdot)}$ . Позволять ${ Displaystyle ( альфа, бета, идентификатор)}$ основная изотопия от ${ Displaystyle (L, cdot)}$ к ${ Displaystyle (L, circ)}$ . потом ${ displaystyle alpha = R_ {b} ^ {- 1}}$ и ${ displaystyle beta = L_ {a} ^ {- 1}}$ куда ${ Displaystyle а = альфа (е)}$ и ${ displaystyle b = beta (e)}$ .

Петля L это G-петля если он изоморфен всем своим петлевым изотопам.

Псевдоавтоморфизмы петель

Позволять L быть петлей и c элемент L. Биекция α из L называется правый псевдоавтоморфизм из L с сопутствующий элемент c если для всех Икс, у личность

{ Displaystyle альфа (ху) с = альфа (х) ( альфа (у) с)}

держит. Аналогично определяются левые псевдоавтоморфизмы.

Универсальные свойства

Мы говорим, что свойство цикла п является универсальный если он изотопически инвариантен, то есть п держится за петлю L если и только если п выполняется для всех петлевых изотопов L. Ясно, что достаточно проверить, п справедливо для всех основных изотопов L.

Например, поскольку изотопы коммутативной петли не обязательно должны быть коммутативными, коммутативность является нет универсальный. Тем не мение, ассоциативность и будучи абелева группа универсальные свойства. Фактически, каждая группа представляет собой G-петлю.

Геометрическая интерпретация изотопии

Учитывая цикл L, можно определить падение геометрическое структура называется 3-сетка. И наоборот, после фиксации начала координат и порядка классов линий 3-цепь порождает цикл. Выбор другого начала координат или замена классов линий может привести к неизоморфным циклам координат. Однако координатные петли всегда изотопны. Другими словами, две петли изотопны тогда и только тогда, когда они эквивалентны из геометрическая точка зрения.

Словарь между алгебраическими и геометрическими понятиями выглядит следующим образом

Группа автотопизма петли соответствует сохраняющим групповое направление коллинеациям 3-сети.
Псевдоавтоморфизмы соответствуют коллинеациям, фиксирующим две оси системы координат.
Набор сопутствующих элементов - это орбита стабилизатора оси в группе коллинеации.
Петля является G-петлей тогда и только тогда, когда группа коллинеаций действует транзитивно на множестве точек 3-сети.
Недвижимость п универсален тогда и только тогда, когда он не зависит от выбора происхождения.

Смотрите также

Изотопия алгебры

Изотопия петель - Википедия - Isotopy of loops

Содержание

Изотопия квазигрупп