Конструируемый многоугольник - Constructible polygon

Построение правильного пятиугольника

В математике конструктивный многоугольник это правильный многоугольник это может быть построен с компасом и линейкой. Например, обычный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а обычный семиугольник не является. Существует бесконечно много конструктивных многоугольников, но известен только 31 многоугольник с нечетным числом сторон.

Условия конструктивности

Количество сторон известных конструктивных многоугольников, имеющих до 1000 сторон (жирный шрифт) или количество нечетных сторон (красный)

Строительство штатного 17-угольника

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки; другие нет. В древнегреческие математики умел построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами,^[1]^{:п. xi} и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника.^[1]^{:стр. 49–50} В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные многоугольники с циркулем и линейкой? Если нет, то какой п-угольники (то есть многоугольники с п края) можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность регулярного 17-угольник в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию Гауссовские периоды в его Disquisitiones Arithmeticae. Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие о конструктивности правильных многоугольников. Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо, но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было предоставлено Пьер Ванцель в 1837 году. Результат известен как Теорема Гаусса – Вантцеля.:

Обычный п-gon (то есть многоугольник с п стороны) можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда п является произведением степени двойки и любого количества различных Простые числа Ферма (в том числе ни одного).

(Простое число Ферма - это простое число формы ${ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {m})} + 1.}$ )

Чтобы свести геометрическую задачу к задаче чистого теория чисел, доказательство использует тот факт, что регулярное п-gon можно построить тогда и только тогда, когда косинус, ${ Displaystyle соз (2 пи / п)}$ , это конструктивное число - то есть может быть записано в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. Эквивалентно обычный п-gon можно построить, если есть корень из пth круговой полином конструктивно.

Подробные результаты по теории Гаусса

Переформулируем теорему Гаусса-Вантцеля:

Обычный п-gon можно построить с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда п = 2^kп₁п₂...п_т куда k и т неотрицательные целые числа, а п_яs (когда т > 0) - различные простые числа Ферма.

Пять известных Простые числа Ферма находятся:

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, и F₄ = 65537 (последовательность A019434 в OEIS ).

Поскольку существует 31 комбинация от одного до пяти простых чисел Ферма, существует 31 известный конструктивный многоугольник с нечетным числом сторон.

Следующие двадцать восемь чисел Ферма, F₅ через F₃₂, известны как составные.^[2]

Таким образом, регулярный п-gon можно построить, если

п = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542 , 1632, 1920, 2040, 2048, ... (последовательность A003401 в OEIS ),

в то время как регулярный п-угольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки, если

п = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127 , ... (последовательность A004169 в OEIS ).

Связь с треугольником Паскаля

Поскольку известно 5 простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, которое является произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, 31 конструктивный нечетный правильный многоугольник. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (последовательность A045544 в OEIS ). Как прокомментировал Джон Конвей в Книга чисел, эти числа, записанные в двоичном формате, равны первым 32 строкам по модулю -2 Треугольник Паскаля, минус верхняя строка, которая соответствует моногон. (Из-за этого единицы в таком списке образуют приближение к Серпинский треугольник.) Этот шаблон после этого не работает, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют конструктивным многоугольникам. Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма, и поэтому неизвестно, сколько существует нечетных конструктивных правильных многоугольников. В общем, если есть q Простые числа Ферма, то есть 2^q−1 нечетных правильных конструктивных многоугольников.

Общая теория

В свете дальнейшей работы над Теория Галуа, разъяснены принципы этих доказательств. Это просто показать из аналитическая геометрия что конструктивные длины должны происходить из базовых длин путем решения некоторой последовательности квадратные уравнения.^[3] С точки зрения теория поля, такие длины должны содержаться в расширении поля, генерируемом башней квадратичные расширения. Отсюда следует, что поле, порожденное конструкциями, всегда будет иметь степень над базовым полем, равную степени двойки.

В конкретном случае обычного п-гон, вопрос сводится к вопросу о построение длины

потому что 2

π

/п ,

который является тригонометрическое число и, следовательно, алгебраическое число. Это число лежит в п-го круговое поле - и фактически в его реальном подполе, которое является полностью реальное поле и рациональный векторное пространство из измерение

½φ (п),

где φ (п) является Функция Эйлера. Результат Вантцеля сводится к вычислению, показывающему, что φ (п) является степенью двойки именно в указанных случаях.

Что касается конструкции Гаусса, то, когда группа Галуа 2-группа, следует, что она имеет последовательность подгрупп порядков

1, 2, 4, 8, ...

которые вложены каждый в следующий (a серия композиций, в теория групп термины), что довольно просто доказать по индукции в этом случае абелева группа. Следовательно, внутри кругового поля вложены подполя, каждое из которых имеет степень 2 по сравнению с предыдущим. Генераторы для каждого такого поля можно записать как Гауссовский период теория. Например, для п = 17 есть период, который представляет собой сумму восьми корней из единицы, один - сумму четырех корней из единицы, а другой - сумму двух, т.е.

потому что 2

π

/17 .

Каждый из них является корнем квадратное уровненеие с точки зрения предыдущего. Кроме того, эти уравнения имеют настоящий скорее, чем сложный корни, поэтому в принципе может быть решено геометрическим построением: это потому, что вся работа происходит внутри полностью реального поля.

Таким образом, результат Гаусса можно понять в современных терминах; для фактического расчета решаемых уравнений периоды можно возвести в квадрат и сравнить с «более низкими» периодами с помощью вполне выполнимого алгоритма.

Конструкции компаса и линейки

Конструкции компаса и линейки известны всеми известными конструктивными полигонами. Если п = п·q с п = 2 или п и q совмещать, п-угольник может быть построен из п-угольник и q-гон.

Если п = 2, нарисуйте q-угольник и делить пополам один из его центральных углов. Отсюда 2q-гон может быть построен.
Если п > 2, впишите п-угольник и q-угольник в одном круге так, чтобы у них была общая вершина. Потому что п и q взаимно просты, существуют целые числа а,б такой, что ap + bq = 1. потом 2aπ / q + 2bπ / p = 2π / pq. Отсюда п·q-гон может быть построен.

Таким образом, достаточно найти компас и линейку для п-угольники где п является простым числом Ферма.

Конструкция равностороннего треугольника проста и известна с тех пор. Античность. Видеть равносторонний треугольник.
Конструкции правильного пятиугольника описывались как Евклид (Элементы, ок. 300 г. до н.э.), и Птолемей (Альмагест, около 150 г. н.э.). Видеть пятиугольник.
Хотя Гаусс доказано что обычный 17-угольник конструктивен, на самом деле он не Показать как это сделать. Первая конструкция принадлежит Эрчингеру, через несколько лет после работы Гаусса. Видеть гептадекагон.
Первые явные конструкции регулярного 257-угольник были даны Магнус Георг Паукер (1822)^[4] и Фридрих Юлиус Ришело (1832).^[5]
Конструкция для обычного 65537-угольник был впервые дан Иоганн Густав Гермес (1894 г.). Строительство очень сложное; Гермес потратил 10 лет на завершение 200-страничной рукописи.^[6]

Галерея

Обычный пятиугольник, начертанный в круге. Обычный 257-угольник с использованием Carlyle Circle.gif
Слева направо конструкции 15-угольник, 17-угольник, 257-угольник и 65537-угольник. Показан только первый этап строительства 65537-угольников; конструкции 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника приведены в законченном виде.

Прочие конструкции

Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, применяется конкретно к компас и линейка строительство. Больше конструкций становится возможным, если разрешены другие инструменты. Так называемой конструкции Neusis, например, использовать отмечен линейка. Построения представляют собой математическую идеализацию и предполагается, что они выполнены точно.

Правильный многоугольник с п стороны могут быть построены с помощью линейки, циркуля и тройного угла тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle п = 2 ^ {r} 3 ^ {s} p_ {1} p_ {2} cdots p_ {k},}$ куда г, с, к ≥ 0 и где п_я отличны Простые числа Пьерпона больше 3 (простые числа вида ${ displaystyle 2 ^ {t} 3 ^ {u} +1).}$ ^[7]^{:Thm. 2}

Смотрите также

внешняя ссылка

Дуэйн В. ДеТемпл (1991). «Круги Карлайла и простота Лемуана многоугольных конструкций». Американский математический ежемесячник. 98 (2): 97–108. Дои:10.2307/2323939. JSTOR 2323939. МИСТЕР 1089454.
Кристиан Готтлиб (1999). «Простое и понятное построение правильного 257-угольника». Математический интеллигент. 21 (1): 31–37. Дои:10.1007 / BF03024829. МИСТЕР 1665155.
Формулы правильного многоугольника, Спросите доктора математики FAQ.
Карл Шик: Weiche Primzahlen und das 257-Eck: eine analytische Lösung des 257-Ecks. Цюрих: К. Шик, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9.
65537-угольник, точное построение 1-й стороны, с использованием Квадратриса Гиппия и GeoGebra в качестве вспомогательных средств с кратким описанием (немецкий)

[Bold-1] а ^б Смелый, Бенджамин. Известные задачи геометрии и способы их решения, Dover Publications, 1982 (начало 1969 г.).

[2] Статус факторинга Fermat В архиве 2016-02-10 в Wayback Machine пользователя Wilfrid Keller.

[3] Кокс, Дэвид А. (2012), «Теорема 10.1.6», Теория Галуа, Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 259, г. Дои:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.

[4] Магнус Георг Паукер (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis". Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (на немецком). 2: 160–219.

[5] Фридрих Юлиус Ришело (1832 г.). "De Resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de Divisione circi per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. Дои:10.1515 / crll.1832.9.337.

[6] Иоганн Густав Гермес (1894). "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком). Гёттинген. 3: 170–186.

[Gleason-7] Глисон, Эндрю М. (Март 1988 г.). «Трисечение угла, семиугольник и трехугольник». Американский математический ежемесячный журнал. 95 (3): 185–194. Дои:10.2307/2323624.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]