Теорема Нивенса - Википедия - Nivens theorem
В математика, Теорема Нивена, названный в честь Иван Нивен, утверждает, что единственный рациональный ценности θ в интервале 0 ° ≤θ ≤ 90 °, для которого синус из θ градусы тоже рациональное число:[1]
![{ begin {выровнен} sin 0 ^ { circ} & = 0, [10pt] sin 30 ^ { circ} & = { frac {1} {2}}, [10pt] грех 90 ^ { circ} & = 1. end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778d2cd694809f428b1a92aac1ee3a3dfd52d817)
В радианы, потребовалось бы, чтобы 0 ≤Икс ≤ π/ 2, что Икс/π быть рациональным, и этот грехИкс быть рациональным. Отсюда вывод, что единственными такими значениями являются sin 0 = 0, sinπ/ 6 = 1/2, и грехπ/2 = 1.
Теорема появляется как следствие 3.12 в книге Нивена о иррациональные числа.[2]
Теорема распространяется на другие тригонометрические функции также.[2] Для рациональных значений θ единственными рациональными значениями синуса или косинуса являются 0, ± 1/2 и ± 1; единственные рациональные значения секанса или косеканса - ± 1 и ± 2; и единственными рациональными значениями тангенса или котангенса являются 0 и ± 1.[3]
Смотрите также
- Пифагорейские тройки образуют прямоугольные треугольники, в которых тригонометрические функции всегда будут принимать рациональные значения, хотя острые углы не являются рациональными
- Тригонометрические функции
- Тригонометрическое число
Рекомендации
- ^ Шаумбергер, Норман (1974). "Классная теорема о тригонометрических иррациональностях". Двухлетний математический журнал колледжа. 5 (1): 73–76. Дои:10.2307/3026991. JSTOR 3026991.
- ^ а б Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа. В Математические монографии Каруса. Математическая ассоциация Америки. п.41. МИСТЕР 0080123.
- ^ Доказательство для косинусного случая выглядит как лемма 12 в Bennett, Curtis D .; Glass, A.MW .; Секели, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». Американский математический ежемесячный журнал. 111 (4): 322–329. Дои:10.2307/4145241. JSTOR 4145241. МИСТЕР 2057186.
дальнейшее чтение
- Олмстед, Дж. М. Х. (1945). «Рациональные значения тригонометрических функций». Американский математический ежемесячник. 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540.
- Лемер, Дерик Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник. 40 (3): 165–166. Дои:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.
- Янель, Йорг (2010). «Когда (со) синус рационального угла равен рациональному числу?». arXiv:1006.2938 [math.HO ].
внешняя ссылка
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Нивена». MathWorld.
- Теорема Нивена в ProofWiki