Проблема Альхазенса - Википедия - Alhazens problem

Какая точка на поверхности сферическое зеркало может отразить луч света от свечи до глаза наблюдателя?

Проблема Альхазена, также известный как Бильярдная задача Альхазена, это математическая проблема в геометрическая оптика впервые сформулировано Птолемей в 150 г. н.э.[1]Он назван в честь арабского математика XI века. Альхазен (Ибн аль-Хайсам), который представил геометрическое решение в своей Книга оптики. Алгебраическое решение включает уравнения четвертой степени и был обнаружен в 1965 году Джеком М. Элкиным.

Геометрическая формулировка

Дальнейшая информация: Геометрическая оптика

Задача состоит в том, чтобы провести линии из двух точек, которые встречаются в третьей точке на длина окружности окружности и равные углы с нормальный в таком случае (зеркальное отражение ). Таким образом, его основное применение в оптике - решение задачи: «Найти точку на сферическом вогнутом зеркале, в которой Луч света приходящий из данной точки должен ударить, чтобы отразиться в другой точке ». Это приводит к уравнение четвертой степени.[2][1]

Решение Альхазена

Ибн аль-Хайсам решил проблему, используя конические секции и геометрическое доказательство. Он вывел формулу для суммы четвертых степеней, где ранее были указаны только формулы для сумм квадратов и кубов.

Его метод можно легко обобщить, чтобы найти формулу для суммы любых интегральных степеней, хотя сам он этого не делал (возможно, потому, что ему нужна была только четвертая степень для вычисления объема интересующего его параболоида). Он использовал свой результат о суммах интегральных степеней, чтобы выполнить то, что теперь назвали бы интеграция, где формулы для сумм интегральных квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоид.[3]

Алгебраическое решение

Более поздние математики, такие как Кристиан Гюйгенс, Джеймс Грегори, Гийом де л'Опиталь, Исаак Барроу и многие другие пытались найти алгебраическое решение проблемы, используя различные методы, в том числе аналитические методы геометрии и вывод сложные числа.[4][5][6][7][8]

Алгебраическое решение проблемы было наконец найдено в 1965 году актуарием Джеком М. Элкиным.[9] Другие решения были заново открыты позже: в 1989 году Харальдом Ридом;[10]в 1990 г. (представлены в 1988 г.) Миллером и Вегом;[11]и в 1992 году Джоном Д. Смитом[4]а также Йоргом Вальдфогелем[12]

В 1997 г. Оксфорд математик Питер М. Нойман доказал теорему о том, что не существует линейка-компас для общего решения проблемы Альхазена[13][14](хотя в 1965 году Элькин уже привел контрпример к евклидовой конструкции).[4]

Обобщение

Недавно исследователи из Mitsubishi Electric Research Labs решили распространить проблему Альхазена на общие вращательно-симметричные квадратные зеркала, включая гиперболические, параболические и эллиптические зеркала.[15] Они показали, что точка зеркального отражения может быть вычислена путем решения уравнения восьмой степени в самом общем случае. Если камеру (глаз) поместить на оси зеркала, степень уравнения уменьшается до шести.[16] Проблема Альхазена также может быть распространена на множественные преломления от сферического шара. Учитывая источник света и сферический шар с определенным показателем преломления, ближайшую точку на сферическом шаре, где свет преломляется к глазу наблюдателя, можно получить, решив уравнение десятой степени.[16]

Рекомендации

  1. ^ а б Вайсштейн, Эрик. «Бильярдная задача Альхазена». Mathworld. Получено 2008-09-24.
  2. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайтам», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
  3. ^ Виктор Дж. Кац (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Математический журнал68 (3): 163–174 [165–9 & 173–4]
  4. ^ а б c Смит, Джон Д. (1992). «Замечательный Ибн аль-Хайсам». Математический вестник. 76 (475): 189–198. Дои:10.2307/3620392. JSTOR  3620392.
  5. ^ Дрекслер, Майкл; Гандер, Мартин Дж. (1998). «Круговой бильярд». SIAM Обзор. 40 (2): 315–323. Дои:10.1137 / S0036144596310872. ISSN  0036-1445.
  6. ^ Фудзимура, Масайо; Харири, Париса; Мокану, Марселина; Вуоринен, Матти (2018). "Проблема Птолемея – Альхазена и отражение в сферическом зеркале". Вычислительные методы и теория функций. 19 (1): 135–155. arXiv:1706.06924. Дои:10.1007 / s40315-018-0257-z. ISSN  1617-9447. S2CID  119303124.
  7. ^ Бейкер, Маркус (1881). «Проблема Альхазена». Американский журнал математики. 4 (1/4): 327–331. Дои:10.2307/2369168. ISSN  0002-9327. JSTOR  2369168.
  8. ^ Альперин, Роджер (18 июля 2002). «Математическое оригами: другой взгляд на оптическую проблему Альхазена». В Халле, Томас (ред.). Оригами ^ {3}. А. К. Питерс / CRC Press. Дои:10.1201 / b15735. ISBN  978-0-429-06490-6.
  9. ^ Элкин, Джек М. (1965), «Обманчиво простая задача», Учитель математики, 58 (3): 194–199, JSTOR  27968003
  10. ^ Риде, Харальд (1989), "Reflexion am Kugelspiegel. Oder: das Problem des Alhazen", Praxis der Mathematik (на немецком), 31 (2): 65–70
  11. ^ Miller, Allen R .; Вег, Эмануэль (1990). «Расчет угла скольжения зеркального отражения». Международный журнал математического образования в науке и технологиях. 21 (2): 271–274. Дои:10.1080/0020739900210213. ISSN  0020-739X.
  12. ^ Waldvogel, Jörg. "Проблема кругового бильярда." Elemente der Mathematik 47.3 (1992): 108-113. [1]
  13. ^ Нойман, Питер М. (1998), "Размышления об отражении в сферическом зеркале", Американский математический ежемесячный журнал, 105 (6): 523–528, Дои:10.1080/00029890.1998.12004920, JSTOR  2589403, МИСТЕР  1626185
  14. ^ Хайфилд, Роджер (1 апреля 1997 г.), «Дон решает последнюю загадку, оставленную древними греками», Электронный телеграф, 676, заархивировано из оригинал 23 ноября 2004 г., получено 2008-09-24
  15. ^ Агравал, Амит; Тагучи, Юичи; Рамалингам, Шрикумар (2011), За пределами проблемы Альхазена: аналитическая проекционная модель для нецентральных катадиоптрических камер с квадратичными зеркалами, Конференция IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, архивировано с оригинал на 2012-03-07
  16. ^ а б Агравал, Амит; Тагучи, Юичи; Рамалингам, Шрикумар (2010), Аналитическая прямая проекция для аксиальных нецентральных диоптрийных и катадиоптрических камер, Европейская конференция по компьютерному зрению, архивировано с оригинал на 2012-03-07