Номер Салема - Salem number

График корней многочлена Лемера с соответствующим числом Салема около Икс = 1,17628 золотом.

В математика, а Номер Салема это настоящий алгебраическое целое число α > 1 чей сопряженные корни у всех есть абсолютная величина не больше 1, и хотя бы один из которых имеет абсолютная величина ровно 1. Числа Салема представляют интерес в Диофантово приближение и гармонический анализ. Они названы в честь Рафаэль Салем.

Характеристики

Потому что он имеет корень абсолютная величина 1, минимальный многочлен для Салема номер должен быть взаимный. Отсюда следует, что 1 /α также является корнем, и что все остальные корни имеют абсолютная величина ровно один. Как следствие, α должен быть единица измерения в кольце алгебраические целые числа, будучи из норма  1.

Каждый номер Салема - это Число Перрона (вещественное алгебраическое число больше единицы, все сопряженные с которым имеют меньшее абсолютное значение).

Связь с числами Писот – Виджаярагхаван

Наименьшее известное число Салема - наибольшее настоящий корень из Полином Лемера (названный в честь Деррик Генри Лемер )

который о Икс = 1,17628: предполагается, что это действительно наименьшее число Салема, и наименьшее возможное Мера Малера неприводимого нециклотомического многочлена.[1]

Многочлен Лемера является множителем более короткого многочлена 12-й степени,

все двенадцать корней из которых удовлетворяют соотношению[2]

Числа Салема могут быть построены из Номера Писот – Виджаярагхаван. Напомним, что наименьший из последних - единственный действительный корень кубического многочлена,

известный как пластиковый номер и примерно равняется 1,324718. Это может быть использовано для генерации семейства чисел Салема, включая наименьшее из найденных на данный момент. Общий подход состоит в том, чтобы взять минимальный многочлен п(Икс) числа Писот – Виджаярагхавана и его обратный многочлен, п*(Икс), и решим уравнение

для интегральной п выше границы. Вычитание одной стороны из другой, разложение на множители и игнорирование тривиальных множителей даст минимальный многочлен некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай приведенного выше,

тогда для п = 8, это множится как,

где децик - многочлен Лемера. Используя выше п даст семью с корнем, приближающимся к пластиковый номер. Это можно лучше понять, взяв пкорни обеих сторон,

таким образом п идет выше, Икс приблизится к решению Икс3 − Икс - 1 = 0. Если используется положительный случай, то Икс приближается к пластиковому числу с противоположной стороны. Используя минимальный многочлен следующего наименьшего числа Пизо – Виджаярагхавана, получаем,

который для п = 7 факторов как,

децика, не сгенерированная в предыдущем случае, имеет корень Икс = 1,216391 ... который является 5-м наименьшим известным числом Салема. В качестве п → бесконечность, это семейство, в свою очередь, стремится к большему действительному корнюИкс4 − Икс3 − 1 = 0.

Рекомендации

  1. ^ Борвейн (2002) стр.16
  2. ^ Д. Бейли и Д. Бродхерст, Полилогарифмовая лестница семнадцатого порядка
  • Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. CMS Книги по математике. Springer-Verlag. ISBN  0-387-95444-9. Zbl  1020.12001. Глава. 3.
  • Бойд, Дэвид (2001) [1994], «Салемский номер», Энциклопедия математики, EMS Press
  • M.J. Mossinghoff. "Малые салемские числа". Получено 2016-01-07.
  • Салем, Р. (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье. Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: Д. К. Хит и компания. Zbl  0126.07802.