Теорема Дирихле о единицах - Википедия - Dirichlets unit theorem

В математика, Теорема Дирихле о единицах это основной результат в алгебраическая теория чисел из-за Питер Густав Лежен Дирихле.[1] Он определяет классифицировать из группа единиц в звенеть ОK из алгебраические целые числа из числовое поле K. В регулятор - положительное действительное число, определяющее «плотность» единиц.

Утверждается, что группа единиц конечно порождена и имеет классифицировать (максимальное количество мультипликативно независимых элементов), равное

р = р1 + р2 − 1

куда р1 это количество реальных вложений и р2 то количество сопряженных пар комплексных вложений из K. Эта характеристика р1 и р2 основан на идее, что будет столько же способов встраивать K в комплексное число поле как степень п = [K : ℚ]; они будут либо в действительные числа, или пары вложений, связанных комплексное сопряжение, так что

п = р1 + 2р2.

Обратите внимание, что если K Галуа закончился ℚ тогда либо р1= 0 или р2=0.

Другие способы определения р1 и р2 находятся

  • использовать примитивный элемент теорема написать K = ℚ (α), а потом р1 это количество конъюгирует из α которые настоящие, 2р2 числа, которые являются сложными; другими словами, если ж - минимальный многочлен от α над ℚ, тогда р1 это количество настоящих корней и 2r2 количество невещественных комплексных корней ж (которые входят в комплексно сопряженные пары);
  • написать тензорное произведение полей K ⊗ℚ ℝ как продукт полей, р1 копии ℝ и р2 копии ℂ.

Например, если K это квадратичное поле, ранг равен 1, если это действительное квадратичное поле, и 0, если мнимое квадратичное поле. Теория реальных квадратичных полей - это, по сути, теория Уравнение Пелла.

Ранг положительный для всех числовых полей, кроме ℚ и мнимые квадратичные поля, которые имеют ранг 0. «Размер» единиц обычно измеряется детерминант позвонил в регулятор. В принципе основу для единиц можно эффективно вычислить; на практике вычисления довольно сложны, когда п большой.

Кручение в группе единиц - это совокупность всех корней из единицы K, образующие конечную циклическая группа. Следовательно, для числового поля с хотя бы одним вещественным вложением кручение должно быть только {1,−1}. Есть числовые поля, например большинство мнимые квадратичные поля, не имеющий реальных вложений, которые также имеют {1,−1} для кручения его единичной группы.

Полностью реальные поля отличаются от единиц измерения. Если L/K является конечным расширением числовых полей со степенью больше 1 и групп единиц для целых чисел L и K иметь такой же ранг тогда K абсолютно реально и L является вполне комплексным квадратичным расширением. Верно и обратное. (Пример: K равно рациональным и L равно воображаемому квадратичному полю; оба имеют ранг единицы 0.)

Теорема применима не только к максимальному порядку ОK но в любом порядке О ⊂ ОK.[2]

Есть обобщение теоремы об единицах Хельмут Хассе (и позже Клод Шевалле ) для описания структуры группы S-единицы, определяя ранг группы единиц в локализации колец целых чисел. Так же Модуль Галуа структура ℚ ⊕ ОK,S ⊗ℤ ℚ был определен.[3]

Регулятор

Предположим, что ты1,...,тыр являются набором образующих единичной группы по модулю корней из единицы. Если ты является алгебраическим числом, напишите ты1, ..., тыр + 1 для различных вложений в ℝ или же ℂ, и установите Nj до 1 или 2, если соответствующее вложение является действительным или комплексным соответственно. Тогда р × (р + 1) матрица, элементы которой Nj журнал |ты j
я|, я = 1, ..., р, j = 1, ..., р + 1, обладает тем свойством, что сумма любой строки равна нулю (поскольку все единицы имеют норму 1, а логарифм нормы является суммой записей в строке). Это означает, что абсолютное значение р определителя подматрицы, образованной удалением одного столбца, не зависит от столбца. Номер р называется регулятор поля алгебраических чисел (не зависит от выбора образующих тыя). Он измеряет «плотность» единиц: если регулятор небольшой, это означает, что есть «много» единиц.

Регулятор имеет следующую геометрическую интерпретацию. Карта с юнитом ты в вектор с записями Nj журнал |тыj| есть изображение в р-мерное подпространство ℝр + 1 состоящий из всех векторов, элементы которых имеют сумму 0, и по теореме Дирихле об единице образ является решеткой в ​​этом подпространстве. Объем фундаментальной области этой решетки равен р√р + 1.

Регулятор поля алгебраических чисел степени больше 2 обычно довольно громоздко вычислять, хотя сейчас существуют пакеты компьютерной алгебры, которые могут это сделать во многих случаях. Как правило, рассчитать продукт намного проще. час из номер класса час и регулятор с помощью формула номера класса, и основная трудность при вычислении числа классов поля алгебраических чисел обычно заключается в вычислении регулятора.

Примеры

Фундаментальная область в логарифмическом пространстве группы единиц циклического кубического поля K полученный путем присоединения к ℚ корень ж(Икс) = Икс3 + Икс2 − 2Икс − 1. Если α обозначает корень ж(Икс), то набор фундаментальных единиц равен {ε1, ε2}, куда ε1 = α2 + α − 1 и ε2 = 2 − α2. Площадь основного домена составляет примерно 0,910114, поэтому регулятор K составляет приблизительно 0,525455.
  • Регулятор мнимое квадратичное поле, или рациональных целых чисел, равно 1 (поскольку определитель матрицы 0 × 0 равен 1).
  • Регулятор действительное квадратичное поле это логарифм его основная единица: например, что из ℚ (√5) является бревно √5 + 1/2. Это можно увидеть следующим образом. Основной единицей является √5 + 1/2, и его изображения при двух вложениях в ℝ находятся √5 + 1/2 и −√5 + 1/2. Итак р × (р + 1) матрица
  • Регулятор циклическое кубическое поле ℚ (α), куда α это корень Икс3 + Икс2 − 2Икс − 1, составляет примерно 0,5255. Базисом группы единиц по модулю корней из единицы является {ε1, ε2} куда ε1 = α2 + α − 1 и ε2 = 2 − α2.[4]

Высшие регуляторы

«Высший» регулятор относится к конструкции для функции на алгебраический K-группа с индексом п > 1 который играет ту же роль, что и классический регулятор для группы единиц, которая является группой K1. Теория таких регуляторов разрабатывалась, с работой Арман Борель и другие. Такие высшие регуляторы играют роль, например, в Гипотезы Бейлинсона, и ожидается, что они появятся при оценке некоторых L-функции при целочисленных значениях аргумента.[5] Смотрите также Регулятор Бейлинсона.

Регулятор Старка

Формулировка Домыслы Старка вел Гарольд Старк определить то, что сейчас называется Регулятор Старка, аналогичный классическому регулятору как определитель логарифмов единиц, привязанный к любому Представительство Артина.[6][7]

п-адический регулятор

Позволять K быть числовое поле и для каждого основной п из K над некоторым фиксированным рациональным простым числом п, позволять Uп обозначим локальные единицы в п и разреши U1,п обозначим подгруппу главных единиц в Uп. Набор

Тогда пусть E1 обозначают набор глобальных единиц ε эта карта U1 через диагональное вложение глобальных единиц в E.

С E1 является конечныминдекс подгруппа глобальных единиц, это абелева группа ранга р1 + р2 − 1. В п-адический регулятор - определитель матрицы, образованной п-адические логарифмы образующих этой группы. Гипотеза Леопольдта утверждает, что этот определитель не равен нулю.[8][9]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Эльстродт 2007, §8.D
  2. ^ Стивенхаген, П. (2012). Номер кольца (PDF). п. 57.
  3. ^ Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000, предложение VIII.8.6.11.
  4. ^ Коэн 1993, Таблица B.4
  5. ^ Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраические K-теория и дзета-функции эллиптических кривых. Серия монографий CRM. 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2114-8. Zbl  0958.19001.
  6. ^ Прасад, Дипендра; Йогонанда, Ч.С. (23 февраля 2007 г.). Отчет о гипотезе Артина о голоморфности (PDF) (Отчет).
  7. ^ Дасгупта, Самит (1999). Гипотезы Старка (PDF) (Тезис). Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-05-10.
  8. ^ Neukirch et al. (2008) стр. 626–627
  9. ^ Ивасава, Кенкичи (1972). Лекции по п-адический L-функции. Анналы математических исследований. 74. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета и Издательство Токийского университета. С. 36–42. ISBN  0-691-08112-3. Zbl  0236.12001.

Рекомендации