Гипотеза Леопольдта - Википедия - Leopoldts conjecture

В алгебраическая теория чисел, Гипотеза Леопольдта, представлен Х.-В. Леопольдт (1962, 1975 ), утверждает, что p-адический регулятор числовое поле не пропадает. P-адический регулятор является аналогом обычного регулятор определяется с использованием p-адических логарифмов вместо обычных логарифмов, введенных Х.-В. Леопольдт (1962 ).

Леопольдт предложил определение p-адический регулятор р_п прикреплен к K и простое число п. Определение р_п использует соответствующий определитель с записями p-адический логарифм генераторной установки агрегатов K (до кручения), на манер обычного регулятора. Гипотеза, которая в общем K открыт с 2009 г.^{[Обновить]}, то получается утверждение, что р_п не равно нулю.

Формулировка

Позволять K быть числовое поле и для каждого основной п из K над некоторым фиксированным рациональным простым числом п, позволять U_п обозначим локальные единицы в п и разреши U_1,п обозначим подгруппу главных единиц в U_п. Набор

{ displaystyle U_ {1} = prod _ {P | p} U_ {1, P}.}

Тогда пусть E₁ обозначают набор глобальных единиц ε эта карта U₁ через диагональное вложение глобальных единиц вE.

С ${ displaystyle E_ {1}}$ является конечныминдекс подгруппа глобальных единиц, это абелева группа ранга ${ displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1}$ , куда ${ displaystyle r_ {1}}$ - количество реальных вложений ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle r_ {2}}$ количество пар сложных вложений. Гипотеза Леопольдта заявляет, что ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ -модуль ранга закрытия ${ displaystyle E_ {1}}$ по диагонали в ${ displaystyle U_ {1}}$ это также ${ displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1.}$

Гипотеза Леопольдта известна в частном случае, когда ${ displaystyle K}$ является абелево расширение из ${ displaystyle mathbb {Q}}$ или абелево расширение воображаемого поле квадратичных чисел: Топор (1965) свел абелев случай к p-адической версии Теорема Бейкера, что было вскоре доказано Брюмер (1967).Михэилеску (2009, 2011 ) анонсировал доказательство гипотезы Леопольдта для всех CM-расширений ${ displaystyle mathbb {Q}}$ .

Colmez (1988 ) выразил остаток п-адический Дзета-функция Дедекинда из полностью реальное поле в s = 1 в терминах п-адический регулятор. Как следствие, гипотеза Леопольдта для этих полей эквивалентна их п-адические дзета-функции Дедекинда, имеющие простой полюс в s = 1.

Гипотеза Леопольдта - Википедия - Leopoldts conjecture

Формулировка

Рекомендации