Гипотеза Леопольдта - Википедия - Leopoldts conjecture

В алгебраическая теория чисел, Гипотеза Леопольдта, представлен Х.-В. Леопольдт  (1962, 1975 ), утверждает, что p-адический регулятор числовое поле не пропадает. P-адический регулятор является аналогом обычного регулятор определяется с использованием p-адических логарифмов вместо обычных логарифмов, введенных Х.-В. Леопольдт  (1962 ).

Леопольдт предложил определение p-адический регулятор рп прикреплен к K и простое число п. Определение рп использует соответствующий определитель с записями p-адический логарифм генераторной установки агрегатов K (до кручения), на манер обычного регулятора. Гипотеза, которая в общем K открыт с 2009 г., то получается утверждение, что рп не равно нулю.

Формулировка

Позволять K быть числовое поле и для каждого основной п из K над некоторым фиксированным рациональным простым числом п, позволять Uп обозначим локальные единицы в п и разреши U1,п обозначим подгруппу главных единиц в Uп. Набор

Тогда пусть E1 обозначают набор глобальных единиц ε эта карта U1 через диагональное вложение глобальных единиц вE.

С является конечныминдекс подгруппа глобальных единиц, это абелева группа ранга , куда - количество реальных вложений и количество пар сложных вложений. Гипотеза Леопольдта заявляет, что -модуль ранга закрытия по диагонали в это также

Гипотеза Леопольдта известна в частном случае, когда является абелево расширение из или абелево расширение воображаемого поле квадратичных чисел: Топор (1965) свел абелев случай к p-адической версии Теорема Бейкера, что было вскоре доказано Брюмер (1967).Михэилеску  (2009, 2011 ) анонсировал доказательство гипотезы Леопольдта для всех CM-расширений .

Colmez  (1988 ) выразил остаток п-адический Дзета-функция Дедекинда из полностью реальное поле в s = 1 в терминах п-адический регулятор. Как следствие, гипотеза Леопольдта для этих полей эквивалентна их п-адические дзета-функции Дедекинда, имеющие простой полюс в s = 1.

Рекомендации