Корень из единицы по модулю n - Root of unity modulo n

Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Конкретная проблема: Отсутствие контекста, отсутствие явных примеров, отсутствие объяснения основных различий с Корень единства и Конечное поле § Корни единицы. Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Октябрь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а именно теория колец, а k-корень степени из единицы по модулю п для положительного целые числа k, п ≥ 2, является корень единства в кольце целые числа по модулю п, то есть решение Икс к уравнение (или же соответствие) ${ Displaystyle х ^ {к} эквив 1 { pmod {п}}}$. Если k - наименьший такой показатель для Икс, тогда Икс называется примитивный k-корень из единицы по модулю п.^[1] Видеть модульная арифметика для обозначений и терминологии.

Не путайте это с примитивный корень по модулю п, который является генератором группы единицы кольца целых чисел по модулю п. Первобытные корни по модулю п примитивны ${ Displaystyle varphi (п)}$-корни единицы по модулю п, куда ${ displaystyle varphi}$ является Функция Эйлера.

Корни единства

Характеристики

• Если Икс это k-корень из единицы по модулю п, тогда Икс - единица (обратимая), обратная которой ${ Displaystyle х ^ {к-1}}$. Это, Икс и п находятся совмещать.
• Если Икс единица, то это (примитив) k-корень степени из единицы по модулю п, куда k это мультипликативный порядок из Икс по модулю п.
• Если Икс это k-корень из единства и ${ displaystyle x-1}$ это не делитель нуля, тогда ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k-1} x ^ {j} Equiv 0 { pmod {n}}}$, потому что

${ displaystyle (x-1) cdot sum _ {j = 0} ^ {k-1} x ^ {j} Equiv x ^ {k} -1 эквив 0 { pmod {n}}.}$

Количество k-ые корни

Из-за отсутствия общепринятого символа мы обозначаем количество k-корни из единицы по модулю п к ${ Displaystyle f (п, к)}$.Он удовлетворяет ряду свойств:

• ${ Displaystyle f (п, 1) = 1}$ за ${ Displaystyle п geq 2}$
• ${ Displaystyle е (п, лямбда (п)) = varphi (п)}$ где λ обозначает Функция Кармайкла и ${ displaystyle varphi}$ обозначает Функция Эйлера
• ${ Displaystyle п mapsto f (п, к)}$ это мультипликативная функция
• ${ displaystyle k mid l подразумевает f (n, k) mid f (n, l)}$ где черта обозначает делимость
• ${ displaystyle f (n, mathrm {lcm} (a, b)) = mathrm {lcm} (f (n, a), f (n, b))}$ куда ${ displaystyle mathrm {lcm}}$ обозначает наименьший общий множитель
• За основной ${ displaystyle p}$, ${ Displaystyle forall я in mathbb {N} существует j in mathbb {N} f (n, p ^ {i}) = p ^ {j}}$. Точное отображение от ${ displaystyle i}$ к ${ displaystyle j}$ не известно. Если бы он был известен, то вместе с предыдущим законом он дал бы возможность оценить ${ displaystyle f}$ быстро.

Первобытные корни единства

Характеристики

• Максимально возможная экспонента системы счисления для первообразных корней по модулю ${ displaystyle n}$ является ${ Displaystyle лямбда (п)}$, где λ обозначает Функция Кармайкла.
• Показатель системы счисления для первообразного корня из единицы - это делитель из ${ Displaystyle лямбда (п)}$.
• Каждый делитель ${ displaystyle k}$ из ${ Displaystyle лямбда (п)}$ дает примитивный ${ displaystyle k}$-й корень из единства. Вы можете получить его, выбрав ${ Displaystyle лямбда (п)}$-й примитивный корень из единицы (который должен существовать по определению λ), названный ${ displaystyle x}$ и вычислим мощность ${ Displaystyle х ^ { лямбда (п) / к}}$.
• Если Икс примитивный k-й корень из единицы, а также (не обязательно примитивный)-й корень из единицы, то k является делителем. Это правда, потому что Личность Безу дает целое число линейная комбинация из k и ℓ равно ${ Displaystyle mathrm {gcd} (к, ell)}$. С k минимально, это должно быть ${ Displaystyle к = mathrm {gcd} (к, ell)}$ и ${ Displaystyle mathrm {gcd} (к, ell)}$ является делителем.

Количество примитивов k-ые корни

Из-за отсутствия общепринятого символа мы обозначаем количество примитивных k-корни из единицы по модулю п к ${ Displaystyle г (п, к)}$.Он удовлетворяет следующим свойствам:

• ${ displaystyle g (n, k) = { begin {cases}> 0 & { text {if}} k mid lambda (n), 0 & { text {else}}. end {cases} }}$
• Следовательно, функция ${ Displaystyle к mapsto г (п, к)}$ имеет ${ Displaystyle д ( лямбда (п))}$ значения отличные от нуля, где ${ displaystyle d}$ вычисляет количество делителей.
• ${ Displaystyle г (п, 1) = 1}$
• ${ Displaystyle г (4,2) = 1}$
• ${ displaystyle g (2 ^ {n}, 2) = 3}$ за ${ Displaystyle п geq 3}$, поскольку -1 всегда квадратный корень из 1.
• ${ displaystyle g (2 ^ {n}, 2 ^ {k}) = 2 ^ {k}}$ за ${ Displaystyle к в [2, п-1)}$
• ${ Displaystyle г (п, 2) = 1}$ за ${ Displaystyle п geq 3}$ и ${ displaystyle n}$ в последовательности A033948 в OEIS )
• ${ Displaystyle сумма _ {к in mathbb {N}} g (n, k) = f (n, lambda (n)) = varphi (n)}$ с ${ displaystyle varphi}$ существование Функция Эйлера
• Связь между ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ можно элегантно записать, используя Свертка Дирихле:

${ displaystyle f = mathbf {1} * g}$, т.е. ${ Displaystyle е (п, к) = сумма _ {д середина к} г (п, д)}$

Вы можете вычислить значения ${ displaystyle g}$ рекурсивно из ${ displaystyle f}$ используя эту формулу, которая эквивалентна Формула обращения Мебиуса.

Проверка того, действительно ли Икс примитивный k-корень степени из единицы по модулю п

К быстрое возведение в степень вы можете проверить это ${ Displaystyle х ^ {к} эквив 1 { pmod {п}}}$. Если это правда, Икс это k-корень из единицы по модулю п но не обязательно примитивно. Если это не примитивный корень, тогда был бы некоторый делитель ℓ k, с ${ Displaystyle х ^ { ell} эквив 1 { pmod {п}}}$. Чтобы исключить такую ​​возможность, достаточно проверить несколько ℓ равных k делится на простое число. То есть необходимо проверить:

${ displaystyle forall p { text {prime dividing}} k, quad x ^ {k / p} not Equiv 1 { pmod {n}}.}$

В поисках примитива k-корень из единицы по модулю п

Среди примитивных k-й корень единства, примитивный ${ Displaystyle лямбда (п)}$корни -th являются наиболее частыми, поэтому рекомендуется попробовать некоторые целые числа, чтобы они были примитивными ${ Displaystyle лямбда (п)}$-th root, что быстро получится. ${ Displaystyle лямбда (п)}$-й корень Икс, число ${ Displaystyle х ^ { лямбда (п) / к}}$ примитивный ${ displaystyle k}$корень -й степени из единства. k не разделяет ${ Displaystyle лямбда (п)}$то не будет kкорни единства вообще.

Поиск нескольких примитивов k-й корни по модулю п

Если у вас есть примитив k-й корень из единства Икс, каждая сила ${ displaystyle x ^ {l}}$ это ${ displaystyle k}$-й корень из единства, но не обязательно примитивный. Сила ${ displaystyle x ^ {l}}$ примитивный ${ displaystyle k}$-корень из единицы тогда и только тогда, когда ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle l}$ находятся совмещать. Доказательство таково: если ${ displaystyle x ^ {l}}$ не примитивен, то существует делитель ${ displaystyle m}$ из ${ displaystyle k}$ с ${ Displaystyle (х ^ {l}) ^ {м} эквив 1 { pmod {п}}}$, и с тех пор ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle l}$ взаимно просты, существует обратный ${ displaystyle l ^ {- 1}}$ из ${ displaystyle l}$ по модулю ${ displaystyle k}$. Это дает ${ Displaystyle 1 Equiv ((х ^ {l}) ^ {m}) ^ {l ^ {- l}} Equiv x ^ {m} { pmod {n}}}$, что обозначает ${ displaystyle x}$ не примитивный ${ displaystyle k}$-корень из единицы, потому что есть меньший показатель ${ displaystyle m}$.

То есть возведением в степень Икс можно получить ${ Displaystyle varphi (к)}$ другой примитив kкорни единства, но это могут быть не все такие корни. Однако найти их все не так-то просто.

Нахождение п с примитивным k-корень степени из единицы по модулю п

Вы можете узнать, в каком целом кольца класса остатка у вас примитивный k-й корень из единства. Вам это понадобится, например, если вы хотите вычислить Дискретное преобразование Фурье (точнее Теоретико-числовое преобразование ) из ${ displaystyle k}$-мерное целое число вектор. Чтобы выполнить обратное преобразование, вам также нужно разделить на ${ displaystyle k}$, то есть, k также будет единицей по модулю ${ displaystyle n.}$

Простой способ найти такой п это проверить примитивность k-корней степени по модулям в арифметическая прогрессия ${ Displaystyle к + 1,2k + 1,3k + 1, точки}$. Все эти модули взаимно просты с k и поэтому k это единица. Согласно с Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях в прогрессии бесконечно много простых чисел, а для простого ${ displaystyle p}$ он держит ${ displaystyle lambda (p) = p-1}$. Таким образом, если ${ displaystyle mk + 1}$ тогда простое ${ displaystyle lambda (mk + 1) = mk}$ и таким образом у вас есть примитивный kкорни единства. Но тест на простые числа слишком силен, вы можете найти другие подходящие модули.

Нахождение п с несколькими примитивными корнями из единицы по модулю п

Если вы хотите иметь модуль ${ displaystyle n}$ такие, что есть примитивные ${ displaystyle k_ {1}}$-й, ${ displaystyle k_ {2}}$-й, ..., ${ displaystyle k_ {m}}$-корни из единицы по модулю ${ displaystyle n}$следующая теорема сводит проблему к более простой:

Для данного ${ displaystyle n}$ есть примитивные ${ displaystyle k_ {1}}$-й, ..., ${ displaystyle k_ {m}}$-корни из единицы по модулю ${ displaystyle n}$ тогда и только тогда, когда есть примитив ${ displaystyle mathrm {lcm} (k_ {1}, ..., k_ {m})}$-корень степени из единицы по модулю п.

Доказательство

Обратное направление: если есть примитив ${ displaystyle mathrm {lcm} (k_ {1}, ..., k_ {m})}$-корень степени из единицы по модулю ${ displaystyle n}$ называется ${ displaystyle x}$, тогда ${ displaystyle x ^ { mathrm {lcm} (k_ {1}, dots, k_ {m}) / k_ {l}}}$ это ${ displaystyle k_ {l}}$-корень из единицы по модулю ${ displaystyle n}$.

Прямое направление: Если есть примитив ${ displaystyle k_ {1}}$-й, ..., ${ displaystyle k_ {m}}$-корни из единицы по модулю ${ displaystyle n}$, то все показатели ${ displaystyle k_ {1}, dots, k_ {m}}$ являются делителями ${ Displaystyle лямбда (п)}$. Из этого следует ${ displaystyle mathrm {lcm} (k_ {1}, dots, k_ {m}) mid lambda (n)}$ а это, в свою очередь, означает, что существует примитивный ${ displaystyle mathrm {lcm} (k_ {1}, ..., k_ {m})}$-корень из единицы по модулю ${ displaystyle n}$.

Рекомендации