Инъективный корпус - Injective hull

В математика, особенно в алгебра, то инъективная оболочка (или конверт для инъекций) из модуль оба самые маленькие инъективный модуль содержащий его и самый большой существенное расширение этого. Впервые инъективные оболочки были описаны в (Экманн и Шопф, 1953 г. ).

Определение

А модуль E называется инъективная оболочка модуля M, если E является существенное расширение из M, и E является инъективный. Здесь базовое кольцо - это кольцо с единицей, хотя, возможно, и некоммутативное.

Примеры

  • Инъективный модуль - это его собственная инъективная оболочка.
  • Инъективная оболочка область целостности это его поле дробей, (Лам 1999, Пример 3.35)
  • Инъективная оболочка циклического п-группа (как Z-модуль) является Prüfer group, (Лам 1999, Пример 3.36)
  • Инъективная оболочка р/ рад (р) является Homk(р,k), где р является конечномерным k-алгебра с участием Радикал Якобсона рад (р), (Лам 1999, Пример 3.41).
  • А простой модуль обязательно цоколь его инъективной оболочки.
  • Инъективная оболочка частного поля кольцо дискретной оценки где является .[1]
  • В частности, инъективная оболочка в модуль .

Свойства

  • Инъективная оболочка M единственно с точностью до изоморфизмов, тождественных на M, однако изоморфизм не обязательно уникален. Это связано с тем, что свойство расширения карты инъективной оболочки не является полноценным универсальная собственность. Благодаря этой уникальности корпус можно обозначить как E(M).
  • Инъективная оболочка E(M) является максимальным существенное расширение из M в том смысле, что если ME(M) ⊊B для модуля B, тогда M не является существенным подмодулем B.
  • Инъективная оболочка E(M) - минимальный инъективный модуль, содержащий M в том смысле, что если MB для инъективного модуля B, тогда E(M) является (изоморфным) подмодулем B.
  • Если N является существенным подмодулем M, тогда E(N)=E(M).
  • Каждый модуль M имеет инъективную оболочку. Построение инъективной оболочки в терминах гомоморфизмов Hom (я, M), где я проходит через идеалы р, дан кем-то Флейшер (1968).
  • Двойственное понятие проективное покрытие делает не всегда существует для модуля, однако плоская крышка существует для каждого модуля.

Структура кольца

В некоторых случаях для р Подкольцо самоинъективного кольца S, инъективная оболочка р также будет иметь кольцевую структуру.[2] Например, взяв S быть полным матричное кольцо над полем и взяв р быть любым кольцом, содержащим каждую матрицу, которая равна нулю во всех столбцах, кроме последнего, инъективная оболочка правой р-модуль р является S. Например, можно взять р быть кольцом всех верхнетреугольных матриц. Однако не всегда инъективная оболочка кольца имеет кольцевую структуру, например, в (Ософский 1964 ) показывает.

Большой класс колец, которые действительно имеют кольцевую структуру на их инъективных оболочках, - это неособые кольца.[3] В частности, для область целостности инъективной оболочкой кольца (рассматриваемого как модуль над собой) является поле дробей. Инъективные оболочки неособых колец дают аналог кольца частных для некоммутативных колец, где отсутствие Состояние руды может препятствовать формированию классическое кольцо частных. Этот тип «кольца частных» (так называются эти более общие «поля дробей») был впервые введен в (Утуми 1956 ), а связь с инъективными оболочками была признана в (Ламбек 1963 ).

Единая размерность и инъективные модули

An р модуль M имеет конечный единый размер (=конечный ранг) п тогда и только тогда, когда инъективная оболочка M конечная прямая сумма п неразложимые подмодули.

Обобщение

В общем, пусть C быть абелева категория. An объект E является инъективная оболочка объекта M если ME является важным расширением и E является инъективный объект.

Если C является местно маленький, удовлетворяет Аксиома Гротендика AB5 и имеет достаточно инъекций, то каждый объект в C имеет инъективную оболочку (этим трем условиям удовлетворяет категория модулей над кольцом).[4] Каждый объект в Категория Гротендика имеет инъективную оболочку.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Вальтер, Ури. «Инъективные модули» (PDF). п. 11.
  2. ^ Лам 1999, п. 78–80.
  3. ^ Лам 1999, п. 366.
  4. ^ Раздел III.2 (Митчелл 1965 )

использованная литература

внешние ссылки