Состояние руды - Ore condition

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория колец, то Состояние руды это условие, введенное Øystein Ore, в связи с вопросом о выходе за пределы коммутативные кольца строительство поле дробей, или в более общем смысле локализация кольца. В правильное состояние руды для мультипликативное подмножество S из звенеть р это для а ∈ р и s ∈ S, Перекресток в качестве ∩ sR ≠ ∅. A (некоммутативный) домен для которой множество ненулевых элементов удовлетворяет правому условию Оре, называется Правый домен руды. Левый случай определяется аналогично.^[1]

Главная идея

Цель состоит в том, чтобы построить правое кольцо дробей р[S⁻¹] относительно мультипликативное подмножество S. Другими словами, мы хотим работать с элементами формы в качестве⁻¹ и имеют кольцевую структуру на множестве р[S⁻¹]. Проблема в том, что нет очевидной трактовки продукта (в качестве⁻¹)(bt⁻¹); действительно, нам нужен способ "переместить" s⁻¹ прошлый б. Это означает, что нам нужно иметь возможность переписывать s⁻¹б как продукт б₁s₁⁻¹.^[2] Предполагать s⁻¹б = б₁s₁⁻¹ затем умножая слева на s и справа от s₁, мы получили bs₁ = сб₁. Отсюда мы видим необходимость для данного а и s, о существовании а₁ и s₁ с s₁ ≠ 0 и такой, что в качестве₁ = са₁.

Заявление

Поскольку хорошо известно, что каждый область целостности является подкольцом поля дробей (посредством вложения) таким образом, что каждый элемент имеет вид RS⁻¹ с s ненулевым, естественно спросить, может ли та же конструкция принимать некоммутативный домен и связать делительное кольцо (некоммутативное поле) с тем же свойством. Оказывается, иногда ответ «нет», то есть есть области, в которых нет аналогичного «правого тела дробей».

Для каждого правильного домена Ore р, есть уникальный (вплоть до естественного р-изоморфизм) тело D содержащий р как подкольцо, так что каждый элемент D имеет форму RS⁻¹ за р в р и s ненулевой в р. Такое делительное кольцо D называется кольцо правых дробей из р, и р называется правильный порядок в D. Понятие о кольцо левых дробей и оставленный заказ определяются аналогично с элементами D быть в форме s⁻¹р.

Важно помнить, что определение р быть правильным порядком в D включает условие, что D должен полностью состоять из элементов формы RS⁻¹. Любая область, удовлетворяющая одному из условий Оре, может считаться подкольцом телесного кольца, однако это не означает автоматически р это левый порядок в D, так как это возможно D имеет элемент, не имеющий формы s⁻¹р. Таким образом, возможно р чтобы быть правым, а не левым доменом Ore. Интуитивно, условие, что все элементы D иметь форму RS⁻¹ Говорит, что р это "большой" р-подмодуль D. Фактически условие обеспечивает р_р является существенный подмодуль из D_р. Наконец, есть даже пример домена в физическом кольце, удовлетворяющего ни один Состояние руды (см. Примеры ниже).

Другой естественный вопрос: "Когда подкольцо телесного кольца является правильной рудой?" Одна из характеристик заключается в том, что подкольцо р делительного кольца D является правой областью Оре тогда и только тогда, когда D это плоский оставили р-модуль (Лам 2007, Бывший. 10.20).

Другая, более сильная версия условий Руды обычно приводится для случая, когда р не домен, а именно то, что должно быть общее кратное

c = au = bv

с ты, v нет делители нуля. В этом случае, Теорема руда гарантирует наличие кольцо называется (справа или слева) классическое кольцо частных.

Примеры

Коммутативные домены автоматически являются доменами Ore, поскольку для ненулевых а и б, ab не равно нулю в aR ∩ БР. Правильно Нётерян домены, такие как права области главных идеалов, также известны как правые домены руды. Даже в более общем плане Альфред Голди доказал, что домен р правильно Ore тогда и только тогда, когда р_р имеет конечный единый размер. Верно и то, что правильно Bézout домены правы руды.

Поддомен делительного кольца, который не является правым или левым. Ore: Если F любое поле, и ${ Displaystyle G = langle x, y rangle ,}$ это свободный моноид на двух символах Икс и у, то моноидное кольцо ${ Displaystyle F [G] ,}$ не удовлетворяет никакому условию Оре, но это бесплатное идеальное кольцо и, таким образом, действительно подкольцо телесного кольца, по (Кон 1995, Кор 4.5.9).

Мультипликативные множества

Условие Руды может быть обобщено на другие мультипликативные подмножества, и в учебной форме представлена в (Лам 1999, §10) и (Лам 2007, §10). Подмножество S кольца р называется набор правых знаменателей если он удовлетворяет следующим трем условиям для каждого а, б в р, и s, т в S:

ул в S; (Набор S является мультипликативно замкнутый.)
в качестве ∩ sR не пусто; (Набор S является право перестановочный.)
Если са = 0, то есть некоторые ты в S с au = 0; (Набор S является правый обратимый.)

Если S является правым множеством знаменателя, то можно построить кольцо правых дробей RS⁻¹ аналогично коммутативному случаю. Если S за набор регулярных элементов (эти элементы а в р так что если б в р отличен от нуля, то ab и ба отличны от нуля), то правильное условие Оре - это просто требование, чтобы S - верный набор знаменателя.

В этой более общей ситуации сохраняются многие свойства коммутативной локализации. Если S - набор правых знаменателей для кольца р, затем слева р-модуль RS⁻¹ является плоский. Кроме того, если M это право р-модуль, затем S-кручение, тор_S(M) = { м в M : РС = 0 для некоторых s в S }, является р-подмодуль, изоморфный Tor₁(M, RS⁻¹), а модуль M ⊗_р RS⁻¹ естественно изоморфен модулю РС⁻¹ состоящий из «дробей», как в коммутативном случае.

Примечания

^ Кон, П. М. (1991). «Глава 9.1». Алгебра. Vol. 3 (2-е изд.). п. 351.
^ Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF). п. 13. Получено 9 мая 2012.

внешняя ссылка

[1] Кон, П. М. (1991). «Глава 9.1». Алгебра. Vol. 3 (2-е изд.). п. 351.

[2] Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF). п. 13. Получено 9 мая 2012.

[1]

[2]