Категория Гротендика - Grothendieck category

В математика, а Категория Гротендика это определенный вид абелева категория, введенный в Александр Гротендик с Бумага Тохоку 1957 года^[1] с целью развития техники гомологическая алгебра за модули и для снопы единым образом. Теория этих категорий получила дальнейшее развитие в Пьер Габриэль Основополагающая диссертация 1962 года.^[2]

Каждому алгебраическое многообразие ${ displaystyle V}$ можно связать категорию Гротендика ${ displaystyle operatorname {Qcoh} (V)}$ , состоящий из квазикогерентные пучки на ${ displaystyle V}$ . Эта категория кодирует всю соответствующую геометрическую информацию о ${ displaystyle V}$ , и ${ displaystyle V}$ можно восстановить из ${ displaystyle operatorname {Qcoh} (V)}$ (в Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга ). Этот пример дает начало одному подходу к некоммутативная алгебраическая геометрия: изучение «некоммутативных многообразий» есть не что иное, как изучение (определенных) категорий Гротендика.^[3]

Определение

По определению категория Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является Категория AB5 с генератор. По буквам это означает, что

${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является абелева категория;
каждое (возможно бесконечное) семейство объектов в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ имеет сопродукт (также известная как прямая сумма) в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ ;
прямые ограничения из короткие точные последовательности точны; это означает, что если прямая система короткие точные последовательности в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ задана, то индуцированная последовательность прямых пределов также является короткой точной последовательностью. (Прямые ограничения всегда точно вправо; здесь важно то, что мы требуем, чтобы они точно слева также.)
${ displaystyle { mathcal {A}}}$ имеет генератор, т.е. есть объект ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ такой, что ${ displaystyle operatorname {Hom} (G, -)}$ это верный функтор из ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ к категория наборов. (В нашей ситуации это равносильно утверждению, что каждый объект ${ displaystyle X}$ из ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ признает эпиморфизм ${ Displaystyle G ^ {(I)} rightarrow X}$ , куда ${ Displaystyle G ^ {(I)}}$ обозначает прямую сумму копий ${ displaystyle G}$ , по одному на каждый элемент (возможно, бесконечного) множества ${ displaystyle I}$ .)

Название «категория Гротендика» также не появлялось в газете Тохоку Гротендика.^[1] ни в тезисе Габриэля;^[2] он стал использоваться во второй половине 1960-х годов в работах нескольких авторов, в том числе Яна-Эрика Рооса, Бо Стенстрёма, Ульриха Оберста и Бодо Парейгиса. (Некоторые авторы используют другое определение, не требующее наличия генератора.)

Примеры

Типичным примером категории Гротендика является категория абелевых групп; абелева группа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ целых чисел может служить генератором.
В более общем плане, учитывая любые звенеть ${ displaystyle R}$ (ассоциативный, с ${ displaystyle 1}$ , но не обязательно коммутативной), категория ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ всего справа (или альтернативно: слева) модули над ${ displaystyle R}$ категория Гротендика; ${ displaystyle R}$ сам по себе может служить генератором.
Учитывая топологическое пространство ${ displaystyle X}$ , категория всех снопы абелевых групп на ${ displaystyle X}$ является категорией Гротендика.^[1] (В более общем смысле: категория всех связок правых ${ displaystyle R}$ -модули на ${ displaystyle X}$ является категорией Гротендика для любого кольца ${ displaystyle R}$ .)
Учитывая окольцованное пространство ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ , категория снопы О_Икс-модули является категорией Гротендика.^[1]
Учитывая (аффинное или проективное) алгебраическое многообразие ${ displaystyle V}$ (или в более общем смысле: любой схема ), категория ${ displaystyle operatorname {Qcoh} (V)}$ из квазикогерентные пучки на ${ displaystyle V}$ является категорией Гротендика.
Учитывая небольшой сайт (C, J) (т.е. малая категория C вместе с Топология Гротендика J) категория всех пучков абелевых групп на сайте является категорией Гротендика.

Построение дополнительных категорий Гротендика

Любая категория, которая эквивалент в категорию Гротендика сама является категорией Гротендика.
Учитывая категории Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A_ {1}}}, ldots, { mathcal {A_ {n}}}}$ , то Категория продукта ${ Displaystyle { mathcal {A_ {1}}} times ldots times { mathcal {A_ {n}}}}$ является категорией Гротендика.
Учитывая малая категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и категория Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , то категория функторов ${ displaystyle operatorname {Funct} ({ mathcal {C}}, { mathcal {A}})}$ , состоящий из всех ковариантные функторы из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , является категорией Гротендика.^[1]
Учитывая небольшой предаддитив категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и категория Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , категория функторов ${ displaystyle operatorname {Add} ({ mathcal {C}}, { mathcal {A}})}$ всех аддитивных ковариантных функторов из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является категорией Гротендика.^[4]
Если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является категорией Гротендика и ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ это локализация подкатегории из ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , то оба ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и Факторная категория Серра ${ Displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ категории Гротендика.^[2]

Свойства и теоремы

Каждая категория Гротендика содержит инжекторный когенератор. Например, инъективным когенератором категории абелевых групп является факторгруппа ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ .

Каждый объект в категории Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ имеет инъективная оболочка в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ .^[1]^[2] Это позволяет построить инъективные разрешения и тем самым использование инструментов гомологическая алгебра в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , чтобы определить производные функторы. (Обратите внимание, что не все категории Гротендика позволяют проективные резолюции для всех объектов; примерами являются категории пучков абелевых групп во многих топологических пространствах, например в пространстве действительных чисел.)

В категории Гротендика любая семья подобъекты ${ displaystyle (U_ {i})}$ данного объекта ${ displaystyle X}$ имеет супремум (или "сумма") ${ textstyle sum _ {я} U_ {я}}$ а также инфимум (или «перекресток») ${ displaystyle cap _ {i} U_ {i}}$ , оба из которых снова являются подобъектами ${ displaystyle X}$ . Далее, если семья ${ displaystyle (U_ {i})}$ направлен (т.е. для любых двух объектов в семействе существует третий объект в семействе, который содержит два), и ${ displaystyle V}$ еще один подобъект ${ displaystyle X}$ , у нас есть^[5]

{ displaystyle sum _ {i} (U_ {i} cap V) = left ( sum _ {i} U_ {i} right) cap V.}

Категории Гротендика: хорошо питаемый (иногда называют местно маленький, хотя этот термин также используется для другой концепции), т.е. совокупность подобъектов любого данного объекта образует набор (а не правильный класс ).^[4]

Это довольно глубокий результат, что каждая категория Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является полный,^[6] то есть этот произвольный пределы (и в частности товары ) существуют в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ . Напротив, прямо из определения следует, что ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ ко-полным, т. е. произвольный копределы и побочные продукты (прямые суммы) существуют в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ . Копродукции в категории Гротендика точны (т. Е. Копроизведение семейства коротких точных последовательностей снова является короткой точной последовательностью), но продукты не обязательно должны быть точными.

Функтор ${ displaystyle F двоеточие { cal {A}} to { cal {X}}}$ из категории Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ в произвольную категорию ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ имеет левый смежный тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми пределами, и он имеет правый сопряженный, если и только если он коммутирует со всеми копределами. Это следует из Питер Дж. Фрейд с специальная теорема о сопряженном функторе и его двойственный.^[7]

В Теорема Габриэля – Попеску утверждает, что любая категория Гротендика ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ эквивалентно полная подкатегория категории ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ правых модулей над некоторым унитальным кольцом ${ displaystyle R}$ (который можно принять за кольцо эндоморфизмов генератора ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ ), и ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ можно получить как Фактор Габриэля из ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ некоторыми локализация подкатегории.^[8]

Как следствие Габриэля-Попеску, можно показать, что каждая категория Гротендика местный презентабельный.^[9] Более того, с помощью Габриэля-Попеску можно увидеть, что каждая категория Гротендика является полной, будучи отражающая подкатегория полной категории ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ для некоторых ${ displaystyle R}$ .

Каждая малая абелева категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ может быть встроен в категорию Гротендика следующим образом. Категория ${ displaystyle { mathcal {A}}: = operatorname {Lex} ({ mathcal {C}} ^ {op}, mathrm {Ab})}$ из точно слева аддитивные (ковариантные) функторы ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ {op} rightarrow mathrm {Ab}}$ (куда ${ Displaystyle mathrm {Ab}}$ обозначает категория абелевых групп ) - категория Гротендика, а функтор ${ Displaystyle ч двоеточие { mathcal {C}} rightarrow { mathcal {A}}}$ , с ${ Displaystyle C mapsto h_ {C} = operatorname {Hom} (-, C)}$ , полный, верный и точный. Генератор ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ дается совместным произведением всех ${ displaystyle h_ {C}}$ , с ${ displaystyle C in { mathcal {C}}}$ .^[2] Категория ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ эквивалентно категории ${ displaystyle { text {Ind}} ({ mathcal {C}})}$ из инд-объекты из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и вложение ${ displaystyle h}$ соответствует естественному вложению ${ displaystyle { mathcal {C}} to { text {Ind}} ({ mathcal {C}})}$ . Поэтому мы можем рассматривать ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ как совместное завершение ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ .

Особые виды предметов и категории Гротендика

Объект ${ displaystyle X}$ в категории Гротендика называется конечно порожденный если, когда ${ displaystyle X}$ записывается как сумма семейства подобъектов ${ displaystyle X}$ , то это уже сумма конечного подсемейства. (В случае ${ displaystyle { cal {A}} = operatorname {Mod} (R)}$ категорий модулей, это понятие эквивалентно известному понятию конечно порожденные модули.) Эпиморфные образы конечно порожденных объектов снова конечно порождены. Если ${ Displaystyle U substeq X}$ и оба ${ displaystyle U}$ и ${ Displaystyle X / U}$ конечно порождены, то и ${ displaystyle X}$ . Предмет ${ displaystyle X}$ конечно порождена тогда и только тогда, когда для любой направленной системы ${ displaystyle (A_ {i})}$ в ${ displaystyle { cal {A}}}$ в котором каждый морфизм является мономорфизмом, естественный морфизм ${ displaystyle varinjlim mathrm {Hom} (X, A_ {i}) to mathrm {Hom} (X, varinjlim A_ {i})}$ является изоморфизмом.^[10] Категория Гротендика не обязательно должна содержать ненулевые конечно порожденные объекты.

Категория Гротендика называется локально конечно порожденный если он имеет набор конечно порожденных генераторов (т.е. если существует семейство ${ displaystyle (G_ {i}) _ {я in I}}$ конечно генерируемых объектов, так что каждому объекту ${ displaystyle X}$ существуют ${ displaystyle i in I}$ и ненулевой морфизм ${ displaystyle G_ {i} rightarrow X}$ ; эквивалентно: ${ displaystyle X}$ является эпиморфным образом прямой суммы копий ${ displaystyle G_ {i}}$ ). В такой категории каждый объект представляет собой сумму своих конечно порожденных подобъектов.^[4] Каждая категория ${ displaystyle { cal {A}} = operatorname {Mod} (R)}$ локально конечно порожден.

Объект ${ displaystyle X}$ в категории Гротендика называется конечно представленный если он конечно порожден и если каждый эпиморфизм ${ displaystyle W to X}$ с конечно порожденной областью ${ displaystyle W}$ имеет конечно порожденное ядро. Опять же, это обобщает понятие конечно представленные модули. Если ${ Displaystyle U substeq X}$ и оба ${ displaystyle U}$ и ${ Displaystyle X / U}$ конечно представлены, то также ${ displaystyle X}$ . В локально конечно порожденной категории Гротендика ${ displaystyle { cal {A}}}$ , конечно представленные объекты можно охарактеризовать следующим образом:^[11] ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle { cal {A}}}$ конечно представима тогда и только тогда, когда для каждой ориентированной системы ${ displaystyle (A_ {i})}$ в ${ displaystyle { cal {A}}}$ , естественный морфизм ${ displaystyle varinjlim mathrm {Hom} (X, A_ {i}) to mathrm {Hom} (X, varinjlim A_ {i})}$ является изоморфизмом.

Объект ${ displaystyle X}$ в категории Гротендика ${ displaystyle { cal {A}}}$ называется последовательный если он конечно представим и каждый из его конечно порожденных подобъектов конечно представим.^[12] (Это обобщает понятие когерентные пучки на окольцованном пространстве.) Полная подкатегория всех когерентных объектов в ${ displaystyle { cal {A}}}$ абелев и функтор включения точный.^[12]

Объект ${ displaystyle X}$ в категории Гротендика называется Нётерян если набор его подобъектов удовлетворяет условие возрастающей цепи, т.е. если каждая последовательность ${ Displaystyle X_ {1} substeq X_ {2} substeq cdots}$ подобъектов ${ displaystyle X}$ со временем становится неподвижным. Это так, если и только если каждый подобъект X конечно порожден. (В случае ${ displaystyle { cal {A}} = operatorname {Mod} (R)}$ , это понятие эквивалентно известному понятию Нётеровские модули.) Категория Гротендика называется местно нётерский если он имеет набор генераторов Нетерова; примером является категория левых модулей над левымКольцо Нётериана.

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Математический журнал Тохоку, (2), 9 (2): 119–221, Дои:10.2748 / tmj / 1178244839, МИСТЕР 0102537. английский перевод.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Габриэль, Пьер (1962), "Des catégories abéliennes" (PDF), Бык. Soc. Математика. Пт., 90: 323–448, Дои:10.24033 / bsmf.1583
^ Изуру Мори (2007). «Квантовые линейчатые поверхности» (PDF).
^ ^а ^б ^c Вера, Карл (1973). Алгебра: кольца, модули и категории I. Springer. С. 486–498. ISBN 9783642806346.
^ Stenström, Prop. V.1.1
^ Stenström, Cor. X.4.4
^ Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика, 2-е издание. Springer. п. 130.
^ Попско, Николае; Габриэль, Пьер (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites индуктивно exactes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 258: 4188–4190.
^ Шловичек, Ян (01.01.2013). «Деконструируемость и лемма Хилла в категориях Гротендика». Форум Mathematicum. 25 (1). arXiv:1005.3251. Bibcode:2010arXiv1005.3251S. Дои:10.1515 / FORM.2011.113. S2CID 119129714.
^ Stenström, Prop. V.3.2
^ Stenström, Prop. V.3.4
^ ^а ^б Герцог, И. (1997). "Спектр Циглера локально когерентной категории Гротендика". Труды Лондонского математического общества. 74 (3): 503–558. Дои:10.1112 / S002461159700018X.

внешняя ссылка

Цаленко, М.Ш. (2001) [1994], «Категория Гротендика», Энциклопедия математики, EMS Press
Абелевы категории, примечания Даниэля Мерфета. Раздел 2.3 охватывает категории Гротендика.

[tohoku-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Математический журнал Тохоку, (2), 9 (2): 119–221, Дои:10.2748 / tmj / 1178244839, МИСТЕР 0102537. английский перевод.

[gabriel-these-2] а ^б ^c ^d ^е Габриэль, Пьер (1962), "Des catégories abéliennes" (PDF), Бык. Soc. Математика. Пт., 90: 323–448, Дои:10.24033 / bsmf.1583

[3] Изуру Мори (2007). «Квантовые линейчатые поверхности» (PDF).

[:0-4] а ^б ^c Вера, Карл (1973). Алгебра: кольца, модули и категории I. Springer. С. 486–498. ISBN 9783642806346.

[5] Stenström, Prop. V.1.1

[6] Stenström, Cor. X.4.4

[7] Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика, 2-е издание. Springer. п. 130.

[8] Попско, Николае; Габриэль, Пьер (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites индуктивно exactes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 258: 4188–4190.

[9] Шловичек, Ян (01.01.2013). «Деконструируемость и лемма Хилла в категориях Гротендика». Форум Mathematicum. 25 (1). arXiv:1005.3251. Bibcode:2010arXiv1005.3251S. Дои:10.1515 / FORM.2011.113. S2CID 119129714.

[10] Stenström, Prop. V.3.2

[11] Stenström, Prop. V.3.4

[herzog-12] а ^б Герцог, И. (1997). "Спектр Циглера локально когерентной категории Гротендика". Труды Лондонского математического общества. 74 (3): 503–558. Дои:10.1112 / S002461159700018X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]