Локализация подкатегории - Википедия - Localizing subcategory

В математике Серр и локализация подкатегорий сформировать важные классы подкатегории из абелева категория. Локализуемые подкатегории - это определенные подкатегории Серра. Они тесно связаны с понятием факторная категория.

Подкатегории Serre

Позволять ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ быть абелева категория. Непустой полный подкатегория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ называется Подкатегория Серра (или также плотная подкатегория), если на каждую короткую точная последовательность ${ displaystyle 0 rightarrow A ' rightarrow A rightarrow A' ' rightarrow 0}$ в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ предмет ${ displaystyle A}$ в ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ тогда и только тогда, когда объекты ${ displaystyle A '}$и ${ displaystyle A ''}$ принадлежать ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$. Прописью: ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ закрывается по подобъектам, частным объектам и расширениям.

Важность этого понятия проистекает из того факта, что ядра точные функторы между абелевыми категориями обладают этим свойством, и это можно построить (для локально малых ${ displaystyle { mathcal {A}}}$) факторная категория (в смысле Габриэль, Гротендик,Серр ) ${ Displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$, который имеет те же объекты, что и ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, является абелевым и имеет точный функтор (называемый фактор-функтором) ${ Displaystyle T двоеточие { mathcal {A}} rightarrow { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ чье ядро ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$.

Локализация подкатегорий

Позволять ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ быть локально маленьким. Подкатегория Серра ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ называется локализация, если фактор-функтор${ Displaystyle T двоеточие { mathcal {A}} rightarrow { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ имеетправый смежный${ Displaystyle S двоеточие { mathcal {A}} / { mathcal {C}} rightarrow { mathcal {A}}}$. С того времени ${ displaystyle T}$, как левый сопряженный, сохраняет копределы, каждая локализующая подкатегория замкнута относительно копределов. Функтор ${ displaystyle T}$ (или иногда ${ displaystyle ST}$) также называется функтор локализации, и ${ displaystyle S}$ в секционный функтор. Функтор сечения точно слева и полностью верный.

Если абелева категория ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ кроме тогозавершенный и имеет инъективные оболочки (например, если это Категория Гротендика ), то подкатегория Серрес ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ локализуется тогда и только тогда, когда${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ замкнуто относительно произвольных копроизведений (также известных как прямые суммы). Следовательно, понятие локализующей подкатегории эквивалентно понятию наследственной подкатегории. класс кручения.

Если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является категорией Гротендика и${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ локализирующая подкатегория, то фактор-категория${ Displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ снова является категорией Гротендика.

В Теорема Габриэля-Попеску следует, что каждая категория Гротендика является фактор-категорией категория модуля ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ (с ${ displaystyle R}$ подходящий звенеть ) по модулю локализующей подкатегории.

Смотрите также

• Подкатегория Жиро

Рекомендации

• Николае Попеску; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям; Academic Press, Inc .; из печати.