Теорема Фейта – Томпсона - Feit–Thompson theorem

В математика, то Теорема Фейта – Томпсона, или теорема нечетного порядка, утверждает, что каждый конечный группа странного порядок является разрешимый. Это было доказано Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон  (1962, 1963 ).

История

Контраст, который показывают эти результаты между группами нечетного и четного порядка, неизбежно предполагает, что простых групп нечетного порядка не существует.

Уильям Бернсайд  (1911, п. 503 примечание M)

Уильям Бернсайд  (1911, п. 503 примечание M) предположил, что каждый неабелев конечная простая группа есть даже порядок. Ричард Брауэр  (1957 ) предложил использовать центраторы инволюций простых групп как основу классификация конечных простых групп, как Теорема Брауэра – Фаулера показывает, что существует только конечное число конечных простых групп с заданными централизатор из инволюция. Группа нечетного порядка не имеет инволюций, поэтому для выполнения программы Брауэра сначала необходимо показать, что нециклические конечные простые группы никогда не имеют нечетного порядка. Это эквивалентно показу того, что группы нечетного порядка разрешимый, что и доказали Фейт и Томпсон.

Атаку на гипотезу Бернсайда начал Мичио Сузуки  (1957 ), которые учились CA группы; это такие группы, что Cэнтрализатор каждого нетривиального элемента есть Абельский. В своей новаторской статье он показал, что все CA-группы нечетного порядка разрешимы. (Позже он классифицировал все простые CA-группы и, в более общем смысле, все простые группы, в которых централизатор любой инволюции имеет нормальный 2-Силовская подгруппа, найти забытую семью простых группы лиева типа в процессе, которые сейчас называются Группы Suzuki.)

Фейт, Маршалл Холл, и Томпсон (1960 ) распространил работу Suzuki на семью CN группы; это такие группы, что Cэнтрализатором любого нетривиального элемента является Nилпотентный. Они показали, что всякая CN-группа нечетного порядка разрешима. Их доказательство аналогично доказательству Сузуки. В нем было около 17 страниц, что в то время считалось очень большим объемом для доказательства в теории групп.

Теорема Фейта – Томпсона может рассматриваться как следующий шаг в этом процессе: они показывают, что не существует нециклической простой группы нечетного порядка, такой что каждая собственная подгруппа разрешимый. Это доказывает, что всякая конечная группа нечетного порядка разрешима как минимальный контрпример должна быть такой простой группой, что каждая собственная подгруппа разрешима. Хотя доказательство следует той же общей схеме, что и теорема CA и теорема CN, детали гораздо сложнее. Итоговая статья - 255 страниц.

Значение доказательства

Теорема Фейта – Томпсона показала, что классификация конечных простых групп с использованием централизаторов инволюций возможна, поскольку каждая неабелева простая группа имеет инволюцию. Многие из техник, которые они использовали в своих доказательствах, особенно идея локальный анализ, были развиты в инструменты, используемые при классификации. Возможно, самым революционным аспектом доказательства была его длина: до статьи Фейта – Томпсона немногие аргументы в теории групп были длиннее нескольких страниц, и большинство из них можно было прочитать за день. Как только теоретики групп поняли, что такие длинные аргументы могут работать, начали появляться серии статей объемом в несколько сотен страниц. Некоторые из них затмевали даже статью Фейта – Томпсона; бумага Михаэль Ашбахер и Стивен Д. Смит на квазитиновые группы был 1221 страницей.

Пересмотр доказательства

Многие математики упростили части исходного доказательства Фейта – Томпсона. Однако все эти улучшения в некотором смысле локальны; глобальная структура аргумента осталась прежней, но некоторые детали аргументов были упрощены.

Упрощенное доказательство опубликовано в двух книгах: (Бендер и Глауберман 1995 ), который охватывает все, кроме теория характера, и (Петерфальви 2000, часть I), который охватывает теорию характеров. Это исправленное доказательство все еще очень сложно и длиннее, чем исходное доказательство, но написано в более неторопливом стиле.

Полностью формальное доказательство, проверенное Coq помощник доказательства, было объявлено в сентябре 2012 г. Жорж Гонтье и коллеги-исследователи в Microsoft Research и INRIA.[1]

Схема доказательства

Вместо непосредственного описания теоремы Фейта – Томпсона проще описать теорему Судзуки CA, а затем прокомментировать некоторые расширения, необходимые для CN-теоремы и теоремы нечетного порядка. Доказательство можно разбить на три этапа. Пусть г - неабелева (минимальная) простая группа нечетного порядка, удовлетворяющая условию CA. Более подробное изложение статьи нечетного порядка см. Томпсон (1963) или (Горенштейн 1980 ) или Глауберман (1999).

Шаг 1. Локальный анализ структуры группы. г

В случае CA это просто, потому что соотношение "а ездит с б"является отношением эквивалентности на неединичных элементах. Таким образом, элементы распадаются на классы эквивалентности, так что каждый класс эквивалентности является набором неединичных элементов максимальной абелевой подгруппы. Нормализаторы этих максимальных абелевых подгрупп оказываются равными - в точности максимальные собственные подгруппы в г. Эти нормализаторы Группы Фробениуса чья теория характера достаточно прозрачна и хорошо подходит для манипуляций с участием индукция характера. Кроме того, множество простых делителей |г| разбивается согласно простым числам, которые делят порядки различных классов сопряженности максимальных абелевых подгрупп группы |г|, Этот образец разбиения простых делителей |г| по классам сопряженности определенных Холловы подгруппы (холлова подгруппа - это такая, порядок и показатель взаимно просты), которые соответствуют максимальным подгруппам г (с точностью до сопряжения) повторяется как в доказательстве CN-теоремы Фейта – Холла – Томпсона, так и в доказательстве теоремы Фейта – Томпсона о нечетном порядке. Каждая максимальная подгруппа M имеет некоторую нильпотентную холлову подгруппу Mσ с нормализатором, содержащимся в M, порядок которых делится на некоторые простые числа, образующие множество σ (M). Две максимальные подгруппы сопряжены тогда и только тогда, когда множества σ (M) одинаковы, а если они не сопряжены, то множества σ (M) не пересекаются. Каждое простое число, делящее порядок г входит в некоторое множество σ (M). Итак, простые числа, делящие порядок г разбиты на классы эквивалентности, соответствующие классам сопряженности максимальных подгрупп. Доказательство CN-случая уже значительно сложнее, чем CA-случая: основная дополнительная проблема состоит в том, чтобы доказать, что две разные силовские подгруппы пересекаются в тождестве. Эта часть доказательства теоремы о нечетном порядке занимает более 100 журнальных страниц. Ключевой шаг - доказательство Теорема единственности Томпсона, утверждая, что абелевы подгруппы нормального ранга не ниже 3 содержатся в единственной максимальной подгруппе, что означает, что простые числа п за что силовский п-подгруппы имеют нормальный ранг не более 2, их нужно рассматривать отдельно. Позже Бендер упростил доказательство теоремы единственности, используя Метод Бендера. Тогда как в случае CN полученные максимальные подгруппы M все еще являются группами Фробениуса, максимальные подгруппы, которые встречаются в доказательстве теоремы о нечетном порядке, больше не нуждаются в этой структуре, а анализ их структуры и взаимодействия дает 5 возможных типов максимальных подгрупп, называемых типами I, II, III, IV, V. Подгруппы типа I относятся к «типу Фробениуса», небольшому обобщению группы Фробениуса, и на самом деле позже в доказательстве показано, что они являются группами Фробениуса. У них есть структура MF⋊U где MF - наибольшая нормальная нильпотентная холлова подгруппа, а U имеет подгруппу U0 с тем же показателем, что MF⋊U0 группа Фробениуса с ядром MF. Типы II, III, IV, V все 3-х ступенчатая группа со структурой MF⋊U⋊W1, где MF⋊U производная подгруппа M. Подразделение на типы II, III, IV и V зависит от структуры и вложения подгруппы. U следующим образом:

  • Тип II: U нетривиально абелев и его нормализатор не содержится в M.
  • Тип III: U нетривиально абелева и его нормализатор содержится в M.
  • Тип IV: U неабелевский.
  • Тип V: U тривиально.

Все классы максимальных подгрупп, кроме двух, относятся к типу I, но также могут быть два дополнительных класса максимальных подгрупп: один типа II и один типа II, III, IV или V.

Шаг 2. Теория характеров г

Если X - неприводимый характер нормализатора ЧАС максимальной абелевой подгруппы А группы СА г, не содержащий А в его ядре, мы можем индуцировать X в характер Y из г, который не обязательно является неприводимым. Из-за известной структуры г, легко найти символьные значения Y на всех элементах, кроме идентичности г. Отсюда следует, что если X1 и X2 два таких неприводимых характера ЧАС и Y1 и Y2 - соответствующие индуцированные характеры, то Y1 - Y2 полностью определена, и вычисляя ее норма показывает, что это разница двух несводимый персонажи г (иногда их называют исключительные персонажи из г относительно ЧАС). Счетный аргумент показывает, что каждый нетривиальный неприводимый характер г возникает ровно один раз как исключительный характер, связанный с нормализатором некоторой максимальной абелевой подгруппы группы г. Аналогичное рассуждение (но с заменой абелевых холловых подгрупп на нильпотентные холловы подгруппы) работает при доказательстве CN-теоремы. Однако при доказательстве теоремы о нечетном порядке аргументы в пользу построения характеров г от символов подгрупп гораздо более деликатны, и используйте Изометрия Дейда между кольцами символов, а не индукцией символов, так как максимальные подгруппы имеют более сложную структуру и менее прозрачны. На смену теории исключительных характеров приходит теория связный набор символов для продолжения изометрии Дейда. Грубо говоря, эта теория утверждает, что изометрия Дейда может быть расширена, если участвующие группы не имеют определенной точной структуры. Петерфальви (2000) описал упрощенную версию теории персонажей, созданную Дейдом, Сибли и Петерфальви.

Шаг 3. Последнее противоречие.

К шагу 2 у нас есть полное и точное описание таблица символов группы СА г. Исходя из этого, и используя тот факт, что г имеет нечетный порядок, имеется достаточно информации для получения оценок для |г| и пришли к противоречию с предположением, что г просто. Эта часть аргумента работает аналогично в случае CN-группы.

Однако в доказательстве теоремы Фейта – Томпсона этот шаг (как обычно) значительно сложнее. Теория характеров исключает только некоторые из возможных конфигураций, оставшихся после шага 1. Сначала они показывают, что все максимальные подгруппы типа I являются группами Фробениуса. Если все максимальные подгруппы относятся к типу I, то аргумент, аналогичный случаю CN, показывает, что группа г не может быть минимальной простой группой нечетного порядка, поэтому существует ровно два класса максимальных подгрупп типов II, III, IV или V. Большая часть остальной части доказательства теперь сосредоточена на этих двух типах максимальной подгруппы S и Т и отношения между ними. Более теоретические аргументы показывают, что они не могут быть типа IV или V. Две подгруппы имеют точную структуру: подгруппа S в порядке пq×q×(пq–1)/(п–1) и состоит из всех автоморфизмов основного множества конечного поля порядка пq формы Икс→топорσ+б где а имеет норму 1 и σ - автоморфизм конечного поля, где п и q - разные простые числа. Максимальная подгруппа Т имеет аналогичную структуру с п и q наоборот. Подгруппы S и Т тесно связаны. Принимая п>q, можно показать, что циклическая подгруппа группы S порядка (пq–1)/(п–1) сопряжена с подгруппой циклической подгруппы группы Т порядка (qп–1)/(q–1). (В частности, первое число делит второе, поэтому, если Гипотеза Фейта – Томпсона верно, он утверждал бы, что этого не может произойти, и на этом можно было бы закончить доказательство. Однако это предположение все еще не доказано.)

Вывод из применения теории характеров к группе г в том, что г имеет следующую структуру: есть простые числа п>q такой, что (пq–1)/(п–1) взаимно прост с п–1 и г имеет подгруппу, заданную полупрямым произведением ПУ где п аддитивная группа конечного поля порядка пq и U его элементы нормы 1. Более того г имеет абелеву подгруппу Q порядка первичного п содержащий элемент y такой, что п0 нормализует Q и (п0)y нормализует U, где п0 аддитивная группа конечного поля порядка п. (Для п= 2 аналогичная конфигурация имеет место в группе SL2(2q), с участием ПУ борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц и Q подгруппа порядка 3, порожденная .) Чтобы исключить этот последний случай, Томпсон применил некоторые устрашающе сложные манипуляции с генераторы и отношения, которые позже были упрощены Петерфальви (1984), аргумент которого воспроизведен в (Бендер и Глауберман 1994 ). Доказательство исследует набор элементов а в конечном поле порядка пq такой, что а и 2 – a оба имеют норму 1. Сначала проверяется, что в этом наборе есть хотя бы один элемент, отличный от 1. Затем довольно сложное рассуждение с использованием генераторов и отношений в группе г показывает, что множество замкнуто относительно обратного. Если а входит в набор и не равен 1, то многочлен N ((1–а)Икс+1) –1 имеет степень q и имеет по крайней мере п различные корни, заданные элементами Икс в Fп, используя тот факт, что Икс→1/(2–Икс) отображает набор в себя, поэтому п≤q, что противоречит предположению п>q.

Использование странности

Дело в том, что порядок группы г нечетно используется в доказательстве в нескольких местах, а именно (Томпсон 1963 ).

  • В Теорема Холла – Хигмана. точнее для групп нечетного порядка.
  • Для групп нечетного порядка все неглавные характеры встречаются в комплексно сопряженных парах.
  • Несколько результатов о п-группы выполняются только для нечетных простых чисел п.
  • Если в группе нечетного порядка нет элементарных абелевых подгрупп ранга 3, то ее производная группа нильпотентна. (Это неверно для симметричной группы S4 четного порядка.)
  • Некоторые аргументы, связанные с теорией характеров, не подходят для малых простых чисел, особенно для простого числа 2.

использованная литература

  1. ^ «Теорема Фейта – Томпсона полностью проверена в Coq». Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Архивировано из оригинал в 2016-11-19. Получено 2012-09-25.