Теорема о фокальной подгруппе - Focal subgroup theorem
В абстрактная алгебра, то теорема о фокальной подгруппе описывает слияние элементов в Силовская подгруппа из конечная группа. Теорема о фокальной подгруппе была введена в (Хигман 1953 ) и является «первым крупным применением перевода» согласно (Горенштейн, Лион и Соломон 1996, п. 90). Теорема о фокальной подгруппе связывает идеи переноса и слияния, такие как описанные в (Грюн 1936 ). Различные приложения этих идей включают местные критерии для п-нильпотенция и различные не-простота критериев, направленных на то, чтобы показать, что конечная группа имеет нормальная подгруппа из индекс п.
Фон
Теорема о фокальной подгруппе связывает несколько направлений в теории конечных групп: нормальные подгруппы индекса а степень п, гомоморфизм переноса и слияние элементов.
Подгруппы
Следующие три нормальные подгруппы индекса степени п естественным образом определены и возникают как наименьшие нормальные подгруппы, для которых фактор (определенный вид) п-группа. Формально они являются ядрами отражения на отражающая подкатегория из п-группы (соответственно элементарные абелевы п-группы, абелевы п-группы).
- Eп(грамм) является пересечением всех индексов п нормальные подгруппы; грамм/Eп(грамм) является элементарной абелевой группой и является наибольшей элементарной абелевой группой. п-группа, на которую грамм сюрпризы.
- Ап(грамм) (обозначение из (Айзекс 2008, 5Д, с. 164)) является пересечением всех нормальных подгрупп K такой, что грамм/K абелева п-группа (т.е. K это индекс нормальная подгруппа, содержащая производную группу ): грамм/Ап(грамм) - наибольший абелев п-группа (не обязательно элементарная), на которую грамм сюрпризы.
- Оп(грамм) является пересечением всех нормальных подгрупп K из грамм такой, что грамм/K является (возможно, неабелевым) п-группа (т.е. K это индекс нормальная подгруппа): грамм/Оп(грамм) самый большой п-группа (не обязательно абелева), на которую грамм сюрпризы. Оп(грамм) также известен как п-остаточная подгруппа.
Во-первых, поскольку это более слабые условия на группы K, получить сдерживания Далее они связаны как:
- Ап(грамм) = Оп(грамм)[грамм,грамм].
Оп(грамм) имеет следующую альтернативную характеристику как подгруппа, порожденная всеми силовскими q-подгруппы грамм в качестве q≠п пробегает простые делители числа порядок из грамм в отличие от п.
Оп(грамм) используется для определения ниже п-серии из грамм, аналогично верхний п-серии описано в р-ядро.
Перенести гомоморфизм
В гомоморфизм переноса является гомоморфизмом, который может быть определен из любой группы грамм к абелевой группе ЧАС/[ЧАС,ЧАС] определяется подгруппой ЧАС ≤ грамм из конечный индекс, то есть [грамм:ЧАС] <∞. Карта переноса из конечной группы грамм в свой Силовский п-подгруппа имеет ядро это легко описать:
- Ядро гомоморфизма переноса конечной группы грамм в свой Силовский п-подгруппа п имеет Ап(грамм) как его ядро, (Айзекс 2008, Теорема 5.20, с. 165).
Другими словами, «очевидный» гомоморфизм на абелев п-группа - фактически самый общий такой гомоморфизм.
Слияние
В слияние образец подгруппы ЧАС в грамм - отношение эквивалентности на элементах ЧАС где два элемента час, k из ЧАС находятся сплавлен если они грамм-сопряженные, то есть если есть грамм в грамм такой, что час = kграмм. Нормальная структура грамм влияет на узор слияния его Силова п-подгруппы, и, наоборот, паттерн слияния его силовских п-подгруппа влияет на нормальную структуру грамм, (Горенштейн, Лион и Соломон 1996, п. 89).
Фокальная подгруппа
Можно определить, как в (Айзекс 2008, п. 165) the фокусная подгруппа из ЧАС относительно грамм в качестве:
- Focграмм(ЧАС) = ⟨ Икс−1 у | Икс,у в ЧАС и Икс является грамм-сопряжен с у ⟩.
Эта фокусная подгруппа измеряет степень, в которой элементы ЧАС плавиться в грамм, в то время как предыдущее определение измеряло некоторые абелевы п-групповые гомоморфные образы группы грамм. Содержание теоремы о фокальной подгруппе состоит в том, что эти два определения фокальной подгруппы совместимы.
(Горенштейн 1980, п. 246) показывает, что фокусная подгруппа из п в грамм это пересечение п∩[грамм,грамм] Силовского п-подгруппа п конечной группы грамм с производная подгруппа [грамм,грамм] из грамм. Фокальная подгруппа важна, так как это силовская п-подгруппа производной подгруппы. Также получается следующий результат:
- Существует нормальная подгруппа K из грамм с грамм/K ан абелевский п-группа изоморфен п/п∩[грамм,грамм] (здесь K обозначает Ап(грамм)), и
- если K нормальная подгруппа грамм с грамм/K абелева p-группа, то п∩[грамм,грамм] ≤ K, и грамм/K является гомоморфным образом п/п∩[грамм,грамм], (Горенштейн 1980, Теорема 7.3.1, с. 90).
Формулировка теоремы
Фокальная подгруппа конечной группы грамм с Силовым п-подгруппа п дан кем-то:
- п∩[грамм,грамм] = п∩Ап(грамм) = пKer (v) = Focграмм(п) = ⟨ Икс−1 у | Икс,у в п и Икс является грамм-сопряжен с у ⟩
куда v гомоморфизм переноса из грамм к п/[п,п], (Айзекс 2008, Теорема 5.21, с. 165).
История и обобщения
Эта связь между переносом и слиянием приписывается (Хигман 1958 ) ,[1] где, говоря иным языком, теорема о фокальной подгруппе была доказана вместе с различными обобщениями. Требование, чтобы грамм/K be abelian был исключен, так что Хигман также изучал Оп(грамм) и нильпотентный остаток γ∞(грамм), так называемый гиперфокальные подгруппы. Хигман также не ограничился одним простым числом. п, но скорее разрешено π-группы для множеств простых чисел π и использовал Филип Холл теорема о Холловы подгруппы чтобы доказать аналогичные результаты о переводе в Холл π-подгруппы; принимая π = {п} зал π-подгруппа - силовская п-подгруппа, а результаты Хигмана представлены выше.
Интерес к гиперфокальным подгруппам возобновили работы (Puig 2000 ) в понимании модульная теория представлений определенных блоков с хорошим поведением. Гиперфокальная подгруппа п в грамм можно определить как п∩γ∞(грамм) то есть как силовский п-подгруппа нильпотентной невязки грамм. Если п силовский п-подгруппа конечной группы грамм, то получаем стандартную теорему о фокальной подгруппе:
- п∩γ∞(грамм) = п∩Оп(грамм) = ⟨ Икс−1 у : Икс,у в п и у = Иксграмм для некоторых грамм в грамм порядка взаимно простой с п ⟩
и местная характеристика:
- п∩Оп(грамм) = ⟨ Икс−1 у : Икс,у в Q ≤ п и у = Иксграмм для некоторых грамм гостиницаграмм(Q) порядка взаимно просто п ⟩.
Это можно сравнить с локальной характеристикой фокальной подгруппы как:
- п∩Ап(грамм) = ⟨ Икс−1 у : Икс,у в Q ≤ п и у = Иксграмм для некоторых грамм гостиницаграмм(Q) ⟩.
Пуиг интересуется обобщением этой ситуации на термоядерные системы, а категоричный модель слияния силовского п-подгруппа по отношению к конечной группе, которая также моделирует шаблон слияния дефектной группы п-блок в теории модульных представлений. Фактически, термоядерные системы нашли ряд удивительных применений и вдохновения в области алгебраическая топология известный как эквивариантный теория гомотопии. Некоторые из основных алгебраических теорем в этой области на данный момент имеют только топологические доказательства.
Другие характеристики
Различные математики представили методы вычисления фокальной подгруппы из более мелких групп. Например, влиятельная работа (Альперин 1967 ) развивает идею локального управления слиянием и в качестве примера приложения показывает, что:
- п ∩ Ап(грамм) порождается коммутаторными подгруппами [Q, Nграмм(Q)] куда Q варьируется в зависимости от семьи C подгруппп
Выбор семьи C можно сделать разными способами (C это то, что называется «семейством слабого сопряжения» в (Альперин 1967 )), и приводится несколько примеров: можно взять C быть всеми неединичными подгруппами п, или меньший выбор только перекрестков Q = п ∩ пграмм за грамм в грамм в котором Nп(Q) и нпграмм(Q) оба силовские п-подгруппы в Nграмм(Q). Последний выбор сделан в (Горенштейн 1980, Теорема 7.4.1, с. 251). Работа (Грюн 1935 ) изучили аспекты переноса и слияния, в результате Первая теорема Грюна:
- п ∩ Ап(грамм) порождается п ∩ [N, N] и п ∩ [Q, Q] куда N = Nграмм(п) и Q колеблется над множеством силовских п-подгруппы Q = пграмм из грамм (Горенштейн 1980, Теорема 7.4.2, с. 252).
Приложения
Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Январь 2010 г.) |
Презентации учебников в (Роза 1978, стр. 254–264). , (Айзекс 2008, Глава 5), (Зал 1959, Глава 14), (Сузуки 1986, §5.2, стр. 138–165), все они содержат различные приложения теоремы о фокальной подгруппе, относящиеся к слиянию, переносу и определенному виду расщепление называется п-нильпотенция.
В ходе Теорема Альперина – Брауэра – Горенштейна. классификация конечных простые группы с квазидиэдральный Силовские 2-подгруппы, возникает необходимость различать четыре типа групп с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами: 2-нильпотентные группы, Qгруппы, фокальная подгруппа которых обобщенная группа кватернионов индекса 2 Dгруппы -типа, фокальная подгруппа a группа диэдра индекса 2, а QDгруппы -типа, фокальной подгруппой которых является вся квазидиэдральная группа. В терминах слияния 2-нильпотентные группы имеют 2 класса инволюций и 2 класса циклических подгрупп порядка 4; в Q-тип имеет 2 класса инволюций и один класс циклической подгруппы порядка 4; в QD-типа имеют по одному классу инволюций и циклических подгрупп порядка 4. Другими словами, конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами могут быть классифицированы в соответствии с их фокальной подгруппой или, что эквивалентно, в соответствии с их паттернами слияния. Явные списки групп с каждым шаблоном слияния содержатся в (Альперин, Брауэр и Горенштейн 1970 ).
Примечания
- ^ Теорема о фокальной подгруппе и / или фокальной подгруппе обусловлена (Хигман 1958 ) в соответствии с (Горенштейн, Лион и Соломон 1996, п. 90), (Роза 1978, п. 255) , (Сузуки 1986, п. 141); однако теорема о фокальных подгруппах, изложенная здесь и здесь, немного старше и уже представлена в форме учебника в (Зал 1959, п. 215). Там и в (Puig 2000 ) идеи приписываются (Грюн 1935 ) ; сравнить с (Грюн 1935, Сатц 5) в частном случае п-нормальные группы, и общий результат из Satz 9, который в некотором смысле является уточнением теоремы о фокальной подгруппе.
Рекомендации
- Альперин, Дж. Л. (1967), "Силовские пересечения и слияние", Журнал алгебры, 6 (2): 222–241, Дои:10.1016/0021-8693(67)90005-1, ISSN 0021-8693, МИСТЕР 0215913
- Альперин, Дж. Л.; Брауэр, Р.; Горенштейн, Д. (1970), "Конечные группы с квазидиэдральными и сплетенными силовскими 2-подгруппами", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 151 (1): 1–261, Дои:10.2307/1995627, ISSN 0002-9947, JSTOR 1995627, МИСТЕР 0284499
- Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы, Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, МИСТЕР 0569209
- Горенштейн, Д.; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1996), Классификация конечных простых групп. Номер 2. Часть I. Глава G, Математические обзоры и монографии, 40, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0390-5, МИСТЕР 1358135
- Грюн, Отто (1936), "Beiträge zur Gruppentheorie. I.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 174: 1–14, ISSN 0075-4102, Zbl 0012.34102
- Холл, Маршалл-младший. (1959), Теория групп, Нью-Йорк: Macmillan, МИСТЕР 0103215
- Хигман, Дональд Г. (1953), «Фокальные серии в конечных группах», Канадский математический журнал, 5: 477–497, Дои:10.4153 / cjm-1953-055-5, ISSN 0008-414X, МИСТЕР 0058597
- Айзекс, И. Мартин (2008), Теория конечных групп, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4344-4
- Пуиг, Луис (2000), "Гиперфокальная подалгебра блока", Inventiones Mathematicae, 141 (2): 365–397, Дои:10.1007 / s002220000072, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 1775217
- Роуз, Джон С. (1994) [1978], Курс теории групп, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-68194-8, МИСТЕР 0498810
- Сузуки, Мичио (1986), Теория групп. II, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 248, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-10916-9, МИСТЕР 0815926