Теорема о соответствии (теория групп) - Correspondence theorem (group theory)

В районе математика известный как теория групп, то теорема соответствия,^{[1][2][3][4][5][6][7][8]} иногда упоминается как четвертый теорема об изоморфизме^{[6][9][примечание 1][заметка 2]} или решеточная теорема,^[10] заявляет, что если ${ displaystyle N}$ это нормальная подгруппа из группа ${ displaystyle G}$, то существует биекция из множества всех подгруппы ${ displaystyle A}$ из ${ displaystyle G}$ содержащий ${ displaystyle N}$, на множество всех подгрупп группы факторгруппа ${ Displaystyle G / N}$. Строение подгрупп ${ Displaystyle G / N}$ точно такая же, как строение подгрупп ${ displaystyle G}$ содержащий ${ displaystyle N}$, с ${ displaystyle N}$ рухнул на элемент идентичности.

В частности, если

грамм это группа,

N это нормальная подгруппа из грамм,

${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ это множество всех подгрупп А из грамм такой, что ${ Displaystyle N substeq A substeq G}$, и

${ displaystyle { mathcal {N}}}$ - это множество всех подгрупп группы G / N,

тогда существует биективное отображение ${ displaystyle phi: { mathcal {G}} to { mathcal {N}}}$ такой, что

${ Displaystyle фи (А) = А / N}$ для всех ${ displaystyle A in { mathcal {G}}.}$

Еще один имеет это, если А и B находятся в ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$, и A '= A / N и B '= B / N, тогда

• ${ displaystyle A substeq B}$ если и только если ${ displaystyle A ' substeq B'}$;
• если ${ displaystyle A substeq B}$ тогда ${ Displaystyle | B: A | = | B ': A' |}$, куда ${ displaystyle | B: A |}$ это индекс из А в B (количество смежные классы bA из А в B);
• ${ Displaystyle langle A, B rangle / N = langle A ', B' rangle,}$ куда ${ displaystyle langle A, B rangle}$ является подгруппой ${ displaystyle G}$ генерируется к ${ Displaystyle A чашка B;}$
• ${ displaystyle (A cap B) / N = A ' cap B'}$, и
• ${ displaystyle A}$ нормальная подгруппа ${ displaystyle G}$ если и только если ${ displaystyle A '}$ нормальная подгруппа ${ Displaystyle G / N}$.

Этот список далеко не исчерпывающий. Фактически, большинство свойств подгрупп сохраняются в их образах при биекции на подгруппы фактор-группы.

В более общем плане существует монотонная связь Галуа ${ Displaystyle (е ^ {*}, е _ {*})}$ между решетка подгрупп из ${ displaystyle G}$ (не обязательно содержащий ${ displaystyle N}$) и решетка подгрупп группы ${ Displaystyle G / N}$: нижний сопряженный подгруппы ${ displaystyle H}$ из ${ displaystyle G}$ дан кем-то ${ displaystyle f ^ {*} (H) = HN / N}$ и верхний сопряженный подгруппы ${ displaystyle K / N}$ из ${ Displaystyle G / N}$ дается ${ Displaystyle f _ {*} (К / Н) = К}$. Связанный оператор закрытия по подгруппам ${ displaystyle G}$ является ${ displaystyle { bar {H}} = HN}$; связанный оператор ядра по подгруппам ${ Displaystyle G / N}$ это личность.

Аналогичные результаты справедливы для кольца, модули, векторные пространства, и алгебры.

Смотрите также

• Модульная решетка

Примечания

Рекомендации