Теорема о двойном централизаторе - Double centralizer theorem

В филиале абстрактная алгебра называется теория колец, то теорема о двойном централизаторе может относиться к любому из нескольких похожих результатов. Эти результаты касаются централизатор подкольца S кольца р, обозначенный C_р(S) в этой статье. Всегда бывает так, что C_р(C_р(S)) содержит S, а теорема о двойном централизаторе дает условия на р и S что гарантирует, что C_р(C_р(S)) является равный к S.

Утверждения теоремы

Мотивация

Централизатор подкольца S из р данный

{ displaystyle mathrm {C} _ {R} (S) = {r in R mid rs = sr { text {для всех}} s in S }. ,}

Четко C_р(C_р(S)) ⊇ S, но не всегда можно сказать, что эти два набора равны. Теоремы о двойном централизаторе дают условия, при которых можно заключить, что имеет место равенство.

Есть еще один интересный случай. Позволять M быть правым р модуль и дать M естественный левый E-модульная структура, где E Я отправляю(M) кольцо эндоморфизмов абелевой группы M. Каждая карта м_р данный м_р(Икс) = xr создает аддитивный эндоморфизм M, то есть элемент E. Карта р → м_р является гомоморфизмом колец р в кольцо E, а образ р Внутри E к р_M. Можно проверить, что ядро этого канонического отображения является аннигилятор Анна(M_р). Таким образом, теорема об изоморфизме для колец, р_M изоморфно факторкольцу р/Анна(M_р). Ясно, когда M это верный модуль, р и р_M являются изоморфными кольцами.

А сейчас E кольцо с р_M как подкольцо и C_E(р_M) могут быть сформированы. По определению можно проверить, что C_E(р_M) = Конец (M_р), кольцо р модульные эндоморфизмы M. Таким образом, если окажется, что C_E(C_E(р_M)) = р_M, это то же самое, что сказать C_E(Конец(M_р)) = р_M.

Центральные простые алгебры

Пожалуй, самая распространенная версия - это версия для центральные простые алгебры, как это показано в (Кнапп 2007, с.115):

Теорема: Если А - конечномерная центральная простая алгебра над полем F и B простая подалгебра в А, тогда C_А(C_А(B)) = B, причем размеры удовлетворяют

{ displaystyle mathrm {dim} _ {F} (B) cdot mathrm {dim} _ {F} ( mathrm {C} _ {A} (B)) = mathrm {dim} _ {F} (А). ,}

Артинианские кольца

Следующая обобщенная версия для Артинианские кольца (которые включают конечномерные алгебры) появляется в (Айзекс 2009, с.187). Учитывая просто р модуль U_р, мы возьмем обозначения из приведенного выше раздела мотивации, включая р_U и E= Конец (U). Дополнительно напишем D= Конец (U_р) для подкольца E состоящий из р-гомоморфизмы. К Лемма Шура, D это делительное кольцо.

Теорема: Позволять р - артиново справа кольцо с простым правым модулем U_р, и разреши р_U, D и E давать как в предыдущем абзаце. потом

{ Displaystyle R_ {U} = mathrm {C} _ {E} ( mathrm {C} _ {E} (R_ {U})) ,}

.

Замечания

В этой версии кольца выбраны с целью доказательства Теорема плотности Джекобсона. Обратите внимание, что это только вывод о том, что конкретное подкольцо обладает свойством централизатора, в отличие от версии с центральной простой алгеброй.
Поскольку алгебры обычно определяются над коммутативными кольцами, а все упомянутые выше кольца могут быть некоммутативными, ясно, что алгебры не обязательно задействованы.
Если U кроме того верный модуль, так что р это право примитивное кольцо, тогда р_U кольцо изоморфно р.

Кольца полиномиальной идентичности

В (Роуэн 1980, с.154), дается версия для кольца полиномиальных единиц. Обозначение Z (р) будет использоваться для обозначения центр кольца р.

Теорема: Если р это просто полиномиальное тождественное кольцо и А является простым Z (р) подалгебра р, тогда C_р(C_р(А)) = А.

Замечания

Эту версию можно рассматривать как промежуточную между центральной версией простой алгебры и версией артиновского кольца. Это потому, что простые полиномиальные тождественные кольца артиновы,^[1] но в отличие от артинианской версии, вывод по-прежнему относится ко всем центральным простым подкольцам р.

фон Неймана алгебры

В Теорема фон Неймана о бикоммутанте утверждает, что * -подалгебра А алгебры ограниченные операторы B(ЧАС) на Гильбертово пространство ЧАС это алгебра фон Неймана (т.е. слабо закрытый ) если и только если А = C_B(ЧАС)C_B(ЧАС)(А).

Свойство двойного централизатора

Модуль M говорят, что имеет свойство двойного централизатора или быть сбалансированный модуль если C_E(C_E(р_M)) = р_M, куда E = Конец (M) и р_M приведены в разделе мотивации. В этой терминологии артинов кольцевой вариант теоремы о двойном централизаторе утверждает, что простые правые модули для артиновых справа колец являются сбалансированными модулями.

Примечания

^ Они являются полными матричными кольцами над полиномиальными тождественными телами, согласно Роуэн (1980), п. 151)