Кольцо полиномиального тождества - Википедия - Polynomial identity ring

В математика, в подполе теория колец, кольцо р это тождественное кольцо полиномов если есть, для некоторых N > 0, элемент п кроме 0 из свободная алгебра, Z⟨Икс₁, Икс₂, ..., Икс_N⟩, над кольцо целых чисел в N переменные Икс₁, Икс₂, ..., Икс_N такой, что для всех N-кортежи р₁, р₂, ..., р_N взято из р бывает что

${ Displaystyle P (r_ {1}, r_ {2}, ldots, r_ {N}) = 0. }$

Строго Икс_я вот «некоммутирующие неопределенные», и поэтому «полиномиальное тождество» - это небольшое злоупотребление языком, поскольку «полином» здесь означает то, что обычно называют «некоммутативный полином». Аббревиатура PI-кольцо обычное дело. В более общем смысле свободная алгебра над любым кольцом S может использоваться, и дает понятие PI-алгебра.

Если степень полинома п определяется обычным образом, многочлен п называется моник если хотя бы один из его членов высшей степени имеет коэффициент, равный 1.

Каждое коммутативное кольцо является PI-кольцом, удовлетворяющим полиномиальному тождеству XY - YX = 0. Поэтому PI-кольца обычно принимают в качестве близкие обобщения коммутативных колец. Если кольцо имеет характеристика п отлична от нуля, то он удовлетворяет полиномиальному тождеству pX = 0. Чтобы исключить такие примеры, иногда определяют, что PI-кольца должны удовлетворять моническому полиномиальному тождеству.^[1]

Примеры

• Например, если р это коммутативное кольцо это PI-кольцо: это верно с

${ Displaystyle P (X_ {1}, X_ {2}) = X_ {1} X_ {2} -X_ {2} X_ {1} = 0 ~}$

• Кольцо матриц 2 на 2 над коммутативным кольцом удовлетворяет условию Идентичность зала

${ Displaystyle (ху-ух) ^ {2} г = г (ху-укс) ^ {2}}$

Эту идентичность использовал М. Холл (1943 ), но ранее был найден Вагнером (1937 ).

• Большую роль в теории играет стандартная идентичность s_N, длины N, который обобщает приведенный пример для коммутативных колец (N = 2). Это происходит из Формула Лейбница для определителей

${ displaystyle det (A) = sum _ { sigma in S_ {N}} operatorname {sgn} ( sigma) prod _ {i = 1} ^ {N} a_ {i, sigma ( я)}}$

заменяя каждое произведение в слагаемом произведением Икс_я в порядке, заданном перестановкой σ. Другими словами, каждый из N! порядков суммируется, а коэффициент равен 1 или -1 в соответствии с подпись.

${ displaystyle s_ {N} (X_ {1}, ldots, X_ {N}) = sum _ { sigma in S_ {N}} operatorname {sgn} ( sigma) X _ { sigma (1 )} dotsm X _ { sigma (N)} = 0 ~}$

В м×м матричное кольцо над любым коммутативным кольцом удовлетворяет стандартному тождеству: Теорема Амицура – ​​Левицки. заявляет, что это удовлетворяет s_2м. Степень этого тождества оптимальна, поскольку кольцо матриц не может удовлетворять ни одному унитарному многочлену степени меньше 2.м.

• Учитывая поле k нулевой характеристики возьмем р быть внешняя алгебра через счетно бесконечный -размерный векторное пространство с основанием е₁, е₂, е₃, ... Потом р порождается элементами этого базиса и

е_яе_j = −е_jе_я.

Это кольцо не удовлетворяет s_N для любого N и поэтому не может быть вложен ни в какое матричное кольцо. Фактически s_N(е₁,е₂,...,е_N) = N!е₁е₂...е_N ≠ 0. С другой стороны, это PI-кольцо, поскольку оно удовлетворяет [[Икс, у], z] := xyz − yxz − zxy + Zyx = 0. Достаточно проверить это для мономов из е 'с. Теперь моном четной степени коммутирует с каждым элементом. Следовательно, если либо Икс или же у является мономом четной степени [Икс, у] := ху − yx = 0. Если оба имеют нечетную степень, то [Икс, у] = ху − yx = 2ху имеет четную степень и поэтому коммутирует с z, т.е. [[Икс, у], z] = 0.

Характеристики

• Любой подкольцо или же гомоморфный образ PI-кольца есть PI-кольцо.
• Конечная прямой продукт PI-колец есть PI-кольцо.
• Прямое произведение PI-колец, удовлетворяющих тому же тождеству, является PI-кольцом.
• Всегда можно предположить, что тождество, которому удовлетворяет PI-кольцо, есть полилинейный.
• Если кольцо конечно порождено п элементы как модуль над его центр то он удовлетворяет каждому чередующемуся полилинейному многочлену степени большей, чем п. В частности, он удовлетворяет s_N за N > п следовательно, это PI-кольцо.
• Если р и S PI-кольца, то их тензорное произведение над целыми числами, ${ displaystyle R otimes _ { mathbb {Z}} S}$, также является PI-кольцом.
• Если р PI-кольцо, то кольцо п×п-матрицы с коэффициентами в р.

PI-кольца как обобщения коммутативных колец

Среди некоммутативных колец PI-кольца удовлетворяют условию Гипотеза Кете. Аффинный PI-алгебры над поле удовлетворить Гипотеза Куроша, то Nullstellensatz и цепная собственность за главные идеалы.

Если р PI-кольцо и K такое подкольцо своего центра, что р является интеграл над K затем повышается и понижается свойства за главные идеалы р и K довольны. Так же лежа на свойство (если п это главный идеал K тогда есть простой идеал п из р такой, что ${ displaystyle p}$ минимально над ${ Displaystyle P cap K}$) и несравнимость свойство (если п и Q главные идеалы р и ${ displaystyle P subset Q}$ тогда ${ Displaystyle P cap K subset Q cap K}$) довольны.

Множество тождеств PI-кольца удовлетворяет

Если F : = Z⟨Икс₁, Икс₂, ..., Икс_N⟩ - свободная алгебра в N переменные и р PI-кольцо, удовлетворяющее полиному п в N переменные, то п находится в ядро любого гомоморфизма

${ Displaystyle тау}$: F ${ displaystyle rightarrow}$ р.

Идеальный я из F называется Т-идеал если ${ displaystyle f (I) subset I}$ для каждого эндоморфизм ж из F.

Учитывая PI-кольцо, р, множество всех полиномиальных тождеств, которым он удовлетворяет, является идеальный но тем более это Т-идеал. Наоборот, если я является T-идеалом F тогда F/я PI-кольцо, удовлетворяющее всем тождествам в я. Предполагается, что я содержит монические многочлены, когда PI-кольца должны удовлетворять моническим полиномиальным тождествам.

Смотрите также

• Теорема Познера
• Центральный полином

Рекомендации

• Латышев, В. (2001) [1994], "PI-алгебра", Энциклопедия математики, EMS Press
• Форманек, Э. (2001) [1994], «Теорема Амицура – ​​Левицки», Энциклопедия математики, EMS Press
• Полиномиальные тождества в теории колец, Луи Халле Роуэн, Academic Press, 1980, ISBN  978-0-12-599850-5
• Кольца полиномиальной идентичности, Веселин С. Дренски, Эдвард Форманек, Биркхойзер, 2004, ISBN  978-3-7643-7126-5
• Полиномиальные тождества и асимптотические методы, А. Джамбруно, Михаил Зайцев, Книжный магазин AMS, 2005, ISBN  978-0-8218-3829-7
• Вычислительные аспекты полиномиальных тождеств, Алексей Канель-Белов, Луи Халле Роуэн, A K Peters Ltd., 2005 г., ISBN  978-1-56881-163-5

дальнейшее чтение

• Форманек, Эдвард (1991). Полиномиальные тождества и инварианты п×п матрицы. Серия региональных конференций по математике. 78. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0730-7. Zbl  0714.16001.
• Канель-Белов Алексей; Роуэн, Луи Галле (2005). Вычислительные аспекты полиномиальных тождеств. Исследовательские заметки по математике. 9. Уэллсли, Массачусетс: А. К. Питерс. ISBN  1-56881-163-2. Zbl  1076.16018.

внешняя ссылка

• Алгебра полиномиальных тождеств в PlanetMath.
• Стандартная идентификация в PlanetMath.
• Т-идеал в PlanetMath.