Контактное кольцо - Catenary ring

В математика, а коммутативное кольцо р является цепная связь если для любой пары главные идеалы

п, q,

любые две строго возрастающие цепочки

п=п₀ ⊂п₁ ... ⊂п_п= q главных идеалов

содержатся в максимальных строго возрастающих цепях из п к q такой же (конечной) длины. В геометрической ситуации, когда размерность алгебраического многообразия связанная с первичным идеалом, будет уменьшаться по мере того, как первичный идеал становится больше, длина такой цепочки п Обычно это разница в габаритах.

Кольцо называется универсальная цепочка если все конечно порожденные алгебры над ней являются цепными кольцами.

Слово «цепочка» происходит от латинского слова катена, что означает «цепочка».

Существует следующая цепочка включений.

Универсальные контактные кольца ⊃ Кольца Коэна – Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ полные кольца пересечения ⊃ регулярные местные кольца

Формула размера

Предположим, что А является нётеровой областью и B это домен, содержащий А который конечно порожден над А. Если п это главный идеал B и п его пересечение с А, тогда

${displaystyle {ext {height}} (P) leq {ext {height}} (p) + {ext {tr.deg.}} _ {A} (B) - {ext {tr.deg.}} _ { каппа (p)} (каппа (P)).}$

В формула размеров универсальных контактных колец говорит, что равенство выполняется, если А является универсальной цепочкой. Здесь κ (п) это поле вычетов из п и тр. град. означает степень трансцендентности (частных полей). Фактически, когда А не является универсальной цепочкой, но ${displaystyle B = A [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$, то равенство также выполняется. ^[1]

Примеры

Почти все Нётерские кольца , которые появляются в алгебраической геометрии, являются универсальной цепочкой, в частности, следующие кольца являются универсальной цепочкой:

• Полный Нётериан местные кольца
• Дедекиндовские домены (и поля)
• Кольца Коэна-Маколея (и регулярные местные кольца )
• Любой локализация универсального контактного кольца
• Любая конечно порожденная алгебра над универсально цепным кольцом.

Кольцо, которое является цепным, но не универсальным

Очень сложно построить примеры нётеровых колец, которые не являются универсальными цепными. Первый пример нашел Масаёши Нагата  (1956, 1962, стр. 203, пример 2), который обнаружил двумерный нётерский локальный домен, который является цепной, но не универсальной цепочкой.

Пример Нагаты следующий. Выберите поле k и формальный степенной ряд z= Σ_я>0а_яИкс^я в ринге S формальных степенных рядов в Икс над k такой, что z и Икс алгебраически независимы.

Определять z₁ = z и z_я+1=z_я/Икс-а_я.

Позволять р - (нётерово) кольцо, порожденное Икс и все элементы z_я.

Позволять м быть идеалом (Икс), и разреши п быть идеалом, порожденным Икс–1 и все элементы z_я. Это оба максимальных идеала р, с полями вычетов, изоморфными k. Местное кольцо р_м является регулярным локальным кольцом размерности 1 (для доказательства этого используется тот факт, что z и Икс алгебраически независимы) и локальное кольцо р_п является регулярным нётеровым локальным кольцом размерности 2.

Позволять B быть локализацией р по отношению ко всем элементам ни в одном м или же п. потом B 2-мерное нётерово полулокальное кольцо с 2 максимальными идеалами, мБ (высоты 1) и nB (высотой 2).

Позволять я быть радикалом Джекобсона B, и разреши А = k+я. Кольцо А является локальной областью размерности 2 с максимальным идеалом я, поэтому является цепной связью, потому что все двумерные локальные области являются цепными. Кольцо А Нётерский, потому что B нетерово и является конечным А-модуль. тем не мение А не является универсальной цепочкой, потому что, если бы это был идеальный мБ из B будет той же высоты, что и мБ∩А по формуле размерности универсально цепных колец, но последний идеал имеет высоту, равную dim (А)=2.

Пример Нагаты также квази-отличное кольцо, поэтому приводится пример квази-отличного кольца, не являющегося отличное кольцо.

Смотрите также

• Формально цепное кольцо (что то же самое, что и универсальное контактное кольцо).

Рекомендации

• Х. Мацумура, Коммутативная алгебра 1980 ISBN  0-8053-7026-9.
• Нагата, Масаёши (1956), «К цепной проблеме первичных идеалов», Nagoya Math. Дж., 10: 51–64, МИСТЕР  0078974
• Нагата, Масаёши Местные кольца. Interscience Tractors in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г., перепечатано издательством R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN  0-88275-228-6