Отличное кольцо - Excellent ring

В коммутативная алгебра, а квази-отличное кольцо это Коммутативное кольцо Нётерова который хорошо себя ведет по отношению к операции завершения и называется отличное кольцо если это также универсальная цепочка. Отличные кольца - это один из ответов на проблему поиска естественного класса "хороших" колец, содержащего большинство колец, встречающихся в теория чисел и алгебраическая геометрия. Одно время казалось, что класс нётеровых колец может быть ответом на эту проблему, но Масаёши Нагата и другие нашли несколько странных контрпримеров, показывающих, что в целом нётеровы кольца не обязательно должны хорошо себя вести: например, нормальное нётеровское локальное кольцо не обязательно аналитически нормальный.

Класс отличных колец был определен Александр Гротендик (1965) в качестве кандидата в такой класс колец с хорошим поведением. Предполагается, что квази-отличные кольца являются базовыми кольцами, для которых проблема разрешение особенностей можно решить; Хейсуке Хиронака (1964 ) показал это в характеристике 0, но случай положительной характеристики (по состоянию на 2016 год) все еще остается серьезной открытой проблемой. По сути, все нётеровы кольца, которые естественным образом встречаются в алгебраической геометрии или теории чисел, превосходны; на самом деле довольно сложно построить не превосходные примеры нётеровых колец.

Определения

Определение отличных колец довольно сложное, поэтому мы напоминаем определения технических условий, которым оно удовлетворяет. Хотя это кажется длинным списком условий, большинство схем на практике превосходны, например поля, кольца многочленов, полные нётерские кольца, Дедекиндовские домены по характеристике 0 (например, ${displaystyle mathbb {Z}}$ ), и частное и локализация кольца этих колец.

Напомним определения

Кольцо ${displaystyle R}$ содержащий поле ${displaystyle k}$ называется геометрически правильный над ${displaystyle k}$ если для любого конечного расширения ${displaystyle K}$ из ${displaystyle k}$ кольцо ${displaystyle Rotimes _ {k} K}$ является обычный.
Гомоморфизм колец из ${displaystyle R o S}$ называется обычный если он плоский и на каждый ${displaystyle {mathfrak {p}} в {ext {Spec}} (R)}$ волокно ${displaystyle Sotimes _ {k} k ({mathfrak {p}})}$ геометрически регулярна над полем вычетов ${displaystyle k ({mathfrak {p}})}$ из ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ .
Кольцо ${displaystyle R}$ называется G-кольцо^[1] (или же Кольцо Grothendieck) если он нётеровский и его формальные слои геометрически правильны; это означает, что для любого ${displaystyle {mathfrak {p}} в {ext {Spec}} (R)}$ , карта местного кольца ${displaystyle R_ {mathfrak {p}} o {hat {R_ {mathfrak {p}}}}}$ до его завершения является регулярным в указанном выше смысле.

Наконец, кольцо J-2^[2] если любой конечный тип ${displaystyle R}$ -алгебра ${displaystyle S}$ является J-1, что означает регулярную подсхему ${displaystyle {ext {Reg}} ({ext {Spec}} (S)) подмножество {ext {Spec}} (S)}$ открыт.

Определение (квази) совершенства

Кольцо ${displaystyle R}$ называется квази-отлично если это грамм-кольцо и кольцо J-2. Это называется отлично^[3]^{стр. 214} если он квази-отлично и универсальная цепочка. На практике почти все кольца Нётерана универсальны, поэтому разница между превосходными и квази-превосходными кольцами невелика.

А схема называется отличной или квази-отличной, если она покрывается открытыми аффинными подсхемами с тем же свойством, что означает, что каждая открытая аффинная подсхема обладает этим свойством.

Характеристики

Потому что отличное кольцо ${displaystyle R}$ G-кольцо,^[1] это Нётерян по определению. Поскольку это универсальная цепочка, каждая максимальная цепь простых идеалов имеет одинаковую длину. Это полезно для изучения теории размерности таких колец, поскольку их размерность может быть ограничена фиксированной максимальной цепью. На практике это означает бесконечномерные нётеровы кольца.^[4] которые имеют индуктивное определение максимальных цепочек простых идеалов, дающих бесконечномерное кольцо, не могут быть построены.

Схемы

Учитывая отличную схему ${displaystyle X}$ и морфизм локально конечного типа ${displaystyle f: X 'o X}$ , тогда ${displaystyle X '}$ отлично^[3]^{стр. 217}.

Квази-совершенство

Любое квази-отличное кольцо - это Кольцо нагата.

Любое квази-превосходное приведенное локальное кольцо является аналитически сокращенный.

Любое квази-отличное нормальное локальное кольцо является аналитически нормальный.

Примеры

Отличные кольца

Большинство естественно встречающихся коммутативных колец в теории чисел или алгебраической геометрии превосходны. Особенно:

Все полные нётеровы локальные кольца, например все поля и кольцо Z_п целых p-адических чисел, превосходны.
Все дедекиндовы домены характеристики 0 превосходны. В частности кольцо Z целых чисел отлично. Дедекиндовы области над полями характеристики больше 0 не обязательно должны быть отличными.
Кольца сходящихся степенных рядов от конечного числа переменных над р или же C отличные.
Отлично любая локализация отличного кольца.
Любая конечно порожденная алгебра над отличным кольцом превосходна. Сюда входят все полиномиальные алгебры ${displaystyle R [x_ {1}, ldots, x_ {n}] / (f_ {1}, ldots, f_ {k})}$ с ${displaystyle R}$ отлично. Это означает, что большинство колец, рассматриваемых в алгебраической геометрии, превосходны.

Кольцо J-2, не являющееся G-кольцом

Вот пример кольца дискретной оценки А размерности 1 и характеристики п> 0, которое является J-2, но не G-кольцом, и поэтому не является квази-превосходным. Если k любое поле характеристики п с [k:k^п] = ∞ и А кольцо степенных рядов Σа_яИкс^я так что [k^п(а₀,а₁,...):k^п] конечен, то формальные слои А не все геометрически правильные, поэтому А не является G-кольцом. Это кольцо J-2, поскольку все нётеровы локальные кольца размерности не выше 1 являются кольцами J-2. Это также универсальная цепочка, поскольку это домен Дедекинда. Здесь k^п обозначает изображение k под Морфизм Фробениуса а→а^п.

G-кольцо, не являющееся кольцом J-2

Вот пример кольца, которое является G-кольцом, но не является кольцом J-2 и поэтому не является квази-превосходным. Если р подкольцо кольца многочленов k[Икс₁,Икс₂, ...] в бесконечном множестве образующих, порожденных квадратами и кубами всех образующих, и S получается из р присоединением обратных ко всем элементам, не входящим ни в один из идеалов, порожденных некоторыми Икс_п, тогда S является одномерной нётеровой областью, которая не является кольцом J-1, поскольку S имеет особенность возврата в каждой замкнутой точке, поэтому множество особых точек не замкнуто, хотя это G-кольцо. Это кольцо также является универсально цепным, поскольку его локализация в каждом первичном идеале является фактором регулярного кольца.

Квази-отличное кольцо, не превосходное

Пример Нагаты 2-мерного нётерова локального кольца, которое является цепным, но не универсально цепным, является G-кольцом, а также J-2 кольцом, поскольку любое локальное G-кольцо является J-2 кольцом (Мацумура 1980, стр.88, 260). Таким образом, это почти отличное местное кольцо контактной сети, которое не является превосходным.

Разрешение особенностей

Квази-отличные кольца тесно связаны с проблемой разрешение особенностей, и это, кажется, было мотивацией Гротендика^[3]^{стр. 218} для их определения. Гротендик (1965) заметил, что если возможно разрешить особенности всех полных целочисленных локальных нётеровых колец, то можно разрешить особенности всех редуцированных квази-превосходных колец. Хиронака (1964) доказал это для всех полных целочисленных нётеровых локальных колец над полем характеристики 0, из чего следует его теорема о том, что все особенности превосходных схем над полем характеристики 0 могут быть разрешены. Наоборот, если возможно разрешить все особенности спектров всех целочисленных конечных алгебр над нётеровым кольцом р тогда кольцо р квази-отлично.

Смотрите также

Разрешение особенностей